Ефимов Н.В. Высшая геометрия Изд. 8

URSS. 2022. 600 с. ISBN 978-5-9710-9374-9.

Серия: Классический университетский учебник

Белая офсетная бумага

Типографская бумага

Мягкая обложка
Твердый переплет 6 вариантов от 999 р. ››
Онлайн-книга 699 р. ››

Аннотация

Перед читателями — классический учебник по высшей геометрии, написанный членом-корреспондентом АН СССР Н.В.Ефимовым. В первых двух частях содержится материал по основаниям геометрии (в том числе по аксиомам евклидовой геометрии и по неевклидовой теории параллельных) и основам проективной геометрии. Отдельная глава посвящена пространству Минковского и основам специальной теории относительности. Материал этих частей излагается систематически, почти... (Подробнее)

Оглавление

Оглавление				9
Предисловие к шестому изданию				12
Предисловие к пятому изданию				12
Предисловие к четвертому изданию				12
Предисловие к третьему изданию				13
Часть I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ				15
Глава I. КРАТКИЙ ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ ПО ОСНОВАНИЯМ ГЕОМЕТРИИ				15
1. Аксиомы Евклида				15
2. Пятый постулат				20
3. Н. И. Лобачевский и его геометрия				37
4. Формирование понятия геометрического пространства				40
Глава II. АКСИОМЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ				47
1. Геометрические элементы				47
2. Группа I. Аксиомы связи				47
3. Группа II. Аксиомы порядка				50
4. Следствия из аксиом связи и порядка				51
5. Группа III. Аксиомы конгруэнтности				60
6. Следствия из аксиом I-III				64
7. Группа IV. Аксиомы непрерывности				78
8. Группа V. Аксиома параллельности. Абсолютная геометрия				92
Глава III. НЕЕВКЛИДОВА ТЕОРИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ				96
1. Определение параллельных по Лобачевскому				96
2. Особенности расположения параллельных и расходящихся прямых				108
3. Функция Лобачевского П(x)				113
4. Прямые и плоскости в пространстве Лобачевского				117
5. Эквидистанта и орицикл				125
6. Эквидистантная поверхность и орисфера				136
7. Элементарная геометрия на поверхностях пространства Лобачевского				142
8. Площадь треугольника				153
9. Доказательство логической непротиворечивости геометрии Лобачевского				162
10. Основные метрические соотношения в геометрии Лобачевского				183
11. Краткие сведения о геометрии Римана				197
Глава IV. ИССЛЕДОВАНИЕ АКСИОМ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ				207
1. Три основные задачи аксиоматики				207
2. Непротиворечивость аксиом евклидовой геометрии				211
3. Доказательство независимости некоторых аксиом евклидовой геометрии				227
4. Аксиома полноты				238
5. Полнота системы аксиом евклидовой геометрии				243
6. Аксиоматический метод в математике				246
Часть II. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ				248
Глава V. ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ				248
1. Предмет проективной геометрии				248
2. Теорема Дезарга. Построение гармонических групп элементов				254
3. Порядок точек на проективной прямой				267
4. Разделенность гармонических пар; непрерывность гармонического соответствия				277
5. Аксиома непрерывности. Проективная система координат на прямой				283
6. Проективная система координат на плоскости и в пространстве				297
7. Проективное соответствие между элементами одномерных многообразий				310
8. Проективное соответствие между многообразиями двух и трех измерений				321
9. Аналитические представления проективных отображений. Инволюция				331
10. Формулы преобразования проективных координат. Сложное отношение четырех элементов				349
11. Принцип двойственности				359
12. Алгебраические кривые и пучки. Алгебраические поверхности и связки. Комплексная проективная плоскость и комплексное проективное пространство				373
13. Образы второй степени. Теория поляр				382
14. Конструктивные теоремы и задачи проективной геометрии				399
Глава VI. ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВЫЕ ПРИНЦИПЫ ГЕОМЕТРИИ. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ				427
1. Геометрия и теория групп				427
2. Проективная группа и ее основные подгруппы				432
3. Геометрии Лобачевского, Римана и Евклида в проективной схеме				446
Глава VII. ПРОСТРАНСТВО МИНКОВСКОГО				464
1. Многомерное аффинное пространство				464
2. Евклидовы пространства и пространство Минковского				481
3. Пространство событий специальной теории относительности				497
Часть III. ГЕОМЕТРИЯ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ				515
Глава VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НЕЕВКЛИДОВОЙ МЕТРИКИ				515
1. Метрическая форма евклидовой плоскости				515
2. Вычисление расстояния между двумя точками на плоскости Лобачевского				518
3. Метрическая форма плоскости Лобачевского				529
4. Внутренняя геометрия поверхности и задача Бельтрами				542
5. Геометрия на поверхности постоянной кривизны				548
6. Вывод основных метрических соотношений в геометрии Лобачевского				558
Глава IX. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ ГЕОМЕТРИИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ				563
1. Двумерные многообразия с дифференциально-геометрической метрикой				563
2. Параболические пространственные формы				570
3. Эллиптические пространственные формы				575
4. Гиперболические пространственные формы				578
5. Теорема Гильберта				591

Об авторе

Ефимов Николай Владимирович

Выдающийся советский математик, член-корреспондент АН СССР. Родился в Оренбурге. Учился в Северо-Кавказском государственном университете (ныне Южный федеральный университет) и аспирантуре Московского государственного университета; его учителями были известные математики Д. Д. Мордухай-Болтовской, Я. С. Дубнов, В. Ф. Каган, уехавший из нацистской Германии в СССР Стефан Кон-Фоссен. В 1934–1941 гг. работал в Воронежском университете (с 1940 г. — профессор), в 1941–1943 гг. — в Воронежском авиационном институте. В 1943–1962 гг. работал заведующим кафедрой математики в Московском лесотехническом институте. В 1946–1956 гг. — профессор кафедры математики физического факультета МГУ. В 1957–1982 гг. заведовал кафедрой математического анализа механико-математического факультета МГУ; в 1962–1969 гг. был деканом факультета. Член редколлегии «Математической энциклопедии». Лауреат Ленинской премии (1966) и премии имени Н. И. Лобачевского (1951). Награжден орденом Трудового Красного Знамени (1953, 1971).

В область научных интересов Н. В. Ефимова входили дифференциальная геометрия и прикладная математика. Основные его труды относятся к геометрии и посвящены, в частности, теории деформации поверхностей и теории поверхностей отрицательной кривизны. Он исследовал изгибание куска поверхности вблизи точки уплощения и показал, что существуют аналитические поверхности, неизгибаемые ни в какой окрестности такой точки. Им была решена обобщенная проблема Гильберта о поверхностях, имеющих во всех точках отрицательную гауссову кривизну; получено обобщение на произвольные поверхности с отрицательной верхней границей на кривизну теоремы Гильберта о погружении плоскости Лобачевского. В теории уравнений с частными производными он разработал метод исследования нелинейных гиперболических систем. Он создал и возглавил московскую школу геометров, занятую разработкой вопросов геометрии «в целом».