URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Исаев А.П., Рубаков В.А. Теория групп и симметрий. Книга 1: Конечные группы. Группы и алгебры Ли
Id: 280939
1099 р.

Теория групп и симметрий.
Книга 1: Конечные группы. Группы и алгебры Ли. Кн.1. Изд. 2, испр. и доп.

URSS. 2022. 504 с. ISBN 978-5-9710-9321-3.
Типографская бумага

Аннотация

Дано расширенное изложение положений и результатов теории групп и симметрий, имеющих широкие приложения в теоретической и математической физике. Обсуждается как алгебраическая теория групп, так и теория представлений групп и алгебр Ли. Особое внимание уделено компактным группам и алгебрам Ли, а также конформным группам и алгебрам в пространствах различной размерности. Кратко рассматривается классификация полупростых конечномерных алгебр... (Подробнее)


Содержание
Предисловие ко второму изданию8
Предисловие к первому изданию8
Глава 1. Группы и преобразования10
1.1. Группы: основные понятия и определения10
1.1.1. Определение группы и подгруппы. Примеры10
1.1.2. Инвариантные подгруппы, смежные классы, фактор-группа21
1.1.3. Прямое произведение групп, классы сопряженных элементов, центр24
1.1.4. Пример. Группа перестановок (симметрическая группа) S n27
1.2. Матричные группы. Линейные, унитарные, ортогональные и симплектические группы36
1.2.1. Векторные пространства и алгебры36
1.2.2. Матрицы. Детерминант и пфаффиан37
1.2.3. Матричные группы и группы линейных преобразований GL и SL44
1.2.4. Матричные группы, связанные с билинейными и эрмитовыми формами46
1.2.5. Матричные группы O, Sp и U типов50
1.3. Отображения. Группы и преобразования. Конформная группа57
1.3.1. Понятие отображения57
1.3.2. Гомоморфизм. Ядро и образ гомоморфизма59
1.3.3. Точные последовательности62
1.3.4. Группы преобразований. Линейные неоднородные группы65
1.3.5. Полупрямое произведение групп69
1.3.6. Конформные группы Conf( Rp,q)72
Глава 2. Группы и алгебры Ли77
2.1. Многообразия. Группы Ли77
2.1.1. Гладкие многообразия77
2.1.2. Многообразия групп Ли. Примеры85
2.1.3. Многообразия конформных групп Conf( R p,q). Изоморфизм между Conf( Rp,q ) и O(p + 1, q + 1)94
2.1.4. Компактные группы Ли98
2.1.5. Касательные пространства к гладким многообразиям101
2.1.6. Инвариантная метрика на группе Ли. Мера Хаара108
2.2. Алгебры Ли115
2.2.1. Касательные пространства к многообразиям матричных групп Ли115
2.2.2. Матричные алгебры Ли117
2.2.3. Примеры матричных алгебр Ли119
2.2.4. Касательные пространства к многообразиям матричных групп Ли (продолжение)129
2.2.5. Общее определение алгебр Ли. Гомоморфизмы алгебр Ли. Экспоненциальное отображение A(G) → G131
2.2.6. Структурные соотношения. Простые и полупростые алгебры Ли. Прямая сумма алгебр Ли139
2.2.7. Овеществления и вещественные формы комплексных алгебр Ли143
2.2.8. Метрика Картана—Киллинга для алгебры Ли. Критерий полупростоты151
2.2.9. Примеры структурных соотношений для некоторых алгебр Ли154
2.2.10. Вещественные формы алгебр Ли sl(n, C ), so(n, C ) и sp(2r, C )167
2.2.11. Алгебра Ли конформной группы Conf( Rp,q)168
2.2.12. Изометрии и конформные изометрии многообразий. Вектора Киллинга. Теорема Лиувилля170
2.2.13. Изоморфизмы и автоморфизмы алгебр Ли: примеры. «Случайные» изоморфизмы177
2.2.14. Локально изоморфные группы Ли. Универсальные накрывающие191
Глава 3. Представления групп и алгебр Ли198
3.1. Линейные (матричные) представления групп198
3.1.1. Определение представления группы. Примеры198
3.1.2. Регулярные и индуцированные представления конечных групп. Точные и неточные представления203
3.1.3. Эквивалентные представления. Эквивалентность определяющего и сопряженного ему представлений SU(2). Характер представления207
3.2. Представления алгебр Ли209
3.2.1. Определение представления алгебры Ли209
3.2.2. Примеры представлений алгебр Ли213
3.3. Прямое произведение и прямая сумма представлений216
3.3.1. Прямое (тензорное) произведение представлений. Тензоры216
3.3.2. Прямая сумма представлений221
3.4. Приводимые и неприводимые представления223
3.4.1. Определение приводимых и неприводимых представлений223
3.4.2. Лемма Шура230
3.5. Некоторые свойства представлений конечных групп и компактных групп Ли. Групповая алгебра и регулярные представления236
3.6. Элементы теории характеров конечных групп и компактных групп Ли242
3.6.1. Неприводимые представления и характеры групп C 3 и S 3242
3.6.2. Свойства характеров конечных групп и компактных групп Ли246
3.6.3. Неприводимые представления и характеры группы SO(2) = U(1)255
3.7. Обертывающая алгебра. Операторы Казимира. Янгианы256
3.7.1. Определение обертывающей алгебры U(A) для алгебры Ли A256
3.7.2. Представления алгебры U(A). Центр алгебры U(A) и операторы Казимира259
3.7.3. Конечномерные представления алгебр Ли su(2) и sl(2, C ) со старшим весом272
3.7.4. Коумножение для обертывающей алгебры U(A). Янгианы278
Глава 4. Компактные алгебры Ли300
4.1. Определение и основные свойства компактных алгебр Ли300
4.2. Структура компактных алгебр Ли304
4.3. Связь компактных алгебр Ли и компактных групп Ли308
Глава 5. Корневые системы и классификация простых алгебр Ли312
5.1. Подалгебра Картана. Базис Картана—Вейля312
5.1.1. Регулярные элементы. Подалгебра Картана и ранг алгебры Ли313
5.1.2. Базис Картана—Вейля315
5.2. Корневые системы простых алгебр Ли325
5.2.1. Свойства корней простых алгебр Ли325
5.2.2. Группа Вейля и простые корни335
5.2.3. Диаграммы Дынкина. Корневые системы классических алгебр Ли sl(n, C ), so(n, C ), sp(2n, C )343
5.2.4. Диаграммы Дынкина для конечномерных простых алгебр Ли. Классификация простых алгебр Ли357
5.2.5. Системы корней исключительных алгебр Ли366
Глава 6. Однородные пространства и их геометрия378
6.1. Однородные пространства378
6.2. Примеры однородных пространств. Параметризации групп SO(n) и U(n)382
6.3. Действие группы G на фактор-пространстве G/H. Индуцированные представления399
6.4. Модели неевклидовой геометрии Лобачевского. Геометрия пространств AdS и dS402
6.5. Метрика и оператор Лапласа на однородных пространствах413
6.5.1. Элементы дифференциальной геометрии на гладких многообразиях413
6.5.2. Инвариантная метрика на однородных пространствах424
6.5.3. Регулярные представления и инвариантные векторные поля на группах Ли434
6.5.4. Операторы Лапласа на группах Ли и однородных пространствах436
6.5.5. Сферические функции на однородных пространствах442
Глава 7. Решения некоторых задач445
7.1. Задача 1.1.9445
7.2. Задача 1.1.27446
7.3. Задача 1.2.56447
7.4. Задача 2.1.8448
7.5. Задача 2.2.17449
7.6. Задача 2.2.19452
7.7. Задача 2.2.50453
7.8. Задача 2.2.62455
7.9. Задача 2.2.63458
7.10. Задача 2.2.64459
7.11. Задача 3.7.33463
7.12. Задача 3.7.34464
7.13. Задача 3.7.38466
7.14. Задача 3.7.50467
7.15. Задача 3.7.54471
7.16. Задача 5.2.17473
7.17. Задачи 6.1.1, 6.1.3475
7.18. Задача 6.2.8477
7.19. Задача 6.2.10479
7.20. Задача 6.5.30481
Монографии общего характера484
Использованная литература486
Предметный указатель488

Об авторах
Исаев Алексей Петрович
Заместитель директора Лаборатории теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований (г. Дубна), главный научный сотрудник физического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, профессор. Физик-теоретик, специалист в области квантовой теории поля, теории симметрий, теории релятивистских струн и физики элементарных частиц, автор более 100 научных работ. Удостоен первой премии ОИЯИ за циклы теоретических работ в 1997 и 2019 годах.
Рубаков Валерий Анатольевич
Главный научный сотрудник Института ядерных исследований РАН, заведующий кафедрой физики частиц и космологии физического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, академик Российской академии наук. Физик-теоретик, специалист в области квантовой теории поля, физики элементарных частиц, космологии, гравитации. Лауреат российских и международных научных премий, среди которых золотая медаль с премией для молодых ученых АН СССР (1984), премия им. А. А. Фридмана РАН (1999), международная премия им. И. Я. Померанчука (2003), международная премия им. М. А. Маркова Института ядерных исследований РАН (2005), премия им. Б. М. Понтекорво ОИЯИ (2008), премия им. Й. Ханса Йенсена Гейдельбергского университета (2009), премия им. Юлиуса Весса Технологического института Карлсруэ (2010), Ломоносовская премия 1-й степени (2012), премия им. Н. Н. Боголюбова ОИЯИ (2015), Демидовская премия (2016), Гамбургская премия по теоретической физике (2020).