Выгодский М.Я. Основы исчисления бесконечно малых:
ОТ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ: СИНТЕЗ ПРАКТИКИ И ТЕОРИИ. Для начинающих физиков и инженеров. Изд. 4, стереотип.

Основы исчисления бесконечно малых: От интегрального исчисления к дифференциальному: Синтез практики и теории. Для начинающих физиков и инженеров URSS. 2022. 472 с. ISBN 978-5-9519-2729-3.

Типографская бумага

Твердый переплет

Аннотация

Вниманию читателей предлагается классический курс исчисления бесконечно малых, написанный выдающимся математиком, историком науки и педагогом М.Я.Выгодским. Основная мысль, из которой исходил автор при построении книги и которая отличает эту книгу от других курсов анализа — перед учащимся раскрываются основные понятия высшей математики в той нестрогой форме, в которой они заимствуются из изучения простейших фактов естествознания и техники... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие к третьему изданию				3
Предисловие ко второму изданию				4
Глава I. Основные понятия интегрального исчисления				11
§ 1. Вводные замечания				11
§ 2. О способах задания линии				11
§ 3—4. Основная задача вычисления площадей				12
§ 5. Идея интегрального исчисления				14
§ 6—8. Площадь трапеции				15
§ 9. Параболическая трапеция				19
§ 10. Понятие об интеграле; две формулы интегрирования				22
§ 11. Постоянный множитель под знаком интеграла				25
§ 12. Бесконечно-тонкие полоски; математические абстракции и действительность				28
§ 13. Объем конуса				30
§ 14. Падение в пустоте				33
§ 15. Выкачивание воды из цилиндрического резервуара				36
§ 16. Площадь круга и объем шара				37
§ 17—18. Логическое уточнение определения интеграла; точка зрения теории пределов. Преимущества классической концепции				38
§ 19. Интеграл произвольной целой положительной степени				45
§ 20. Интегрирование многочленов				49
§ 21. Дополнительные замечания о пределах интегрирования				50
§ 22. Вычисление площадей				54
§ 23. Вычисление объемов пирамиды и шара				58
§ 24. Объем параболоида вращения				60
§ 25. Объем „цилиндрического отрезка"				62
§ 26. Свободное падение с начальной скоростью				63
§ 27. Выкачивание воды из котла				64
§ 28. Выкачивание воды из конического резервуара				65
§ 29. Растяжение проволоки				66
§ 30. Удлинение проволоки от собственного веса				67
§ 31. Вычисление давления жидкости				68
Глава II. Интегрирование отрицательных и дробных степеней. Интегралы с переменным пределом				72
§ 1—3. Распространение формулы интегрирования степени на случай дробного и отрицательного показателя				72
§ 4. Замечания о пределах интегрирования				78
§ 5. Площадь параболы Ней ля; площадь бесконечно-длинного шпиля				81
§ 6. Отталкивание электрических зарядов; потенциал				86
§ 7. Истечение жидкости из вертикальной щели				88
§ 8—9. Истечение воды из дна цилиндрического сосуда				89
§ 10—11. Интеграл с переменным верхним пределом				96
§ 12. Диференциальное уравнение; разделение переменных				101
§ 13. Интегралы с переменным нижним пределом				102
§ 14. Истечение воды из воронки				104
§ 15. Истечение воды через пробоину в котле				105
§ 16. Адиабатное сжатие и расширение газа				106
Глава III. Интеграл				111
§ 1. Вычисление суммы Sn				111
§ 2. Предел выражения (1 + 1/N)^N				112
§ 3. Число е				115
§ 4. Интеграл ∫_a^b dx/x				117
§ 5. Натуральные логарифмы; их перевод в десятичные и обратно				119
§ 6. Случай отрицательных пределов				123
§ 7. Изотермическое сжатие воздуха				125
§ 8. Изотермическое расширение воздуха				126
§ 9. Распад радия				128
§ 10. Охлаждение металлического шара				131
§ 11. Барометрическая формула				133
Глава IV. Основные понятия диференциального исчисления				136
§ 1—3. Задача диференциального исчисления				136
§ 4—6. Диференцирование линейной функции				139
§ 7. Диференциальное отношение				142
§ 8—10. Диференциал квадратной функции				144
§ 11. Производная функция				147
§ 12—14. Диференциал и производная степени				148
§15. Обозначения				154
§ 16. Постоянный множитель под знаком диференциала				156
§ 17. Диференциал суммы				157
§ 18. Диференциальное исчисление с точки зрения теории пределов. Формализация понятий бесконечно-малой величины и диференциала				158
§ 19. Скорость свободного падения				163
§ 20. Длина окружности и поверхность шара				164
§ 21. Натяжение проволоки				166
§ 22. Отталкивание электрических зарядов				166
§ 23. Формула Пуассона				167
§ 24. Истечение жидкости из цилиндрического сосуда				168
§ 25. Теплоемкость				169
§ 26. Коэфициент расширения линейный и объемный				172
§ 27—28. Угол наклона кривой к горизонту				174
§ 29. Угол, образованный кривыми линиями				177
§ 30. Параболический прожектор				181
§ 31. Уравнение касательной				184
§ 32. Касательная к окружности				187
§ 33. Касательная к параболе				188
§ 34. Касательная к гиперболе				190
§ 35—37. Максимальные и минимальные значения функций				191
§ 38. Способ разыскания максимумов и минимумов				195
§ 39—40. Прямоугольник наибольшей площади; коробка наибольшего объема				198
§ 41. Наивыгоднейшая скорость пароходного рейса				200
§ 42. Наивыгоднейшая форма банки				201
§ 43. Дополнительные замечания о максимальных и минимальных значениях функции				202
Глава V. Диференцкрование и интегрирование через вспомогательную переменную				206
§ 1. Вводные замечания				206
§ 2. Введение вспомогательной функции. Диференциал функции от функции				206
§ 3. Производная функции от функции				211
§ 4. Наименее освещенная точка				216
§ 5. Наименьшее расстояние между судами				217
§ 6. Подъем рельса краном				218
§ 7—8. Диференциал произведения и частного				219
§ 9. Производная произведения и частного				224
§ 10. Наибольшее нагревание гальванической цепи				227
§ 11. Наилучшее освешение на краях стола				228
§.12. Относительная и абсолютная погрешность произведения и частного				228
§ 13. Интегрирование через вспомогательную функцию				231
§ 14. О выборе вспомогательной функции				237
§ 15. Растворение бензойной кислоты в воде				247
§ 16. Измерение концентрации кислорода				248
§ 17. Разбавление рассола				249
§ 18. Давление воды на полукруг				250
§ 19. Изменение силы тока при замыкании цепи (экстра-ток)				251
§ 20. Спрямление параболы Нейля				256
§21. Спрямление астроиды				257
Глава VI. Процессы диференцирования и интегрирования в их взаимной связи				259
§ 1. Вводные замечания				259
§ 2—5. Диференциал интеграла				259
§ 6—7. Диференциал логарифмической функции				264
§' 8—9. Диференциал показательной функции				267
§ 10. Интеграл диференциала				270
§ 11 Интегрирование показательной функции				272
§ 12. Две перспективы развития техники исчисления бесконечно-малых Интегрирование через обращение формул диференциального исчисления				276
§ 13. Неопределенный интеграл				279
§ 14. Техника неопределенного интегрирования				283
§ 15. Интегрирование рациональных дробей, знаменатели которых разлагаются на линейные множители; метод неопределенных коэфициентов				291
§ 16. Дополнительные замечания о вычислении определенных интегралов				297
§ 17—18. Спрямление параболы; поверхность, образованная вращением параболы				300
§ 19. Поверхность вращения параболы Нейля				302
§ 20. Спрямление архимедовой спирали				303
§ 21. Спрямление логарифмической спирали; свойства касательной логарифмической спирали				304
§ 22. Скорость химических реакций				308
§ 23. Омыление уксусноэтилового эфира; подсчет времени				309
§ 24. Подсчет концентрации				311
§ 25. Случай равных концентраций				313
§ 26—27. Тримолекулярная реакция				316
§ 28. Законы Ньютона				319
§ 29. Движение моторной лодки				320
§ 30. Полет пули через доску				323
§ 31—32. Спуск на парашюте. Скорость. Расстояние				325
§ 33. Производные второго и высших порядков				332
§ 34—35. Выражение второй производной через диференциалы				335
§ 36. Вторые диференциалы; вторая производная как предел отношения				338
§ 37—38. Выражение второй производной в случае, когда диференциал аргумента остается постоянным, относительность понятий постоянства и переменности, обозначения высших производных				339
§ 39. Приближенные вычисления второй производной; обмен ролями аргумента и функции. Сила, действующая на ползун паровой машины				343
§ 40. Вычисление силы сопротивления среды по закону движения тела				346
Глава VII. Диференцирование и интегрирование тригонометрических функций				350
§ 1. Вводные замечания				350
§ 2. Радиальное измерение углов				350
§ 3. Диференциал синуса				353
§ 4. Диференциал косинуса				354
§ 5. Диференциалы других тригонометрических функций				355
§ 6—7. Основные формулы интегрирования тригонометрических функций				358
§ 8—9. Приемы интегрирования тригонометрических функций				361
§ 10—11. Интегрирование по частям				372
§ 12. Обратные тригонометрические функции				386
§ 13—16. Диференцирование обратных тригонометрических функций				389
§ 17. Обращение формул диференцирования тригонометрических функций				398
§ 18. Об интегрируемости в элементарных функциях				400
§ 19. Интегрирование рациональных дробен, знаменатели которых имеют мнимые корни				403
§ 20. Интегрирование выражений, содержащих √ х² + ах + b				414
§ 21. Кривизна плоской линии . Знак кривизны				425
§ 22. Кривизна окружности				429
§ 23. Кривизна при параметрическом задании кривой				430
§ 24. Радиус кривизны				433
§ 25. Циклоида и ее свойства				435
§ 26. Циклоидальный маятник				439
§ 27. Движение в переменном поле тяготения				444
Резюме				447
Литературные указания				448
Приложение. Таблица неопределенных интегралов				450

Об авторе

Выгодский Марк Яковлевич

Советский историк математики и педагог, доктор физико-математических наук (1938), профессор (1942). Окончил физико-математический факультет Московского университета в 1923 г. Профессор механико-математического факультета МГУ в 1933–1941 и 1945–1948 гг. С 1952 г. — профессор Тульского педагогического института (ныне — Тульский государственный педагогический университет).

Область научных интересов М. Я. Выгодского — история математики Древнего мира, дифференциальная геометрия. Он автор целого ряда учебников и справочников по математике, один из основателей Советской историко-математической школы, переводчик сочинений И. Кеплера, Г. Монжа, Л. Эйлера. Вместе с С. А. Яновской организовал в МГУ семинар по истории математики. Основные труды: «Галилей и инквизиция» (1934), «Арифметика и алгебра в Древнем мире» (1941), учебник «Основы исчисления бесконечно малых» (1931), учебное пособие «Справочник по элементарной математике» (1941).