Обложка Лопшиц А.М. Аналитическая геометрия
Id: 281469
1043 руб.

Аналитическая геометрия. Изд. 2, стереотип.

Аннотация

Вниманию читателей предлагается классический труд советского математика и педагога А.М.Лопшица, представляющий собой учебник по аналитической геометрии. Основное содержание и методы аналитической геометрии изложены в первых четырех главах, и полное усвоение этого материала является необходимым условием дальнейшего изучения предмета. Автор также использовал свои методические принципы в педагогике, стараясь воздержаться от принятого в большинстве... (Подробнее)


Оглавление
ОГЛАВЛЕНИЕ3
Предисловие к первому изданию11
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ19
Глава I. Начала векторной алгебры19
§ 1. Вектор19
1. Направленный отрезок (вектор)19
2. Равенство векторов20
3. Обозначения21
§ 2. Афинные операции над векторами23
4. Сложение двух векторов23
5. Сложение нескольких векторов26
6. Вектор «нуль»29
7. Формально-алгебраические свойства сложения векторов30
8. Приложения31
9. Вычитание векторов33
10. Умножение вектора на число35
11. Коллинеарность векторов. Деление коллинеарных векторов37
12. Приложения38
Задачи к главе I41
Глава II. Элементарные вопросы аналитической геометрии42
§ 1. Векторно-алгебраический метод решения геометрических задач42
13. Предварительные замечания42
14. Определение положения точки при помощи радиуса-вектора43
15. Деление отрезка в данном отношении47
16. Приложения формулы деления отрезка в данном отношении49
17. Теорема Менелая50
18. Проективное построение четвёртой гармонической точки53
19. Теорема Дезарга54
20. Параметрическое задание прямой линии56
§ 2. Координаты вектора и точки59
21. Координаты вектора, принадлежащего системе коллинеарных векторов59
22. Координаты вектора, принадлежащего системе компланарных векторов59
23. Декартова и прямоугольная координатная система62
24. Теорема о координатах линейной комбинации63
25.-Координаты точки на плоскости65
§ 3. Координатный метод решения геометрических задач на плоскости67
26. Условие коллинеарности двух векторов, заданных своими координатами. Угловой коэффициент вектора67
27. Координаты вектора, заданного координатами своих концов69
28. Условие коллинеарности трёх точек, заданных своими координатами69
29. Координатная форма параметрического задания прямой70
30. Координатное доказательство теоремы Менелая70
31. Решение простейших задач аналитической геометрии в прямоугольной декартовой координатной системе72
Задачи к главе 1175
Глава III. Основные формулы аналитической геометрии на плоскости77
§ 1. Измерение площадей в ориентированной плоскости. Внешнее (косое) произведение векторов77
32, Площадь ориентированного параллелограмма77
33. Свойства символа a º b. Внешнее (косое) произведение двух векторов79
34. Площадь ориентированного треугольника81
35. Площадь прямолинейной фигуры, заданной последовательностью своих вершин83
36. Пример84
37. Координатные формулы для вычисления площади85
§ 2. Вычисление углов в прямоугольной декартовой (правой) координатной системе87
38. Угол между двумя векторами, заданными в ориентированной плоскости87
39. Формула для вычисления синуса угла между двумя векторами, заданными своими координатами в прямоугольной декартовой системе88
40. Формула для вычисления косинуса угла между двумя векторами, заданными своими координатами в прямоугольной декартовой системе89
41. Формула для вычисления tg (а, b)90
42. Ещё один вывод формулы для вычисления cos (a1, a2)91
§ 3. Полярные координаты вектора и точки92
43. Полярные координаты вектора92
44. Формулы, связывающие полярные координаты вектора и его прямоугольные декартовы (правые) координаты92
45. Обобщённые полярные координаты вектора94
46. Полярные координаты точки95
§ 4. Скалярное произведение96
47. Определение96
48. Формально-алгебраические свойства скалярного произведения96
49. Свойства скалярного произведения, отличные от свойств произведения чисел97
50. Приложение скалярного произведения к задачам элементарной геометрии и тригонометрии98
51. Приложение скалярного произведения к задачам аналитической геометрии102
52. Проекция вектора105
53. Координаты вектора как проекции107
§ 5. Преобразование координатной системы107
54. Преобразование координат вектора107
55. Преобразование координат точки110
55 bis. Обратная задача111
56. Преобразование прямоугольных декартовых правых координат112
§ 6. Комплексные векторы и точки114
57. Алгебра комплексных векторов114
57 bis. Комплексные точки116
Задачи к главе III118
Глава IV. Уравнение геометрического места121
§ 1. Уравнение прямой линии122
58. Аналитический метод разыскания точек геометрического места122
59. Геометрическое место, определяемое уравнением первой степени124
60. Уравнение прямой линии125
61. Упрощения, возникающие вследствие специального выбора координатной системы126
62. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки128
63. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору128
§ 2. Окружность129
64. Уравнение окружности, заданной своим центром и радиусом (в прямоугольной координатной системе)129
65. Уравнение второй степени, определяющее окружность130
66. Приложение: окружность Аполлония132
§ 3. Эллипс134
67. Определение эллипса. Уравнение эллипса134
68. Исследование формы эллипса по его уравнению136
69. Эллипс, определяемый уравнением x2/a2+y2/b2 =1140
70. Афинное построение точек эллипса143
§ 4. Гипербола145
71. Определение гиперболы. Уравнение гиперболы145
72. Исследование формы гиперболы по её уравнению145
73. Пересечение гиперболы с прямой, проходящей через её центр147
74. Асимптоты гиперболы149
75. Уравнения асимптот гиперболы151
76. Замечание151
77. Сопряжённые гиперболы152
78. Гипербола, определяемая уравнением x2/a2 – y2/b2 =1154
79. Гипербола, определяемая уравнением ху = 1155
§ 5. Парабола157
80. Определение параболы. Уравнение параболы157
81. Исследование формы параболы по её уравнению157
82. Парабола, определяемая уравнением у = ах2+ 2bх +с159
§ 6. Уравнения некоторых геометрических мест, заданных метрически162
83. Фокальное определение эллипса162
84. Фокальное определение гиперболы166
85. Определение эллипса, гиперболы и параболы с помощью фокуса и директрисы167
86. Замечание172
§ 7. Уравнение геометрического места в полярных координатах173
87. Уравнение геометрического места в необобщённых полярных координатах173
88. Уравнение геометрического места в обобщённой полярной координатной системе177
§ 8. Аналитический метод изучения геометрических мест на плоскости (заключительные замечания)179
89. Уравнение линии179
90. Параметрическое задание линии183
91. Замечание185
Задачи к главе IV185
Глава V. Прямая линия189
§ 1. Афинные задачи189
92. Уравнение прямой линии189
93. Взаимное расположение прямых, заданных своими уравнениями190
94. Специальные виды уравнения прямой196
95. Уравнение прямой, принадлежащей пучку («уравнение пучка»)198
95 bis. Бесконечно удалённые точки. Обогащенная плоскость204
96. Отношение, в котором прямая делит отрезок205
97. Теорема Менелая для многоугольника206
98. Знак трёхчлена Ах +By+С207
99. Двойное отношение четырёх прямых, принадлежащих пучку208
§ 2. Метрические задачи210
100. Вычисление угла между двумя прямыми в ориентированной плоскости210
101. метрическое (векторное и координатное) уравнение прямой линии212
102. Формула для вычисления расстояния от точки до прямой214
103. Единичный вектор нормали. Нормальное уравнение прямой216
Задачи к главе V218
Глава VI. Кривые второго порядка221
104. Предварительные замечания221
§ 1. Исследование кривой, заданной уравнением Ах2 + Су2 + F=0222
105. Общие соображения222
106. Примеры223
107. Случай F ≠ 0 (эллипс, гипербола, пара параллельных прямых)227
108. Случай F = 0 (пара пересекающихся, пара слившихся прямых)227
§ 2. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду (афинная классификация кривых второго порядка)229
109. Индексные обозначения для коэффициентов уравнения второго порядка229
110. Алгебраическое преобразование квадратичного многочлена (преобразование Гаусса); случай a11 ≠ 0, Δ2 ≠ 0230
111. Афинная классификация кривых второго порядка (случай Δ2 ≠ 0)231
112. Построение кривой, заданной общим уравнением второго порядка (случай Δ2 ≠ 0)233
113. Классификация и построение кривых второго порядка в случае, когда Δ2 ≠ 0237
114. Распространение полученных результатов на случай а11 = 0241
115. Итоги исследования243
116. Канонические представления квадратичной функции от двух переменных244
§ 3. Взаимное расположение кривой второго порядка и прямой линии246
117. Предварительные замечания246
118. Основное квадратное уравнение247
119. Случай I: старший коэффициент основного уравнения не равен нулю248
120. Случай II: особые (асимптотические) направления линии второго порядка250
121. Случай III: асимптоты линии второго порядка253
122. Асимптоты центральной линии второго порядка254
123. Асимптоты линии параболического типа255
124. Бесконечно удалённые точки линии второго порядка256
§ 4. Касательная к кривой второго порядка262
125. Направление касательной, проведённой из заданной точки262
126. Асимптота, как касательная в бесконечно удалённой точке263
127, Внешние и внутренние точки нераспадающейся кривой второго порядка264
128. Уравнение касательной, проведённой через заданную точку, лежащую на линии второго порядка266
§ 5. Диаметры кривой второго порядка268
129. Уравнение диаметра кривой второго порядка268
130. Уравнения диаметров, сопряжённых координатным осям268
131. Пучок диаметров центральной кривой269
132. Параллельный пучок диаметров параболы269
133. Диаметральная прямая, сопряжённая особому направлению270
134. Асимптота параболы—бесконечно удалённая прямая270
135. Пара направлений, взаимно сопряжённых относительно кривой второго порядка. Условия сопряжённости271
136. Главная пара сопряжённых направлений кривой второго порядка. Главные диаметры273
§ 6. Упрощение уравнения кривой второго порядка275
137. Формулы преобразования коэффициентов уравнения кривой второго порядка275
138. Упрощения, возникающие в результате специального выбора направления новых координатных осей276
139. Упрощения, возникающие в результате специального выбора начала новой координатной системы278
140. Упрощения, возникающие в результате специального выбора расположения новых координатных осей279
Задачи к главе VI283
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ290
Глава VII Основные понятия и формулы аналитической геометрии в пространстве290
§ 1. Задание вектора с помощью скалярных величин290
141. Разложение произвольного вектора по трём заданным некомпланарным векторам290
142. Теорема обединственности разложения вектора292
143. Координаты вектора в пространстве292
144. Теорема о координатах линейной комбинации нескольких векторов293
145. Координатные оси и координатные плоскости294
146. Декартова и прямоугольная координатная система295
147. Формула для вычисления длины вектора, заданного своими прямоугольными декартовыми координатами296
148. Координаты точки в пространстве296
§ 2. Координатный метод решения геометрических задач. Приложения к аналитической геометрии298
149. Условие коллинеарности двух векторов298
150. Условие компланарности трёх векторов299
151. Координаты вектора, заданного координатами своих концов. Условие коллинеарности трёх точек. Условие компланарности четырёх точек301
152. Координаты точки, делящей отрезок в данномотношении301
153. Координатная форма параметрического задания прямой302
154. Две метрические задачи302
Задачи к главе VII303
Глава VIII. Векторная алгебра в пространстве. Приложения к геометрии304
§ 1. Вычисление объёмов в ориентированном пространстве. Тройное произведение304
155. Репер; ориентация репера304
156. Объём ориентированного параллелепипеда306
157. Формальные свойства символа abc306
158. Тройное произведение309
159. Формула для вычисления тройного произведения векторов, заданных своими координатами310
160. Условие компланарности трёх векторов, заданных своими координатами312
161. Условие коллинеарности двух векторов, заданных своими координатами313
162. Объём ориентированного тетраэдра313
163. Объём многогранника316
§ 2. Приложения тройного произведения к некоторым вопросам высшей алгебры318
164. Свойства определителя третьего порядка318
165. Решение системы трёх линейных уравнений320
§ 3. Скалярное произведение322
166. Определение. Формальные свойства322
167. Замечание323
168. Приложения скалярного произведения к задачам элементарной геометрии323
169. Приложение скалярного произведения к выводу некоторых формул аналитической геометрии325
170. Введение индексной системы обозначений328
171. Проекция вектора330
172. Прямоугольные декартовы координаты вектора суть его проекции на координатные оси332
173. Направляющие косинусы332
174. Полярная (сферическая) координатная система в пространстве334
175. Замечательное тождество337
176. Геометрические следствия338
§ 4. Векторное произведение двух векторов339
177. Определение векторного произведения. Обозначение339
178. Связь между векторным, скалярным и тройным произведениями342
179. Формулы для вычисления координат векторного произведения в прямоугольной декартовой и правой координатной системе344
180. Формальные свойства векторного произведения345
181. Сложные произведения нескольких векторов347
182. Приложение векторного произведения к вычислению площадей349
183. Вращение твёрдого тела вокруг оси. Формулы Эйлера349
184. Взаимные координатные системы351
185. Векторное деление357
§ 5. Преобразование координат359
186. Преобразование общих координат вектора359
187. Преобразование координат точки362
188. Обратная задача363
189. Преобразование прямоугольных декартовых координат364
190. Ортогональные матрицы367
191. Существенные параметры, определяющие взаимное расположение двух прямоугольных декартовых координатных систем368
192. Эйлеровы углы369
193. Формулы Эйлера370
194. Теорема Эйлера372
195. Формулы Кэли373
Задачи к главе VIII374
Глава IX. Геометрические места в пространстве378
196. Уравнение геометрического места в пространстве378
197. Построение геометрического места точек380
198. Эллипсоид387
199. Однополостный гиперболоид392
200. Двуполостный гиперболоид394
201. Эллиптический параболоид396
202. Гиперболический параболоид398
203. Цилиндрическая поверхность399
204. Уравнение плоскости400
205. Уравнение цилиндра, образующая которого параллельна координатной оси401
206. Коническая поверхность402
207. Поверхность вращения404
208. Эллипсоид, гиперболоид, параболоид и конус вращения405
209. Классификация поверхностей407
210. Векторное уравнение поверхности. Уравнение сферы407
211. Уравнение линии в пространстве408
212. Параметрическое задание линии в пространстве409
213. Параметрическое задание поверхности410
Задачи к главе IX411
Глава X. Плоскость412
§ 1. Аналитическое изучение плоскости в пространстве (афинные свойства)412
214. Уравнение плоскости412
215. Уравнение первой степени414
216. Исследование плоскости по её уравнению415
217. Взаимное расположение двух плоскостей417
218. Уравнение пучка плоскостей422
219. Взаимное расположение трёх плоскостей424
220. Уравнение связки плоскостей426
221. Бесконечно удалённые элементы в пространстве428
222. Взаимное расположение четырёх плоскостей429
223. Отношение, в котором плоскость делит отрезок. Взаимное расположение плоскости и прямой431
224. Знак линейного четырёхчлена432
225. Двойное отношение четырёх плоскостей, принадлежащих одному пучку432
§ 2. Аналитическое изучение плоскости (метрические свойства)433
226. Метрическое уравнение плоскости433
227. Формула для вычисления расстояния от точки до плоскости435
228. Единичный вектор нормали. Нормальное уравнение плоскости436
229. Решение .нескольких метрических задач437
230. Решение метрических задач в случае, когда плоскость задана уравнениями в общей афинной координатной системе439
Задачи к главе X442
Глава XI. Прямая линия в пространстве443
§ 1. Аналитическое изучение прямой линии в пространстве (афинные свойства)443
231. Задание прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору443
232. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки446
233. Прямая, как пересечение двух плоскостей447
234. Взаимное расположение двух прямых448
235. Взаимное расположение прямой и плоскости450
236. Несколько афинных задач на прямую и плоскость451
§ 2. Аналитическое изучение прямой линии (метрические задачи)453
237. Несколько метрических задач453
238. Векторное уравнение прямой линии458
239. Решение задач в случае, когда прямая задана векторным уравнением459
240. Нормальное уравнение прямой460
Задачи к главе XI462
Глава XII. Поверхности второго порядка464
241. Предварительные замечания464
§ 1. Афинная классификация поверхностей второго порядка465
242. Исследование поверхности, заданной уравнением Ах2 + By2+ Cz2 + D = 0466
243. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду468
244. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду (окончание)472
245. Критерии для распознавания типа поверхности второго порядка473
246. Полная схема исследования уравнения поверхности второго порядка474
§ 2. Взаимное расположение поверхности второго порядка и прямой линии478
247. Пересечение поверхности второго порядка с прямой линией478
248. Квази-скалярное умножение векторов, ассоциированное с поверхностью второго порядка482
249. Векторное уравнение поверхности второго порядка484
250. Векторное решение задачи о пересечении поверхности второго порядка с прямой линией485
251. Уравнение конуса асимптотических направлений486
252. Уравнение асимптотической плоскости488
253. Уравнение касательного конуса. Уравнение касательной плоскости489
254. Взаимное расположение поверхности и её касательной плоскости. Прямолинейные образующие поверхности второго порядка491
§ 3. Полярная плоскость; полярное соответствие497
255. Двойное отношение, в котором поверхность второго порядка делит заданный отрезок497
256. Полярная плоскость, соответствующая заданному полюсу498
257. Полярное соответствие499
258. Свойства полярного соответствия501
§ 4. Диаметральные плоскости503
259. Полярная плоскость, соответствующая бесконечно-удалённой точке503
260. Диаметральная плоскость504
261. Исследование диаметральных плоскостей. Центр. Диаметры506
262. Сопряжённые направления508
263. Некомпланарная тройка сопряжённых направлений509
§ 5. Упрощение уравнения поверхности второго порядка511
264. Формулы преобразования коэффициентов уравнения поверхности второго порядка511
265. Упрощения, возникающие в результате специального выбора направления новых координатных осей514
266. Новое доказательство основной теоремы515
267. Исследование диаметральных плоскостей поверхности второго порядка517
268. Упрощения, возникающие в результате специального выбора начала новой координатной системы519
269. Упрощения, возникающие в результате специального выбора новых координатных осей521
§ 6. Некоторые метрические задачи теории поверхностей второго порядка521
270. Главные направления поверхности второго порядка521
271. Признак, характеризующий главное направление522
272. Плоскость симметрии поверхности второго порядка523
273. Система уравнений, определяющих координаты главного направления524
274. Нахождение главных направлений (в прямоугольной декартовой системе координат)527
275. Пример530
276. Построение главной тройки направлений. Приведение к главным осям531
277. Метрическая классификация поверхностей второго порядка. Исследование возможной симметрии534
278. Ортогональные инварианты уравнения поверхности второго порядка536
279. Нахождение главных направлений поверхности второго порядка, заданной уравнением в произвольной афинной координатной системе538
280. Инварианты квадратичной формы относительно афинного преобразования координат539
281. Теорема Аполлония (приложение понятия инварианта)540
282. Приложение понятия инварианта: вычисление полуосей эллипсоида, заданного в произвольной афинной координатной системе543
Задачи к главе XII544
Глава XIII. Теория преобразований547
§ 1. Точечное преобразование пространства547
283. Определение. Примеры547
284. Аналитическое задание (векторное и координатное) точечного преобразования. Линейное однородное преобразование551
285. Геометрические свойства линейного преобразования553
§ 2. Афинные преобразования пространства558
286. Свойства афинного преобразования558
287. Линейная векторная функция (афиннор)560
288. Основная теорема565
289. Афинные понятия и теоремы566
Ответы и решения задач568

Об авторе
Лопшиц Абрам Миронович
Советский математик и педагог, автор исследований в области геометрии. Родился в Одессе, в семье учителя народных училищ. Уже в школьные, а затем студенческие голы, обучаясь в Новороссийском университете, стал учеником известных математиков: С. О. Шатуновского и В. Ф. Кагана. В начале 1920-х гг. переехал в Москву и окончил физико-математический факультет Московского университета, затем аспирантуру при НИИ математики и механики МГУ. Будучи студентом, преподавал на рабфаке МГУ, а затем в МВТУ и МЭИ. В 1931–1938 гг. заведовал кафедрой математики Инженерно-технической академии связи. Также преподавал в московских педагогических институтах: имени К. Либкнехта и имени В. И. Ленина. В 1949–1977 гг. — профессор кафедры геометрии Ярославского государственного педагогического университета.

А. М. Лопшиц уделял большое внимание вопросам совершенствования математического образования и методики преподавания. Он отбирал для перевода и редактировал необходимые для отечественной науки зарубежные книги, такие как «Риманова геометрия» Л. П. Эйзенхарта, «Практические методы прикладного анализа» К. Лонцоша, «Векторное исчисление» М. Лагалли, участвовал в создании и редактировании сборника «Математическое просвещение». Заметным явлением в вопросах методики преподавания математики был его учебник по аналитической геометрии. В нем впервые в учебной литературе последовательно использовался прямой метод, были четко разграничены факты, относящиеся к аффинной геометрии, и геометрические факты, имеющие метрический характер.


Страницы (пролистать)