| Предисловие ко второму изданию | 8
|
| Предисловие к первому изданию | 8
|
| Глава 1. Группы и преобразования | 10
|
| 1.1. Группы: основные понятия и определения | 10
|
| 1.1.1. Определение группы и подгруппы. Примеры | 10
|
| 1.1.2. Инвариантные подгруппы, смежные классы, фактор-группа | 21
|
| 1.1.3. Прямое произведение групп, классы сопряженных элементов, центр | 24
|
| 1.1.4. Пример. Группа перестановок (симметрическая группа) S n | 27
|
| 1.2. Матричные группы. Линейные, унитарные, ортогональные и симплектические группы | 36
|
| 1.2.1. Векторные пространства и алгебры | 36
|
| 1.2.2. Матрицы. Детерминант и пфаффиан | 37
|
| 1.2.3. Матричные группы и группы линейных преобразований GL и SL | 44
|
| 1.2.4. Матричные группы, связанные с билинейными и эрмитовыми формами | 46
|
| 1.2.5. Матричные группы O, Sp и U типов | 50
|
| 1.3. Отображения. Группы и преобразования. Конформная группа | 57
|
| 1.3.1. Понятие отображения | 57
|
| 1.3.2. Гомоморфизм. Ядро и образ гомоморфизма | 59
|
| 1.3.3. Точные последовательности | 62
|
| 1.3.4. Группы преобразований. Линейные неоднородные группы | 65
|
| 1.3.5. Полупрямое произведение групп | 69
|
| 1.3.6. Конформные группы Conf( Rp,q) | 72
|
| Глава 2. Группы и алгебры Ли | 77
|
| 2.1. Многообразия. Группы Ли | 77
|
| 2.1.1. Гладкие многообразия | 77
|
| 2.1.2. Многообразия групп Ли. Примеры | 85
|
| 2.1.3. Многообразия конформных групп Conf( R p,q). Изоморфизм между Conf( Rp,q ) и O(p + 1, q + 1) | 94
|
| 2.1.4. Компактные группы Ли | 98
|
| 2.1.5. Касательные пространства к гладким многообразиям | 101
|
| 2.1.6. Инвариантная метрика на группе Ли. Мера Хаара | 108
|
| 2.2. Алгебры Ли | 115
|
| 2.2.1. Касательные пространства к многообразиям матричных групп Ли | 115
|
| 2.2.2. Матричные алгебры Ли | 117
|
| 2.2.3. Примеры матричных алгебр Ли | 119
|
| 2.2.4. Касательные пространства к многообразиям матричных групп Ли (продолжение) | 129
|
| 2.2.5. Общее определение алгебр Ли. Гомоморфизмы алгебр Ли. Экспоненциальное отображение A(G) → G | 131
|
| 2.2.6. Структурные соотношения. Простые и полупростые алгебры Ли. Прямая сумма алгебр Ли | 139
|
| 2.2.7. Овеществления и вещественные формы комплексных алгебр Ли | 143
|
| 2.2.8. Метрика Картана—Киллинга для алгебры Ли. Критерий полупростоты | 151
|
| 2.2.9. Примеры структурных соотношений для некоторых алгебр Ли | 154
|
| 2.2.10. Вещественные формы алгебр Ли sl(n, C ), so(n, C ) и sp(2r, C ) | 167
|
| 2.2.11. Алгебра Ли конформной группы Conf( Rp,q) | 168
|
| 2.2.12. Изометрии и конформные изометрии многообразий. Вектора Киллинга. Теорема Лиувилля | 170
|
| 2.2.13. Изоморфизмы и автоморфизмы алгебр Ли: примеры. «Случайные» изоморфизмы | 177
|
| 2.2.14. Локально изоморфные группы Ли. Универсальные накрывающие | 191
|
| Глава 3. Представления групп и алгебр Ли | 198
|
| 3.1. Линейные (матричные) представления групп | 198
|
| 3.1.1. Определение представления группы. Примеры | 198
|
| 3.1.2. Регулярные и индуцированные представления конечных групп. Точные и неточные представления | 203
|
| 3.1.3. Эквивалентные представления. Эквивалентность определяющего и сопряженного ему представлений SU(2). Характер представления | 207
|
| 3.2. Представления алгебр Ли | 209
|
| 3.2.1. Определение представления алгебры Ли | 209
|
| 3.2.2. Примеры представлений алгебр Ли | 213
|
| 3.3. Прямое произведение и прямая сумма представлений | 216
|
| 3.3.1. Прямое (тензорное) произведение представлений. Тензоры | 216
|
| 3.3.2. Прямая сумма представлений | 221
|
| 3.4. Приводимые и неприводимые представления | 223
|
| 3.4.1. Определение приводимых и неприводимых представлений | 223
|
| 3.4.2. Лемма Шура | 230
|
| 3.5. Некоторые свойства представлений конечных групп и компактных групп Ли. Групповая алгебра и регулярные представления | 236
|
| 3.6. Элементы теории характеров конечных групп и компактных групп Ли | 242
|
| 3.6.1. Неприводимые представления и характеры групп C 3 и S 3 | 242
|
| 3.6.2. Свойства характеров конечных групп и компактных групп Ли | 246
|
| 3.6.3. Неприводимые представления и характеры группы SO(2) = U(1) | 255
|
| 3.7. Обертывающая алгебра. Операторы Казимира. Янгианы | 256
|
| 3.7.1. Определение обертывающей алгебры U(A) для алгебры Ли A | 256
|
| 3.7.2. Представления алгебры U(A). Центр алгебры U(A) и операторы Казимира | 259
|
| 3.7.3. Конечномерные представления алгебр Ли su(2) и sl(2, C ) со старшим весом | 272
|
| 3.7.4. Коумножение для обертывающей алгебры U(A). Янгианы | 278
|
| Глава 4. Компактные алгебры Ли | 300
|
| 4.1. Определение и основные свойства компактных алгебр Ли | 300
|
| 4.2. Структура компактных алгебр Ли | 304
|
| 4.3. Связь компактных алгебр Ли и компактных групп Ли | 308
|
| Глава 5. Корневые системы и классификация простых алгебр Ли | 312
|
| 5.1. Подалгебра Картана. Базис Картана—Вейля | 312
|
| 5.1.1. Регулярные элементы. Подалгебра Картана и ранг алгебры Ли | 313
|
| 5.1.2. Базис Картана—Вейля | 315
|
| 5.2. Корневые системы простых алгебр Ли | 325
|
| 5.2.1. Свойства корней простых алгебр Ли | 325
|
| 5.2.2. Группа Вейля и простые корни | 335
|
| 5.2.3. Диаграммы Дынкина. Корневые системы классических алгебр Ли sl(n, C ), so(n, C ), sp(2n, C ) | 343
|
| 5.2.4. Диаграммы Дынкина для конечномерных простых алгебр Ли. Классификация простых алгебр Ли | 357
|
| 5.2.5. Системы корней исключительных алгебр Ли | 366
|
| Глава 6. Однородные пространства и их геометрия | 378
|
| 6.1. Однородные пространства | 378
|
| 6.2. Примеры однородных пространств. Параметризации групп SO(n) и U(n) | 382
|
| 6.3. Действие группы G на фактор-пространстве G/H. Индуцированные представления | 399
|
| 6.4. Модели неевклидовой геометрии Лобачевского. Геометрия пространств AdS и dS | 402
|
| 6.5. Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах | 413
|
| 6.5.1. Элементы дифференциальной геометрии на гладких многообразиях | 413
|
| 6.5.2. Инвариантная метрика на однородных пространствах | 424
|
| 6.5.3. Регулярные представления и инвариантные векторные поля на группах Ли | 434
|
| 6.5.4. Операторы Лапласа на группах Ли и однородных пространствах | 436
|
| 6.5.5. Сферические функции на однородных пространствах | 442
|
| Глава 7. Решения некоторых задач | 445
|
| 7.1. Задача 1.1.9 | 445
|
| 7.2. Задача 1.1.27 | 446
|
| 7.3. Задача 1.2.56 | 447
|
| 7.4. Задача 2.1.8 | 448
|
| 7.5. Задача 2.2.17 | 449
|
| 7.6. Задача 2.2.19 | 452
|
| 7.7. Задача 2.2.50 | 453
|
| 7.8. Задача 2.2.62 | 455
|
| 7.9. Задача 2.2.63 | 458
|
| 7.10. Задача 2.2.64 | 459
|
| 7.11. Задача 3.7.33 | 463
|
| 7.12. Задача 3.7.34 | 464
|
| 7.13. Задача 3.7.38 | 466
|
| 7.14. Задача 3.7.50 | 467
|
| 7.15. Задача 3.7.54 | 471
|
| 7.16. Задача 5.2.17 | 473
|
| 7.17. Задачи 6.1.1, 6.1.3 | 475
|
| 7.18. Задача 6.2.8 | 477
|
| 7.19. Задача 6.2.10 | 479
|
| 7.20. Задача 6.5.30 | 481
|
| Монографии общего характера | 484
|
| Использованная литература | 486
|
| Предметный указатель | 488
|
Исаев Алексей Петрович 
Рубаков Валерий Анатольевич