|
Оглавление
Предисловие редактора
Предлагаемая вниманию читателей книга О.А.Вольберга "Основные идеи проективной геометрии" выходит из печати уже третий раз. Для математической книги, не являющейся учебником и не имеющей официально установленной обширной аудитории учащихся, это – не мало. Успех книги О.А.Вольберга объясняется тем, что проективная геометрия в ней изложена оригинально, существенным образом отлично от традиционного изложения учебных руководств. Своеобразная система изложения гармонирует с его легкостью и эмоциональностью. Третье издание этой книги значительно отличается от первых двух. Автор внес в свою книгу много изменений и дополнил ее. К сожалению, автор не успел привести новые части книги в полное согласование со старым текстом. Взяв по поручению издательства на себя эту работу, я постарался уничтожить несогласованности и математические неточности изложения, оставив без изменения его оригинальный стиль. Н.Ефимов
11/ХII 1948 г.
Москва
Из главы второй
ГЛАВА ВТОРАЯ, В КОТОРОЙ РАСКРЫВАЮТСЯ ГЛАВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ОСЕВЫХ КОЛЛИНЕАЦИЙ Осевая коллинеация 33. Проектирование точек одной плоскости на другую плоскость относит каждой точке оригинала одну и только одну точку в качестве ее изображения и каждой точке изображения – одну и только одну точку в качестве оригинала. Это выражают, говоря, что проектирование есть одно – однозначное точечное преобразование а н и е одной плоскости в другую. 34. Спроектировав плоскость alfa на плоскость alfa" можно затем спроектировать плоскость alfa" на третью плоскость alfa" (из другого или из того же центра). В частности, можно спроектировать alfa" снова на первоначальную плоскость alfa. Таким образом, каждая фигура плоскости alfa будет преобразована в фигуру той же плоскости, причем каждая точка будет преобразована в точку, каждая прямая – в прямую, а инцидентные элементы – в инцидентные же элементы. 35. Обратим еще внимание на прямую пересечения плоскостей alfa и alfa". Ясно, что при проектировании плоскости alfa на alfa" каждая точка этой прямой преобразуется в самое себя. При обратном проектировании alfa" на а каждая точка прямой их пересечения снова преобразуется в самое себя. Таким образом при преобразовании плоскости а в самое себя, которое получается, если последовательно проектировать сперва alfa на alfa", а затем alfa" снова на alfa, одна прямая плоскости а преобразуется в самое себя, причем каждая точка этой прямой тоже преобразуется в самое себя, т.е. остается на своем месте. 36. Итак, существует такое одно – однозначное преобразование плоскости в самое себя, при котором: 1) каждая точка преобразуется в точку, 2) каждая прямая – в прямую, 3) сохраняется инцидентность точек с прямыми, 4) все точки одной определенной прямой преобразуются сами в себя. 37. Это преобразование плоскости в самое себя можно охарактеризовать ещё иначе. Точки, расположенные на одной прямой, называют коллинейными (т.е. "сопринадлежащими линии", подразумевается – прямой линии). Преобразование, о котором идет речь, есть одно – однозначное точечное преобразование плоскости в самое себя, сохраняющее коллинейностъ точек и преобразующее все точки одной прямой в самих себя. Этими словами дано краткое, но полное описание полученного преобразования. 38. Существует очень простой способ осуществить такое преобразование. Тень, которую отбрасывает плоская фигура на поверхность стола, есть проекция этой фигуры на стол. Если передвинуть источник света (центр проекции), тень (проекция) изменит свое положение и свою форму; мы скажем, что она преобразовалась в новую тень. При этом те точки тени, которые лежали на одной прямой, окажутся преобразованными в точки новой тени, опять-таки лежащие на одной прямой (коллинейность сохраняется!); а те точки тени, которые находились на пересечении плоскости фигуры с плоскостью доски стола, останутся на своих местах, т.е. будут преобразованы сами в себя. 39. Прямая, все точки которой преобразуются сами в себя, называется о с ь ю преобразования, а самое преобразование, существование которого только что доказано, – осевой коллинеаций: осевой, чтобы подчеркнуть наличие оси; коллинеацией, так как оно сохраняет коллинейность точек. Вообще коллинеациями называют одно – однозначные точечные преобразования, сохраняющие коллйнейность точек, т.е. преобразуюЩие точку в точку, прямую в прямую и инцидентные элементы в инцидентные же элементы. Одним из таких преобразований является хорошо всем известное движение. Если фигура omega передвинута на другое место, то, назвав ее в новом положении фигурой omeg", можно сказать, что движение преобразовало фигуру omega в фигуру omega". При этом каждая точка фигуры omega преобразована в точку фигуры omega", каждая прямая – в прямую, инцидентные элементы – в инцидентные же, так что движение представляет собой коллинеацию. Но, разумеется, движение – это специальный вид коллинеаций: существует много коллинеаций, весьма отличных от движения, в частности такова осевая коллинеация. 40. Если бы мы захотели сейчас охарактеризовать движение как особый вид коллинеаций, то натолкнулись бы на значительные трудности. Можно, конечно, определить движение как такую коллинеацию, которая сохраняет равенство фигур. Но о равенстве фигур мы судим по тому, что они могут быть совмещены наложением, т.е. преобразованы одна в другую посредством движения. Таким образом, движение было бы определено тем, что оно преобразует друг в друга равные фигуры, а равными назывались бы фигуры, которые преобразуются друг в друга движением. Проективной геометрии удалось разорвать этот ложный круг и дать такое определение движения, которое не опирается на понятие "равенство". Тем самым метрическая (т.е. измерительная) геометрия получает совершенно новое освещение. Это одно из самых интересных и важных достижений проективной геометрии. Первое звено проективного определения движения в наших руках: движение есть коллинеация, которая... Дальнейшие звенья будут постепенно присоединяться по мере углубления нашего знакомства с новой геометрией. Об авторе
 Вольберг Овсей Аронович Советский педагог-математик. Родился в г. Вильно (ныне Вильнюс) в семье коммерсанта. Окончил Полоцкое реальное училище (1912), поступил в Харьковский сельскохозяйственный институт (1914), но был переведен в школу прапорщиков после начала Первой мировой войны. В 1918 г. стал заведующим естественно-математической секцией Отдела реформы школы Наркомпроса, организовал периодическое издание «Математика в школе». Затем переехал в Петроград, где руководил издательством «Сеятель», в котором вышли первые русскоязычные издания математических сочинений Архимеда и Д. Гильберта. В 1930-е годы преподавал в ленинградских вузах, разрабатывал вопросы учебного кино.
О. А. Вольберг является автором учебных пособий по проективной и начертательной геометрии. Он также известен как один из основоположников учебного и научного кинематографа. По разработанным им сценариям были созданы мультипликационные учебные фильмы: «Бегущие и стоячие волны» и «Гармонические колебания», которые послужили основанием для присвоения ему ученой степени кандидата наук. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||