Обложка Малый В.И. Понятия и законы квантовой механики: Теоретические основания для квантовых постулатов
Id: 280176
699 руб.

Понятия и законы квантовой механики:
Теоретические основания для квантовых постулатов

URSS. 2022. 200 с. ISBN 978-5-9519-2540-4.
Белая офсетная бумага
  • Твердый переплет

Аннотация

Представлен независимый подход к построению квантовой механики, отличающийся простотой исходных положений. Отпадает необходимость принимать на веру большой ряд сложных для первоначального восприятия постулатов. Полное построение аппарата теории вообще не нуждается в каких-либо предположениях.

Определяется понятие простого потока микрочастиц, которое является естественным упрощением резерфордовского представления о структуре потоков... (Подробнее)


Оглавление
Оглавление5
Предисловие10
Использованные обозначения17
Часть 1. Потоки свободных микрочастиц19
Глава 1. Классическое описание потоков свободных микрочастиц и понятие плотности тока19
1.1. Спинтарископ У. Крукса19
1.2. Описание потока микрочастиц в экспериментах Резерфорда23
1.3. Простой поток микрочастиц и его экспериментально наблюдаемые характеристики29
1.4. Средние значения и относительные вероятности наблюдаемых случайных величин35
Глава 2. Преобразования Лоренца для вектора плотности тока39
2.1. Четырехмерный вектор плотности тока микрочастиц39
2.2. Преобразования Лоренца для 4-векторов42
2.3. Подгруппа поворотов46
2.4. Бусты48
Глава 3. Мультипликативные разложения вектора плотности тока51
3.1. Связь мультипликативных разложений 4векторов и преобразований Лоренца51
3.2. Преобразования Лоренца для дженоров56
3.3. Особенности дженорной алгебры57
Глава 4. Алгебраическое тождество для амплитуд тока61
4.1. Формы векторного описания простого потока61
4.2. Дженорное описание простого потока62
4.3. Дженорное алгебраическое тождество для амплитуд тока64
Глава 5. Дженорные дифференциальные уравнения для амплитуд тока свободных микрочастиц67
5.1. Возможный путь построения дифференциальных уравнений для амплитуд67
5.2. Дифференциальное дженорное уравнение для амплитуд тока. Вариант 371
5.3. Суперпозиции решений дифференциального дженорного уравнения76
5.4. Экспериментальное определение размерного параметра теории77
5.5. Основные положения дженорного описания потоков микрочастиц79
Глава 6. Скалярная, спинорная и биспинорная формы описания амплитуд токов свободных микрочастиц82
6.1. Нерелятивистское уравнение Паули для свободных микрочастиц83
6.2. Нерелятивистское уравнение Шредингера для свободных микрочастиц88
6.3. Уравнение Шредингера для системы потоков, образованных разными видами свободных микрочастиц91
6.4. Релятивистское уравнение Дирака для свободных микрочастиц95
6.5. Сопоставление дженорной и биспинорной формулировок квантовой механики свободных микрочастиц98
6.6. Основные положения квантовой механики свободных микрочастиц101
Часть 2. Потоки заряженных микрочастиц в электромагнитных полях104
Глава 7. Важные свойства дженорного уравнения для свободных микрочастиц105
7.1. Физический смысл дженорного уравнения105
7.2. Связь определения групповой скорости с оптико-механической аналогией111
Глава 8. Потоки заряженных микрочастиц в электромагнитном поле113
8.1. Существование равномерных потоков в поле электромагнитных потенциалов114
8.2. Дженорные дифференциальные уравнения для потока заряженных микрочастиц в электромагнитном поле116
Глава 9. Варианты записи уравнений квантовой механики для частиц в поле123
9.1. Уравнение Паули для частиц во внешнем поле123
9.2. Уравнение Шредингера для частиц во внешнем поле128
9.3. Квантовая механика системы взаимодействующих микрочастиц131
9.4. Релятивистское уравнение Дирака для заряженных частиц во внешнем поле136
Часть 3. Нелинейные варианты квантовой теории139
Глава 10. Вывод нелинейных дженорных дифференциальных уравнений для амплитуд тока140
10.1. Возможный путь построения нелинейных дифференциальных уравнений для амплитуд тока140
10.2. Нелинейное дифференциальное дженорное уравнение для амплитуд тока. Вариант 1143
10.3. Нелинейное дифференциальное дженорное уравнение для амплитуд тока. Вариант 2146
Глава 11. Свойства нелинейных дженорных дифференциальных уравнений для амплитуд тока150
11.1. Закон сохранения числа частиц для решений нелинейных уравнений150
11.2. Особый характер нелинейности дженорных уравнений152
11.3. Общие свойства решений нелинейных дженорных уравнений153
Часть 4. Базовые положения квантовой механики159
Глава 12. Логическая структура квантовой механики159
12.1. Простой поток и его наблюдаемые характеристики160
12.2. Мультипликативные разложения 4-векторов162
12.3. Дженор амплитуды тока163
12.4. Равномерный простой поток165
12.5. Динамические дженорные уравнениядля потоков микрочастиц166
12.6. Экспериментальное определение размерной константы теории169
Глава 13. Теоретические основания для квантовых постулатов172
13.1. Вектор состояния квантовой системы172
13.2. Принцип суперпозиции состояний174
13.3. Статистическая интерпретация волновой функции175
13.4. Гипотеза о волне де Бройля177
Приложение A. Измерение вектора плотности тока в случае нестационарных потоков183
Приложение B. Квантовая механика системы трех взаимодействующих микрочастиц193
Использованная литература197

Предисловие
Для каждого физика овладение хотя бы основами квантовой механики с ХХ века входит в обязательный минимум образования. В имеющихся учебниках высшего уровня (П. А. М. Дирак, И. фон Нейман, Л. Шифф, Д. И. Блохинцев, Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, А. С. Давыдов [1–6] и др.) последовательно излагаются математический аппарат квантовой механики, методы решения набора типичных задач, качественный анализ полученных решений. Но когда мы говорим, что квантовая механика революционным образом изменила представление о законах реального мира, имеем в виду, конечно, не ее математический аппарат и не неожиданные качественные результаты рассмотрения отдельных задач. Их предметно можно обсуждать только после усвоения базовых понятий квантовой механики, куда входят новые представления о характеристиках состояния квантовой системы, и после формулировки новых фундаментальных динамических законов, согласно которым характеристики состояния изменяются с течением времени.

К сожалению, именно с объяснением базовых понятий и фундаментальных законов при первоначальном ознакомлении с квантовой механикой возникают основные проблемы. Проблемы эти настолько принципиальны, что часто вместо объяснения новых понятий объясняют причины, по которым их не удается объяснить. Например, справедливо подчеркивают, что все понятия классической физики были выработаны при наблюдениях поведения макроскопических тел. И делают вывод, что качественно иные процессы микромира не трудно, а просто невозможно описывать, оперируя прежними классическими понятиями.

Наиболее четко об этом писал Дирак [1]: «Природа вытекающего из принципа суперпозиции соотношения между состояниями любой системы такова, что ее нельзя объяснить в рамках привычных физических понятий… Здесь вводится совершенно новая идея, к которой нужно привыкнуть и на основе которой следует далее строить точную математическую теорию, не имея при этом детальной классической картины». (Курсив мой). Это не частное мнение одного Дирака. И другие создатели квантовой механики, заостряя обсуждаемую проблему, выпячивали нелогический (и даже сумасшедший) характер происхождения ее базовых положений. Так в 1925 г. А. Эйнштейн писал Максу Борну о диссертации де Бройля: «Прочтите ее! Хотя и кажется, что ее писал сумасшедший, написана она солидно» [7]. Наиболее решительно подобную точку зрения при попытках обсуждать новые идеи проводил Нильс Бор. Широко известно его высказывание: «Ваша идея, конечно, безумна. Весь вопрос в том, достаточно ли она безумна, чтобы оказаться верной».

С другой стороны, если согласиться с принципиальной невозможностью объяснений для базовых понятий, то приходится излагать квантовую механику в форме инструкции, рекомендующей проделывать указанную последовательность математических действий ради того, чтобы получить правильный в количественном смысле конечный результат. Эта форма изложения отчетливо проявилась уже в первоначальных формулировках фон Неймана [2]: «…наставление волновой механики гласит следующее: сперва надо образовать гамильтонову функцию , а затем составить для произвольной функции в конфигурационном пространстве системы… дифференциальное уравнение…»

Сложившийся в фундаментальных монографиях подход к изложению базовых положений теории сохраняется и в современных учебниках [8–10].

Конечно, при изложении теории на основе постулатов проблем с введением базовых понятий не возникает, так как эти проблемы сознательно оставляются за пределами поля зрения. Но в результате такой подход низводит квантовую механику от статуса фундаментальной теории к форме удачно угаданной инструкции.

Потому вернемся к проблеме формулировки новой фундаментальной теории в новых понятиях. Как правило, новые понятия не возникают сами по себе, а только при взгляде на явления с точки зрения новой теории. Но и новую теорию нельзя сформулировать, пока нет нужных для ее формулировки новых понятий. Именно осознание ситуации замкнутого круга приводит к ожиданиям сумасшедших идей.

Однако, как не раз бывало, замкнутый круг можно разрубить. И в данном случае будет показано, что решение проблемы описания базовых положений для квантовой механики существует, если избрать отправными точками другие давно известные положения физики и продвигаться по иной последовательности определений. Тогда обсуждавшиеся проблемы начинают выглядеть совсем по-другому. И настолько, что уже проблем как таковых не остается.

Конкретно, будем начинать с описания простого потока микрочастиц полем 4 вектора плотности тока. Давая определение простого потока, будем принимать элементарные соображения Резерфорда [11] о возможности создания такого потока при постановке экспериментов и о процедуре экспериментального определения поля вектора плотности тока. Но в то же время откажемся от его представлений о возможности построения траекторий частиц в составе потока по законам классической динамики. Благодаря описанию простых потоков микрочастиц плотностью тока (почти по Резерфорду) в теории естественно появляется ее вероятностное содержание. Резерфорду в 1911 году, чтобы подсчитывать и усреднять числа случайных вспышек на сцинтиллирующем экране, не требовался постулат Макса Борна. Статистический смысл понятия простого потока столь же нагляден, как и мерцающая картина вспышек на экране спинтарископа.

Дополнительно для формулировки законов квантовой механики окажется достаточным всего лишь привлечение соображений ковариантности при релятивистских преобразованиях. В частности, принципиальную роль будет играть доказанная ранее возможность мультипликативных разложений времениподобных 4 векторов в эрмитовое произведение дженорных сомножителей [12, 13], каждый из которых является элементом группы преобразований GL(2,C). Разлагая таким образом 4 вектор плотности тока, получаем в качестве сомножителей дженоры амплитуды тока. Они в силу своего происхождения наследуют всю экспериментальную статистическую информацию, содержавшуюся в параметрах вектора плотности тока. Благодаря этому в теории естественно появляется дженорный эквивалент ψ-функции квантовой теории вместе с его вероятностным содержанием (без опоры на постулат Макса Борна).

Число независимых параметров дженора амплитуды тока как элемента группы GL(2,C) равно восьми. Потому часть его параметров остаются произвольными и соответственно могли бы произвольно изменяться при переходе от точки к соседней точке, если не привлечь какую-то дополнительную информацию о строении этого поля. Эта проблема может быть устранена, если найти систему дифференциальных уравнений для поля дженора амплитуды тока.

Групповая структура алгебры дженоров гарантирует для каждого дженора существование обратного элемента внутри группы GL(2,C). Добавляя к этим новым аналитическим возможностям обычные требования релятивистской ковариантности, удается найти общую структуру поля дженоров, описывающего равномерные потоки частиц, не зная еще правильных дженорных дифференциальных уравнений. А получив достаточно представительный набор решений разыскиваемых уравнений, можно восстановить полный вид нужных уравнений с точностью до одной константы. Найденные так динамические дженорные уравнения имеют ясный физический смысл.

Неопределенная константа теории при сравнении простейших решений с имеющимися экспериментальными данными однозначно определяется как «комптоновская» длина для частиц потока, а дженор амплитуды тока в таком случае однозначно определяет ψ-функцию квантовой механики. Изучение основных свойств решений дженорных уравнений раскрывает истинный смысл «сумасшедших» постулатов квантовой механики: принципа суперпозиции Дирака, гипотезы де Бройля, статистического постулата Борна и принципа соответствия.

Из дженорных уравнений элементарными преобразованиями получаются уравнения Шредингера, Паули и Дирака.

Намеченная программа действий, в основном, реализована в части 1. Все понятия квантовой механики и формулировки ее законов появляются последовательно и по мере осознания их необходимости, что имеет решающее значение для начальной стадии обучения. Каждый следующий шаг вытекает из известных на 1911 год законов физики. Для формулировки понятий и законов квантовой механики не потребуется опираться на какие-либо предположения, а тем более привлекать «сумасшедшие» гипотезы.

При наличии нескольких возможных вариантов изложения выбирался доступный для студента 3 курса, хотя, возможно и не самый красивый с точки зрения подготовленного теоретика. Такая позиция проистекает из того факта, что каждый год только в России более 5 тысяч студентов физиков проходят эту трудную стадию своего базового образования. В 2016 году материал части 1 книги был изложен в форме трех лекций в Южном федеральном университете (г. Ростов-на-Дону) [14].

Описанные в части 1 алгебраические формулировки понятий справедливы в общем случае движения микрочастиц. Дифференциальные динамические законы сформулированы в части 1 применительно к потокам свободных микрочастиц.

В части 2 книги обобщаются формулировки динамических законов с целью описания потоков микрочастиц во внешних полях и потоков взаимодействующих между собою частиц. Для этого были использованы известные приемы описания взаимодействий, разработанные в классической аналитической механике.

Довольно формальный материал части 2 можно относить, скорее, к области математической физики. Он не изменяет существа содержания динамических законов, а в описании понятий квантовой механики совсем ничего не потребовалось уточнять. В части 2 содержится весь материал, который необходим, чтобы можно было переходить к решению и анализу всего стандартного набора задач курса квантовой механики, уже не сталкиваясь с какими-либо проблемными вопросами.

Независимое (свободное от предположений) построение квантовой механики можно рассматривать как обоснование квантовых постулатов. Действительно, всегда можно в рамках уже сформированной теории выделить те обоснованные положения, которые выполняют роль использовавшихся ранее постулатов. Эта точка зрения представлена в главе 13.

В части 3 книги реализуются возможности развития нелинейной квантовой теории. Они были обнаружены в главе 5, но остались тогда в стороне от основной линии изложения. Как оказалось, последовательно реализуя найденные возможности, можно получить еще два новых вида ковариантных дифференциальных уравнений. Из за ярко выраженной нелинейности и нарушения принципа суперпозиции для их частных решений область применения этих уравнений остается неясной. Но общий интерес представляют, конечно, и они из-за общности происхождения с дженорным уравнением главы 5, которое сыграло важную роль в процессе последовательного построения общепринятой квантовой механики. Без материала части 3 рассмотрение указанного в части 1 подхода к построению теории оставалось бы неполным.

Нужно иметь в виду, что логика исторического развития квантовой теории также в свое время приводила к рассмотрению нелинейных вариантов уравнений (Гейзенберг В. и др. [23]). Одной из принципиальных трудностей, затормозивших дальнейшее развитие этого направления, были проблемы с корректной формулировкой закона сохранения частиц в потоке [24]. В связи с этим следует особо обратить внимание на то, что для решений построенных в части 3 нелинейных уравнений закон сохранения числа частиц выполняется и имеет привычную для квантовой механики форму.

В части 4 представлена компактная сводка базовых положений квантовой механики и связей между ними.

За рамками книги осталось, конечно, немало материала, нужного для практического освоения приложений квантовой механики. Но после ознакомления с нею дополнительные сведения потребуются лишь для приведения математического аппарата к удобной при решении типичных задач форме. А эта сторона квантовой механики с разных сторон освещена в ставших классическими учебниках.

Книга в целом не является вводным курсом квантовой механики, хотя части 1 и 2 могут оказаться полезными в такой роли. Дело в том, что до сих пор законы квантовой механики формулировались как следствие системы постулатов, основанием для которой являлось согласие результатов указываемой постулатами последовательности вычислений с совокупностью экспериментальных фактов. А в данной книге для понятий и законов квантовой механики сформулирована полная система их теоретических оснований. И это позволило впервые излагать квантовую механику последовательно и связно, без «сумасшедших» гипотез и постулатов, принимаемых на веру.


Об авторе
Малый Виктор Иванович
Доктор физико-математических наук (1974), профессор (1989). Окончил физический факультет Ростовского университета (1963), аспирантуру механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (1966). Работал на кафедре математического моделирования в Московском институте электроники и математики (МИЭМ) имени А. Н. Тихонова НИУ ВШЭ, ведущим научным сотрудником Астрокосмического центра Физического института Академии наук. Полвека (1967–2016) являлся членом специализированных советов МИЭМ по специальностям «Механика деформируемого твердого тела» и «Математическая физика». Автор более 150 научных работ и одной монографии.