Обложка Погорелов А.В. Основания геометрии
Id: 280181
649 руб.

Основания геометрии. Изд. 5

URSS. 2022. 152 с. ISBN 978-5-9519-2541-1.
Белая офсетная бумага
  • Твердый переплет
• Исторический очерк обоснования геометрии.
• Современное аксиоматическое построение евклидовой геометрии.
• Исследование аксиом евклидовой геометрии.
• Геометрия Лобачевского.
• Основы проективной геометрии.

Аннотация

Настоящая книга посвящена принципиальным вопросам, связанным с аксиоматическим построением евклидовой геометрии, геометрии Лобачевского, аффинной и проективной геометрий. В частности, в ней рассматриваются вопросы независимости, непротиворечивости и полноты системы аксиом указанных геометрий. Наряду с этим она содержит значительный фактический материал по геометрии Лобачевского, аффинной и проективной геометриям. Изложение отличается... (Подробнее)


Оглавление
Предисловие к первому изданию5
Введение9
Глава I. Исторический очерк обоснования геометрии10
§ 1 «Начала» Евклида10
§ 2. Попытки доказательства пятого постулата13
§ 3. Открытие неевклидовой геометрии15
§ 4. Работы по основаниям геометрии во второй половине XIX в19
Глава II. Современное аксиоматическое построение евклидовой геометрии22
§ 1. Аксиомы связи. Следствия из аксиом связи22
§ 2. Аксиомы порядка. Взаимное расположение точек на прямой и плоскости24
§ 3. Взаимное расположение лучей в пучке. Угол28
§ 4. Аксиомы движения. Конгруэнтность фигур30
§ 5. Конгруэнтность отрезков, углов, треугольников33
§ 6. Сравнение отрезков и углов и операции над ними37
§ 7. Некоторые соотношения между сторонами и углами треугольника39
§ 8. Аксиома непрерывности42
§ 9. Пересечение прямой с окружностью, пересечение двух окружностей45
§ 10. Измерение отрезков и углов47
§ 11. Аксиома параллельности. Подобие треугольников50
Глава III. Исследование аксиом евклидовой геометрии54
§ 1, Декартова реализация системы аксиом евклидовой геометрии54
§ 2. Выполнимость аксиом евклидовой геометрии в декартовой реализации55
§ 3. Непротиворечивость и полнота системы аксиом евклидовой геометрии61
§ 4. Независимость аксиомы непрерывности63
§ 5. Независимость аксиомы параллельности65
§ 6. О зависимости некоторых аксиом движения68
Глава IV. Геометрия Лобачевского70
§ 1 Некоторые предложения абсолютной геометрии73
§ 2. Некоторые вспомогательные функции77
§ 3. Теорема Пифагора «в малом82
§ 4. Линейный элемент плоскости85
§ 5. Полнота системы аксиом геометрии Лобачевского. Изоморфизм всех ее реализаций89
§ 6. Важнейшие интерпретации геометрии Лобачевского91
§ 7. Некоторые факты геометрии Лобачевского96
Глава V. Основы проективной геометрии101
§ 1. Акоиомдл авязи. Теорема Дезарга101
§ 2. Гармонические четверки точек105
§ 3. Аксиомы порядка. Аффинная плоскость108
§ 4. Векторы на аффинной плоскости112
§ 5. Аксиома непрерывности. Умножение вектора на число117
§ 6. Декартовы и проективные координаты122
§ 7. Непротиворечивость и полнота системы аксиом проективной геометрии на плоскости125
§ 8. Проективные преобразования130
§ 9. Другие предложения проективной геометрии137
§ 10. Различные геометрии в проективной схеме143
Литература150

Предисловие к первому изданию

Мне неоднократно приходилось читать университетский курс оснований геометрии. При этом возник ряд соображений относительно изложения отдельных разделов курса. Эти соображения были руководящими при написании настоящего пособия.

Традиционный курс оснований геометрии, не считая исторического обзора, которым обычно курс начинается, содержит четыре темы: аксиоматическое построение евклидовой геометрии, анализ аксиом евклидовой геометрии, геометрию Лобачевского, проективную и другие геометрии.

Излагая вопрос об аксиоматическом построении евклидовой геометрии, ставят перед собой задачу, отправляясь от аксиом, развить систему вытекающих из них следствий до такого объема, когда изложение в школьном курсе геометрии становится достаточно безупречным. Практически здесь приходится строго обосновать измерение отрезков и углов, доказать основные теоремы о конгруэнтности простейших фигур, вывести известные неравенства для сторон и углов треугольника, рассмотреть подобие треугольников и закончить теоремой Пифагора.

Несмотря на элементарность этой части курса, изложение ее в указанном объеме требует значительного времени. И фактически дело обстоит примерно так. Когда, наконец, устанавливается естественный порядок следования точек на прямой и для отрезков доказывается существование длины, аудитория становится настолько подозрительной, что начинает сомневаться вообще в возможности когда-нибудь дойти до теоремы Пифагора таким путем. Это сомнение дальнейшим изложением не только не рассеивается, а еще больше укрепляется тем, что из-за недостатка времени лектор обычно ограничивается очень немногими следствиями аксиом конгруэнтности и переходит к рассмотрению различных предложений, эквивалентных пятому постулату.

Мне представляется, что дело здесь можно в какой-то мере поправить следующим образом.

Во-первых, необходимо вместо аксиом порядка Гильберта вводить систему аксиом, основанную на отношении следования для пар точек. Такая система, как известно, эквивалентна системе аксиом Гильберта, но отличается от нее простотой, близостью к привычным представлениям о расположении точек на прямой и позволяет двумя-тремя простыми следствиями, из нее вытекающими, подготовить вопрос о введении меры для отрезков и углов.

Во-вторых, вместо аксиом конгруэнтности надо вводить аксиомы движения. Именно на аксиомах движения основано изложение в школьном курсе геометрии. Вводить аксиомы конгруэнтности, основанные на отношении для фигур, которое можно представить себе только с помощью движения для того, чтобы потом доказать существование этого самого движения, вряд ли целесообразно.

В-третьих, надо формулировать только аксиому непрерывности Дедекинда, не устанавливая ее эквивалентность аксиоме Кантора и аксиоме Архимеда. Этому вопросу слишком много уделяется времени в теории вещественных чисел, уже знакомой учащемуся.

Что же касается эквивалентов пятого постулата, то о них следует только упомянуть и то в соответствующем месте исторического обзора. Все эти утверждения эквивалентности становятся тривиальными, после установления полноты системы аксиом Лобачевского.

Указанные соображения хотя и не новы, позволяют, настолько облегчить начало изложения, непосредственно примыкающее к аксиомам, что представляется возможным действительно развить элементарную геометрию в указанном объеме без особого труда. А этого нельзя игнорировать, если принять во внимание будущую профессию основной массы слушателей — учителя средней школы.

Следующая тема курса — анализ аксиом элементарной геометрии — имеет своей задачей рассмотреть вопросы непротиворечивости, независимости и полноты системы аксиом элементарной геометрии.

Здесь прежде всего необходимо четко формулировать основные вопросы, возникающие при аксиоматическом построении любой теории и геометрии в частности, доказать непротиворечивость и полноту системы аксиом элементарной геометрии. Что же касается их независимости, то достаточно ограничиться доказательством независимости аксиомы непрерывности в форме Дедекинда и аксиомы параллельности. В последнем вопросе предпочтительно пользоваться интерпретацией Клейна. Дело в том, что в этой интерпретации проверка всех аксиом, кроме аксиом движения, действительно тривиальна, а проверка аксиом движения также может быть проведена достаточно просто путем приведения произвольной точки к центру некоторым стандартным образом, а затем использования евклидовых вращений около центра абсолюта и зеркальных отражений в его диаметрах.

Существенно, нам кажется, надо изменить изложение темы — геометрия Лобачевского. Традиционное изложение ее начинается теорией параллельных по Лобачевскому. Задача, которую при этом ставят, заключается не в том, чтобы показать, какие парадоксальные свойства взаимного расположения прямых можно вывести из аксиомы параллельности Лобачевского, а в том, чтобы доказать полноту системы аксиом и вывести метрическую форму плоскости Лобачевского. Задача эта не легкая и ее решение в своей существенной части обычно переходит в так называемый необязательный раздел курса, который подается в описательном плане без доказательств.

Представляется более естественным и современным начать со второй части поставленной задачи — вывода линейного элемента плоскости в рамках абсолютной геометрии без использования каких-либо предположений о параллельных. Такой подход оказывается не только не безнадежным, но более простым и экономным. Строго установленная полнота системы аксиом геометрии Лобачевского и изоморфизм всех ее реализаций позволяют просто и без особого труда изложить основные факты геометрии Лобачевского, в том числе и теорию параллельных, используя наиболее подходящие для этого интерпретации.

В последней, теме курса — проективная и другие геометрии — основная задача состоит в строгом аксиоматическом обосновании проективной геометрии. Другие геометрии обычно подаются в описательном плане. Обоснование проективной геометрии — также довольно большая по содержанию тема. Некоторое облегчение ее изложения достигается следующим образом.

Во-первых, вместо аксиом порядка, относящихся к понятию разделения пар, можно принять аксиомы следования троек. Это особенно целесообразно, если через отношение следования пар вводятся аксиомы порядка евклидовой геометрии, так как получается преемственность в этих системах аксиом.

Во-вторых, после классического разрезания проективной плоскости по «бесконечно удаленной прямой» надо немедленно приступить к построению теории векторов, максимально используя при этом следствия аксиом связи, порядка, непрерывности и параллельности евклидовой геометрии, а затем ввести аффинные координаты. При этом оказывается возможным избежать дублирования соответствующего раздела евклидовой геометрии и по ходу действия установить полноту системы аксиом аффинной геометрии. Кроме того, строгое геометрическое обоснование теории векторов также весьма полезно. Установив полноту системы аксиом проективной геометрии, основные ее факты можно получить в аналитической реализации.

В предлагаемом пособии мы следовали указанным соображениям.

Общий план построения курса, а также детали некоторых доказательств заимствованы нами преимущественно из книги Н. В. Ефимова «Высшая геометрия.


ВВЕДЕНИЕ

Каждому, кто изучал элементарную геометрию, известно, что ее содержание составляют утверждения (теоремы), относящиеся к геометрическим фигурам, получаемые путем логических умозаключений в конечном счете из некоторого числа исходных положений (аксиом).

Ё связи с этим возникают три вопроса, которые в первую очередь рассматриваются в основаниях геометрии.

1) Так как исходные положения — аксиомы — так; же представляют собой некоторые утверждения, относящиеся к геометрическим фигурам, то не могут ли некоторые из них быть логически выведены из других?

2) нельзя ли получить путем логических рассуждений, опираясь на аксиомы, двух взаимно исключающих следствий; и, наконец, 3) нельзя ли систему аксиом дополнить новыми аксиомами, которые не вытекали бы из старых и вместе с тем не противоречили бы им.

Решение этих важных для аксиоматического построения геометрии вопросов было получено сравнительно недавно. Величайшая заслуга в этом принадлежит нашему соотечественнику Н. И. Лобачевскому, Его открытие неевклидовой геометрии и связанное с этим установление независимости аксиомы параллельных положило начало многочисленным плодотворным исследованиям выдающихся математиков XIX века, в работах которых упомянутые вопросы в применении к элементарной геометрии получили полное разрешение.