От издательства | 5
|
§ 1. Элементы теории множеств | 6
|
1.1. Логические символы | 6
|
1.2. Операции над множествами | 6
|
1.3. Булева алгебра | 10
|
1.4. Принцип двойственности | 11
|
1.5. Алгебра множеств | 11
|
Примеры | 12
|
Упражнения для самостоятельной работы | 22
|
§ 2. Функция. Отображение | 24
|
2.1. Функция | 24
|
2.2. Образ и прообраз множества при заданном отображении | 25
|
2.3. Суперпозиция отображений. Обратное, параметрическое и неявное отображения | 26
|
Примеры | 28
|
Упражнения для самостоятельной работы | 37
|
§ 3. Действительные числа | 39
|
3.1. Бинарные отношения и бинарные операции | 39
|
3.2. Аксиомы поля действительных чисел | 41
|
3.3. Расширенное множество действительных чисел | 43
|
3.4. Основные характеристики действительного числа | 43
|
3.5. Метод математической индукции | 46
|
Примеры | 46
|
Упражнения для самостоятельной работы | 62
|
§ 4. Комплексные числа | 64
|
4.1. Комплексные числа и действия над ними | 64
|
4.2. Геометрическая интерпретация комплексного числа | 65
|
Примеры | 66
|
Упражнения для самостоятельной работы | 71
|
§ 5. Векторные и метрические пространства | 73
|
5.1. Векторное пространство | 73
|
5.2. Нормированные векторные пространства | 74
|
5.3. Евклидово пространство | 74
|
5.4. Метрическое пространство | 75
|
5.5. Окрестности | 75
|
Примеры | 76
|
Упражнения для самостоятельной работы | 84
|
§ 6. Предел последовательности | 87
|
6.1. Понятие последовательности | 87
|
6.2. Сходящиеся последовательности и их свойства | 87
|
6.3. Признаки существования предела | 88
|
6.4. Число e | 88
|
6.5. Предел в несобственном смысле | 88
|
6.6. Частичные пределы. Верхний и нижний пределы | 89
|
6.7. Сходящиеся последовательности в метрическом пространстве | 90
|
Примеры | 91
|
Упражнения для самостоятельной работы | 133
|
§ 7. Предел функции | 137
|
7.1. Предельная точка множества. Предел функции в точке | 137
|
7.2. Ограниченность функции | 139
|
7.3. Символы Ландау. Эквивалентные функции | 139
|
7.4. Частичные пределы | 141
|
7.5. Предел функции комплексной переменной | 141
|
Примеры | 142
|
Упражнения для самостоятельной работы | 201
|
§ 8. Непрерывность функций | 204
|
8.1. Определение непрерывности функции | 204
|
8.2. Непрерывность вектор-функций и функциональных матриц | 206
|
8.3. Точки разрыва функции и их классификация. Особые точки функции | 206
|
8.4. Основные свойства непрерывных функций | 207
|
Примеры | 208
|
Упражнения для самостоятельной работы | 223
|
§ 9. Равномерная непрерывность функций | 226
|
9.1. Определение равномерной непрерывности | 226
|
9.2. Теорема Кантора | 226
|
Примеры | 226
|
Упражнения для самостоятельной работы | 234
|
Ответы | 235
|
"Справочное пособие по высшей математике" -- книга, получившая широкую
популярность у отечественного читателя. Первые три тома, выпущенные в 1990-х
годах и неоднократно переиздававшиеся, представляют собой исправленное
и дополненное переиздание двухтомного "Справочного пособия по математическому
анализу" тех же авторов, хорошо известного среди студентов под обиходным
названием "АнтиДемидович" и ставшего редкостью в вузовских библиотеках. Также
вышли в свет четвертый и пятый тома, посвященные соответственно теории функций
комплексной переменной и теории дифференциальных уравнений.
Пособие построено на материале широко известных задачников -- "Сборника
задач по математическому анализу" под редакцией Б.П.Демидовича, "Сборника задач
по теории функций комплексной переменной" Л.И.Волковысского с соавторами,
"Сборника задач по дифференциальным уравнениям" А.Ф.Филиппова и ряда других.
Все пять томов объединены общей идеологией "решебника": в каждой главе содержится
необходимый теоретический материал, изложены и проиллюстрированы многочисленными
примерами методы решения основных типов задач, приведены упражнения
для самостоятельной работы, ответы на которые помещены в конце книги.
В первом томе рассматриваются следующие разделы курса математического анализа:
введение в анализ (с элементами теории множеств, теорией действительных
и комплексных чисел, теорией векторных и метрических пространств, теорией
пределов) -- первая часть; дифференциальное исчисление функций одной
переменной -- вторая часть (в том числе два параграфа, отсутствовавшие в
первоначальном пособии и добавленные позже, -- они касаются построения
графиков функций и задач на минимум и максимум функции); неопределенный и
определенный интегралы (включая интеграл Стилтьеса, приложения определенного
интеграла к решению задач геометрии, механики и физики, методы приближенного
вычисления определенных интегралов) -- третья часть.
В заключение мы благодарим Вас, дорогой читатель, за оказанное нам доверие
и надеемся, что эта книга станет для Вас хорошим помощником.
Ляшко Иван Иванович
Академик АН Украины, доктор физико-математических наук, профессор. Заслуженный деятель науки Украины. Родился 9 сентября 1922 г. в селе Мацковцы Полтавской области. Закончил Киевский учительский институт (1949), заочно Киевский педагогический институт (1952). Был приглашен в аспирантуру механико-математического факультета Киевского университета. После защиты в 1963 г. докторской диссертации по конкурсу занял должность заведующего кафедрой математической физики, а в 1965 г. был избран деканом факультета. Член-корреспондент АН Украины (1969), академик (1973). Дважды лауреат Государственной премии Украины. Основные научные исследования И. И. Ляшко относятся к вычислительной математике и кибернетике, в частности к математической теории фильтрации. С его участием издано более 20 учебников и учебных пособий, неоднократно переиздававшихся во многих странах.
Боярчук Алексей Климентьевич
Родился 4 февраля 1925 г. в селе Фесюры Киевской области. В феврале 1944 г. был призван в армию, участвовал в боевых действиях, награжден орденами и медалями. Окончив в 1956 г. механико-математический факультет Киевского государственного университета им. Тараса Шевченко и работая на этом факультете преподавателем, защитил в 1965 г. кандидатскую диссертацию, посвященную исследованию теории разностных схем для дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами. С 1967 г. — доцент кафедры вычислительной математики факультета кибернетики Киевского университета. Автор 60 научных работ, в том числе 21 учебника и учебного пособия, изданных на нескольких языках мира. Лауреат Государственной премии Украины и награды Ярослава Мудрого АН высшей школы Украины в области науки и техники.
Гай Яков Гаврилович
Родился 3 апреля 1926 г. в селе Вязовок Черкасской области, Украина. Участник боевых действий в Великой Отечественной войне, был ранен, награжден орденом и медалями. В 1956 г. окончил механико-математический факультет Киевского государственного университета им. Тараса Шевченко. С 1966 г. кандидат физико-математических наук, а с 1976 г. доцент кафедры математики и математической физики Киевского университета. Занимался качественной теорией дифференциальных уравнений и приближенными методами решения алгебраических уравнений и их систем. Автор 45 научных работ, среди которых ряд учебников и учебных пособий, изданных на нескольких языках мира. Лауреат Государственной премии Украины в области науки и техники за учебник «Математический анализ» в 3 частях, изданный в 1983–1987 гг.
Головач Григорий Петрович
Родился в 1940 г. на Черниговщине. Окончил механико-математический факультет Киевского государственного университета им. Тараса Шевченко. С 1966 г. работает на кафедре математики и теоретической радиофизики Киевского университета. Кандидат физико-математических наук, доцент. Основные научные работы относятся к вычислительной математике. Является соавтором монографии «Приближенные методы решения операторных уравнений» (на украинском языке), учебных пособий «Сборник задач по дифференциальным и интегральным уравнениям» (на украинском языке), «Математический анализ в примерах и задачах», а также многотомного «Справочного пособия по высшей математике».