Обложка Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии
Id: 281259
835 руб. Новинка недели!

Краткий курс аналитической геометрии. Изд. 15

URSS. 2022. 280 с. ISBN 978-5-9519-2675-3.
Белая офсетная бумага
  • Твердый переплет

Аннотация

Вниманию читателей предлагается классический учебник по аналитической геометрии, написанный членом-корреспондентом АН СССР Н.В.Ефимовым. Предметом изучения аналитической геометрии являются фигуры, которые в декартовых координатах задаются уравнениями первой или второй степени. На плоскости — это прямые и линии второго порядка. В пространстве — плоскости и прямые, поверхности второго порядка. Этот материал изложен в книге в минимальном... (Подробнее)


Содержание
Предисловие к серии5
Предисловие к шестому изданию7
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ9
Глава 1. Координаты на прямой и на плоскости9
§ 1. Ось и отрезки оси9
§ 2. Координаты на прямой. Числовая ось12
§ 3. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости. Понятие о декартовых косоугольных координатах16
§ 4. Полярные координаты19
Глава 2. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости23
§ 5. Проекция отрезка. Расстояние между двумя точками23
§ 6. Вычисление площади треугольника29
§ 7. Деление отрезка в данном отношении31
§ 8. Преобразование декартовых координат при параллельном сдвиге осей36
§ 9. Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей37
§ 10. Преобразование декартовых прямоугольных координат при изменении начала и повороте осей39
Глава 3. Уравнение линии43
§ 11. Понятие уравнения линии. Примеры задания линий при помощи уравнений43
§ 12. Примеры вывода уравнений заранее данных линий51
§ 13. Задача о пересечении двух линий54
§ 14. Параметрические уравнения линяй55
§ 15. Алгебраические линии57
Глава 4. Линии первого порядка59
§ 16. Угловой коэффициент59
§ 17. Уравнение прямой с угловым коэффициентом61
§ 18. Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых63
§ 19. Прямая как линия первого порядка. Общее уравнение прямой67
§ 20. Неполное уравнение первой степени. Уравнение прямой «в отрезках»68
§ 21. Совместное исследование уравнений двух прямых71
§ 22. Нормальное уравнение прямой. Задача вычисления расстояния от точки до прямой74
§ 23. Уравнение пучка прямых78
Глава 5. Геометрические свойства линий второго порядка82
§ 24. Эллипс. Определение эллипса и вывод его канонического уравнения82
§ 25. Исследование формы эллипса86
§ 26. Эксцентриситет эллипса89
§ 27. Рациональные выражения фокальных радиусов эллипса90
§ 28. Построение эллипса по точкам. Параметрические уравнения эллипса91
§ 29. Эллипс как проекция окружности на плоскость. Эллипс как сечение круглого цилиндра92
§ 30. Гипербола. Определение гиперболы и вывод ее канонического уравнения95
§ 31. Исследование формы гиперболы100
§ 32. Эксцентриситет гиперболы107
§ 33. Рациональные выражения фокальных радиусов гиперболы108
§ 34. Директрисы эллипса и гиперболы109
§ 35. Парабола. Вывод канонического уравнения параболы113
§ 36. Исследование формы параболы116
§ 37. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы119
§ 38. Диаметры линий второго порядка120
§ 39. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы126
§ 40. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения128
Глава 6. Преобразование уравнений при изменении координат129
§ 41. Примеры приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду129
§ 42. Гипербола как график обратной пропорциональности. Парабола как график квадратного трехчлена139
ЧАСТЬ ВТОРАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ143
Глава 7. Некоторые простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве143
§ 43. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве143
§ 44. Понятие свободного вектора. Проекции вектора на ось147
§ 45. Проекции вектора на оси координат151
§ 46. Направляющие косинусы154
§ 47. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении155
Глава 8. Линейные операции над векторами157
§ 48. Определение линейных операций157
§ 49. Основные свойства линейных операций158
§ 50. Разность векторов162
§ 51. Основные теоремы о проекциях164
§ 52. Разложение векторов на компоненты167
Глава 9. Скалярное произведение векторов172
§ 53. Скалярное произведение и его основные свойства172
§ 54. Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов176
Глава 10. Векторное и смешанное произведение векторов179
§ 55. Векторное произведение и его основные свойства179
§ 56. Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов187
§ 57. Смешанное произведение трех векторов190
§ 58. Выражение смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов194
Глава 11. Уравнение поверхности и уравнения линии196
§ 59. Уравнение поверхности196
§ 60. Уравнения линии. Задача о пересечении трех поверхностей198
§ 61. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей199
§ 62. Алгебраические поверхности202
Глава 12. Плоскость как поверхность первого порядка. Уравнения прямой204
§ 63. Плоскость как поверхность первого порядка204
§ 64. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»207
§ 65. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости210
§ 66. Уравнения прямой214
§ 67. Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой218
§ 68. Некоторые дополнительные предложения и примеры223
Глава 13. Поверхности второго порядка229
§ 69. Эллипсоид и гиперболоиды229
§ 70. Конус второго порядка235
§ 71. Параболоиды237
§ 72. Цилиндры второго порядка241
§ 73. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида. Конструкции В. Г. Шухова243
Приложение. Элементы теории определителей247
§ 1. Определители второго порядка и системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными247
§ 2. Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными252
§ 3. Определители третьего порядка255
§ 4. Алгебраические дополнения и миноры259
§ 5. Решение и исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными263
§ 6. Понятие определителя любого порядка271

Об авторе
Ефимов Николай Владимирович
Выдающийся советский математик, член-корреспондент АН СССР. Родился в Оренбурге. Учился в Северо-Кавказском государственном университете (ныне Южный федеральный университет) и аспирантуре Московского государственного университета; его учителями были известные математики Д. Д. Мордухай-Болтовской, Я. С. Дубнов, В. Ф. Каган, уехавший из нацистской Германии в СССР Стефан Кон-Фоссен. В 1934–1941 гг. работал в Воронежском университете (с 1940 г. — профессор), в 1941–1943 гг. — в Воронежском авиационном институте. В 1943–1962 гг. работал заведующим кафедрой математики в Московском лесотехническом институте. В 1946–1956 гг. — профессор кафедры математики физического факультета МГУ. В 1957–1982 гг. заведовал кафедрой математического анализа механико-математического факультета МГУ; в 1962–1969 гг. был деканом факультета. Член редколлегии «Математической энциклопедии». Лауреат Ленинской премии (1966) и премии имени Н. И. Лобачевского (1951). Награжден орденом Трудового Красного Знамени (1953, 1971).

В область научных интересов Н. В. Ефимова входили дифференциальная геометрия и прикладная математика. Основные его труды относятся к геометрии и посвящены, в частности, теории деформации поверхностей и теории поверхностей отрицательной кривизны. Он исследовал изгибание куска поверхности вблизи точки уплощения и показал, что существуют аналитические поверхности, неизгибаемые ни в какой окрестности такой точки. Им была решена обобщенная проблема Гильберта о поверхностях, имеющих во всех точках отрицательную гауссову кривизну; получено обобщение на произвольные поверхности с отрицательной верхней границей на кривизну теоремы Гильберта о погружении плоскости Лобачевского. В теории уравнений с частными производными он разработал метод исследования нелинейных гиперболических систем. Он создал и возглавил московскую школу геометров, занятую разработкой вопросов геометрии «в целом».