Оглавление | 9
|
Предисловие к шестому изданию | 12
|
Предисловие к пятому изданию | 12
|
Предисловие к четвертому изданию | 12
|
Предисловие к третьему изданию | 13
|
Часть I. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ | 15
|
Глава I. КРАТКИЙ ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ ПО ОСНОВАНИЯМ ГЕОМЕТРИИ | 15
|
1. Аксиомы Евклида | 15
|
2. Пятый постулат | 20
|
3. Н. И. Лобачевский и его геометрия | 37
|
4. Формирование понятия геометрического пространства | 40
|
Глава II. АКСИОМЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ | 47
|
1. Геометрические элементы | 47
|
2. Группа I. Аксиомы связи | 47
|
3. Группа II. Аксиомы порядка | 50
|
4. Следствия из аксиом связи и порядка | 51
|
5. Группа III. Аксиомы конгруэнтности | 60
|
6. Следствия из аксиом I-III | 64
|
7. Группа IV. Аксиомы непрерывности | 78
|
8. Группа V. Аксиома параллельности. Абсолютная геометрия | 92
|
Глава III. НЕЕВКЛИДОВА ТЕОРИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ | 96
|
1. Определение параллельных по Лобачевскому | 96
|
2. Особенности расположения параллельных и расходящихся прямых | 108
|
3. Функция Лобачевского П(x) | 113
|
4. Прямые и плоскости в пространстве Лобачевского | 117
|
5. Эквидистанта и орицикл | 125
|
6. Эквидистантная поверхность и орисфера | 136
|
7. Элементарная геометрия на поверхностях пространства Лобачевского | 142
|
8. Площадь треугольника | 153
|
9. Доказательство логической непротиворечивости геометрии Лобачевского | 162
|
10. Основные метрические соотношения в геометрии Лобачевского | 183
|
11. Краткие сведения о геометрии Римана | 197
|
Глава IV. ИССЛЕДОВАНИЕ АКСИОМ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ | 207
|
1. Три основные задачи аксиоматики | 207
|
2. Непротиворечивость аксиом евклидовой геометрии | 211
|
3. Доказательство независимости некоторых аксиом евклидовой геометрии | 227
|
4. Аксиома полноты | 238
|
5. Полнота системы аксиом евклидовой геометрии | 243
|
6. Аксиоматический метод в математике | 246
|
Часть II. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ | 248
|
Глава V. ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ | 248
|
1. Предмет проективной геометрии | 248
|
2. Теорема Дезарга. Построение гармонических групп элементов | 254
|
3. Порядок точек на проективной прямой | 267
|
4. Разделенность гармонических пар; непрерывность гармонического соответствия | 277
|
5. Аксиома непрерывности. Проективная система координат на прямой | 283
|
6. Проективная система координат на плоскости и в пространстве | 297
|
7. Проективное соответствие между элементами одномерных многообразий | 310
|
8. Проективное соответствие между многообразиями двух и трех измерений | 321
|
9. Аналитические представления проективных отображений. Инволюция | 331
|
10. Формулы преобразования проективных координат. Сложное отношение четырех элементов | 349
|
11. Принцип двойственности | 359
|
12. Алгебраические кривые и пучки. Алгебраические поверхности и связки. Комплексная проективная плоскость и комплексное проективное пространство | 373
|
13. Образы второй степени. Теория поляр | 382
|
14. Конструктивные теоремы и задачи проективной геометрии | 399
|
Глава VI. ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВЫЕ ПРИНЦИПЫ ГЕОМЕТРИИ. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ | 427
|
1. Геометрия и теория групп | 427
|
2. Проективная группа и ее основные подгруппы | 432
|
3. Геометрии Лобачевского, Римана и Евклида в проективной схеме | 446
|
Глава VII. ПРОСТРАНСТВО МИНКОВСКОГО | 464
|
1. Многомерное аффинное пространство | 464
|
2. Евклидовы пространства и пространство Минковского | 481
|
3. Пространство событий специальной теории относительности | 497
|
Часть III. ГЕОМЕТРИЯ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ | 515
|
Глава VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НЕЕВКЛИДОВОЙ МЕТРИКИ | 515
|
1. Метрическая форма евклидовой плоскости | 515
|
2. Вычисление расстояния между двумя точками на плоскости Лобачевского | 518
|
3. Метрическая форма плоскости Лобачевского | 529
|
4. Внутренняя геометрия поверхности и задача Бельтрами | 542
|
5. Геометрия на поверхности постоянной кривизны | 548
|
6. Вывод основных метрических соотношений в геометрии Лобачевского | 558
|
Глава IX. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ ГЕОМЕТРИИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ | 563
|
1. Двумерные многообразия с дифференциально-геометрической метрикой | 563
|
2. Параболические пространственные формы | 570
|
3. Эллиптические пространственные формы | 575
|
4. Гиперболические пространственные формы | 578
|
5. Теорема Гильберта | 591
|