Листинг И.Б. Предварительные исследования по топологии.
Пер. с нем. Изд. стереотип.

Оглавление

Из предисловия

"Каков смысл издания у нас в СССР в 1932 г. этой книги Листинга, написанной в 1847 г. и толкующей вдобавок о достаточно отвлеченных геометрических образованиях? Разве издательство не находит более насущной темы, могущей быть непосредственно примененной в нашем социалистическом строительстве, чем топология? Разве не известно, что 89% всей территории Урало-Кузнецкого ком- бината нанесены на карту без съемки и Геодезическое управление предполагало в течение года произвести съемку только 6% незаснятой площади, что дало бы карту комбината только через 15 лет? Разве не исключительно проблемы, подобные последней, должны являться предметом советских геометрических исследований?"

Кто не слышал рассуждений такого рода, таких узколобых толкований лозунга преодоления отставания теории от практики, толкований, насквозь проникнутых делячеством и ползучим эмпиризмом самого низкопробного пошиба? Конечно, отрыв теории от практики все еще у нас громаден, необыкновенны косность и самомнение известной части научных работников, воображающих себя жрецами "чистой" науки и не желающих перестроиться, перестроить свою науку, связав ее с задачами социалистической промышленности, транспорта, сельского хозяйства и т.д. Но научное делячество, проповедуемое иными мнимыми борцами за социалистическую науку, является лишь другой разновидностью отрыва теории от практики: объективно оно обозначает утверждение монополии в разработке научной теории за буржуазной наукой, отказ от захвата этой важнейшей командной высоты, отказ от перспектив развития, ограничение исключительно задачами сегодняшнего дня.

Разумеется, подобные настроения на замыкание научной мысли в рамки узкого практицизма так же мало имеют общего с политикой партии и советской власти в области науки, как и стремление сохранить старые академические традиции в понимании науки исключительно как "чистого", т.е. оторванного от практики, теоретизирования. Наряду со всемерным содействием развитию практических, "прикладных", отраслей естественных и математических наук нам нужна широкая общетеоретическая научно-исследовательская работа, которая дала бы нам не в самотечном, а в плановом порядке результаты, с помощью которых свершился бы подлинный научный переворот. Если мы догоним передовые капиталистические страны экономически и технически тем, что полностью используем буржуазную науку и технику, освоив и перестроив ее, то перегнать технически капиталистический. Запад возможно, лишь совершая технический переворот, а последний возможен лишь на основе новой науки, более высокой по своему уровню, чем современная буржуазная наука.

Такую науку может дать только применение к естествознанию и математике метода диалектического материализма. Четверть века назад это положение было развито Лениным и нашло блестящее оправдание в ходе всей истории развития естествознания эпохи империализма и пролетарских революций. В настоящее время, когда буржуазную науку до самых материальных корней потрясает жесточайший кризис, когда она не находит выхода из новых и новых противоречий теории относительности и теории квант, все больше запутывается в "финалистической" биологии и останавливается в тупике своей космогонии конечного мира, когда она все глубже погрязает в идеализме, поповщине, мистицизме, – вопрос об ее реорганизации на основе материалистической диалектики является составной частью борьбы двух систем: СССР и стран капиталу.

Вернейший путь для преодоления буржуазной науки диалектическим материализмом состоит в изучении истории развития самой науки методом Маркса – Энгельса – Ленина. Только изучив проблемы естествознания и математики, основные методы и понятия этих наук в их развитии, выявив движущие силы и тенденции этого развития, мы сможем перестроить науку на действительно научных принципах. В этом и состоит громадное практическое значение истории естествознания, не говоря уже о том, что изучение истории естествознания и техники, как на это указывал Ленин, необходимо для дальнейшего развития диалектического материализма как единства мировоззрения и метода.

В свете этих соображений книга Листинга, способная послужить источником могущественных импульсов к дальнейшему развитию геометрии и математики, представляет исключительный интерес; однако, прежде чем осветить эту сторону вопроса, необходимо хотя бы вкратце остановиться на эпохе, породившей замечательную книгу Листинга. Эта эпоха, начало которой можно отнести к 1815 г., была эпохой непрерывного роста богатства, а вместе с ним и политической власти германской буржуазии.

Период интенсивного расширения торговли и роста промышленности был одновременно и периодом бури и натиска германской мысли, нашедшей наиболее тонкое выражение в немецкой философии. Маркс и Энгельс, давая в "Коммунистическом манифесте" характеристику той в высшей степени революционной роли, которую играла в истории буржуазия, писали: "Менее чем в сто лет своего господства буржуазия создала более могущественные и более грандиозные производительные силы, чем все предшествующие поколения, вместе взятые. Подчинение сил природы, машины, применение химии к земледелию и промышленности, пароходы, железные дороги, электрические телеграфы, распашка целых частей света, приспособление рек для судоходства, целые, как бы из земли выросшие поселения..." То обстоятельство, что "буржуазия Германии была далеко не такой богатой и сплоченной, как во Франции или в Англии, а также введение пара и быстро расширившееся главенство английской промышленности разрушили старую германскую промышленность. Новая же промышленность, получившая толчок при наполеоновской континентальной системе и развившаяся в других местностях страны, не могла служить компенсацией за потерю старой..."-все это, отмеченное Марксом и Энгельсом в книге "Революция и контрреволюция в Германии", имеет, конечно, громадное значение для развития естествознания в Германии в начале XIX в.

Но если Англия и Франция в период буржуазной революции дали своих Дальтонов, Пристли, Кевендишей, Лавуазье, Карно, Лапласов, Монжев, Лебонов, Бертолле, то Германия дала Майеров, Больцманов, Гельмгольцев. Однако вместе с расцветом в Германии естествознания, как отражения "немецкого переложения французской революции" в области философии, выросла романтическая натурфилософия, опирающаяся на открытие электрических явлений Гальвани и Вольта, на законы химического сродства элементов, вытеснившие теорию флогистона и выведенные из опытов Лавуазье и Кевендиша, на физиологические открытия Галлером раздражимости и чувствительности мускулов и нервов, – натурфилософия, которая в дальнейшем нашла свое завершение в философии Шеллинга. Шталь усматривал в организмах "anima vegetativa", особый жизненный "тонус", Блуменбах – "nisus formativus", дающий направленность жизненным силам, Э. Ф. Вольф защищал эпигенез против господствовавшей дотоле преформационной теории, Месмер был яростным сторонником панпсихизма, проявления в телах некоего "fluidum universale". "К чему сводится, собственно, все общение с природой, если мы путем анализа занимаемся лишь отдельными материальными частями и не чувствуем дыхания закона, предписывающего каждой части ее направление и укрощающего или утверждающего через внутренне присущую ей закономерность каждое отклонение!" Так выражал Гете свой протест против механического раздробления целого на безразлично однообразные части. Шеллинг прямо звал "назад к качеству", выступал против "природы для химиков и аптекарей", за "творческую природу", которую "a priori конструирует сам философ", хотя и "не следует ему пренебрегать эмпирией". Эта априорная конструкция привела Шеллинга к идее природы, располагающейся по трем степеням (Potenz), из которых каждая содержит три порядка (Stufe), а именно: отталкивание, притяжение, тяжесть – первая степень – всеобщая материя; магнетизм, электричество, химизм – вторая степень – свет; раздражимость, чувствительность, воспроизводимость-третья степень – жизнь. Основные законы, господствующие на всех степенях, – это усиление (Steigung) и поляризация.

Все эти идеи, также своеобразно отражающие борьбу молодой немецкой буржуазии против феодализма, ее "бунт на коленях", оказали определяющее влияние на творчество Иоганна Бенедикта Листинга (1808–1882 гг.). В 1834 г. он был помощником известного геолога и минералога Вальтера Сарториуса Вальтерсгаузена при его обследовании Этны, в 1837 г. – преподавателем машиноведения в высшей промысловой школе в Ганновере, с 1839 г. – экстраординарным, а с 1849 г. – ординарным профессором физики Геттингенского университета. Необходимо отметить, что кафедру Листинг занял после Вебера, который вместе с другими шестью геттингенскими профессорами был уволен вследствие подачи протеста против упразднения конституции ганноверским королем Эрнестом-Августом.

Научная деятельность Листинга была не только разносторонней, но прямо-таки универсальной, что характерно для многих деятелей науки революционного времени., Листинг писал по оптике, астрономии, физиологии зрения, метеорологии, геофизике, математике (всего им издано 25 разных работ). Кроме Сарториуса на Листинга большое влияние имели Гаусс, Александр Гумбольдт,

Вильгельм Вебер. Как указывает сам Листинг, мысль о создании качественной науки о пространственных образованиях наряду с геометрией как наукой количественной была внушена ему самим Гауссом, работавшим в том же Геттингене. Большое значение для развития этой мысли имели идеи, господствовавшие в то время в ботанике...

Введение

При рассмотрении пространственных образов (Gebilde) можно различать две общих точки зрения, или категории, именно; количество и модальность. Исследования геометрии в ее современном развитии, как бы они ни были различны по своему предмету и методам, всегда давали предпочтение первой из этих категорий, а поэтому геометрия издавна считается частью науки о величинах, или математики, что с полным основанием подтверждается и самим наименованием геометрии, содержащим в себе указание на понятие измерения. Вторая же точка зрения, точка зрения модальности, т.е. рассмотрение вопросов, относящихся к положению и следованию, появлялась в геометрии лишь постольку, поскольку эту категорию удавалось свести к категории величины или сблизить с ней. Метод координат и выросшая из него аналитическая геометрия, равно как и применение в геометрических изысканиях мнимых и комплексных величин, служат этому красноречивыми примерами. Но ни в геометрии древних, ни в новейших, в том же направлении развивающихся исследованиях, ни в так называемой начертательной геометрии, где без помощи анализа опираются исключительно на пространственную интуицию, модальные отношения не были выделены и не стали исключительным предметом занятий, а в большинстве случаев оставались включенными в операции с пространственными величинами: величины оставались, так сказать, носителями модальностей.

Первую идею научной и одновременно вычислительной обработки модальной стороны геометрии можно встретить в случайном замечании Лейбница, указавшего на своего рода алгорифм, посредством которого положение пространственных образов может быть подчинено анализу, так же, как это посредством алгебры, имеет место относительно величин. Однако получившая позднее известность и исходящая от самого Лейбница попытка новой геометрической характеристики основывается прежде всего на понятии конгруенции и не имеет, собственно, модального содержания. Примыкающий к этому лейбницевскому труду новый геометрический анализ Грассмана, как и барицентрическое исчисление Мёбиуса, также следует рассматривать лишь как обогащение, собственно, геометрии; то же самое следует сказать и относительно geometrie de position Карно, примыкающей к начертательной геометрии Монжа. Напротив, известная "задача о ходе коня", научно решенная еще Эйлером и позднее другими, находится в более близком родстве с геометрией положения, а сделанные Вандермондом в его "Заметках о проблемах положения" по поводу этой задачи примечания о пути, по которому нужно вести нить, чтобы получить галун или петлю чулочной ткани, относятся сюда целиком. К геометрии положения относится также и теорема, упоминаемая (без доказательства) Клаузеном в "Astronomische Nachrichten" ("Астрономические известия") N494,

Таким образом за вычетом немногого, приведенного здесь, модальная сторона геометрии почти полностью ожидает разработки в будущем. То странное обстоятельство, что со времени первого почина Лейбница в этой отрасли знания ничего больше не было сделано, объясняется в некоторой мере трудностями нахождения действенных и целесообразных методов, которые позволили бы свести пространственную интуицию к понятиям, а также недостаточностью языка для научного обозначения понятий. Побуждаемый величайшим геометром современности, неоднократно обращавшим мое внимание на значение этого предмета, я в течение продолжительного времени делал различные попытки анализа отдельных, сюда относящихся случаев, даваемых естественными науками и их приложениями. И если теперь, когда эти размышления еще не приобрели права притязать на строго научную форму и метод, я позволяю себе опубликовать их в качестве предварительных набросков новой науки, то делаю это с тем намерением, чтобы при помощи собранных здесь основных сведений, примеров и материалов обратить внимание на возможности и значение этой науки.

Да будет позволено употреблять для такого рода исследований пространственных образов название "топология" вместо предложенного Лейбницем названия "geometria situs", напоминающего о понятиях "мера", "мерить" играющих здесь совершенно подчиненную роль, и совпадающего с названием "geometrie de position", уже принятым для другого рода геометрических исследований. Следовательно, под топологией будем понимать учение о модальных отношениях пространственных образов, или о законах связности, взаимного положения и следования точек, линий, поверхностей, тел и их частей или их совокупности в пространстве, независимо от отношений мер и величин. Посредством понятия следования, весьма родственного понятию движения, топология связывается с механикой наподобие того, как она связана с геометрией, причем, конечно, и скорость поступательного или угловая скорость вращательного движения, равно как и масса, количество движения, силы и моменты с количественной стороны не принимаются во внимание; вместо этого здесь рассматриваются лишь модальные отношения между движущимися или двигаемыми в пространстве образами. Чтобы достичь уровня точной науки, топология должна будет свести факты пространственного созерцания к возможно более простым понятиям, с которыми при помощи соответствующих символов, аналогичных математическим, можно будет производить соответствующие операции по простым правилам.

Об авторе

Листинг Иоганн Бенедикт

Известный немецкий математик и физик. Родился во Франкфурте-на-Майне, в семье бедного ремесленника чешского происхождения. С детства обнаружил незаурядные способности, благодаря чему сумел закончить школу, а с 13 лет даже начал материально помогать родителям. В 1825 г. поступил в гимназию, где 5 лет изучал языки и математику. В 1830 г. поступил в Геттингенский университет, где вначале посещал лекции чуть ли не по всем наукам, но затем выбрал математику. Огромное влияние на Листинга оказал его учитель, выдающийся математик К. Ф. Гаусс, который тоже отметил одаренного студента и занимался с ним не только математикой, но и физическими исследованиями, особенно электромагнетизмом. У Гаусса Листинг, по-видимому, перенял начальные идеи топологии. В 1834 г. защитил докторскую диссертацию, а в 1837 г. был принят преподавателем в Ганноверское высшее ремесленное училище. С 1847 г. — профессор Геттингенского университета. Был избран членом Геттингенской академии и Эдинбургского королевского общества.

Термин «топология», придуманный Листингом, он впервые употребил в 1836 г., в письме своему школьному учителю Мюллеру. В 1847 г. он опубликовал свою основополагающую книгу по топологии. В своих трудах по геодезии Листинг ввел в 1873 г. понятие о геоиде, являющееся основным в теории и методах изучения формы, размеров и строения Земли. Он также занимался астрономией, метеорологией, спектроскопией, электромагнетизмом, оптикой; предложил термин «микрон».