|
ЧАСТЬ 1
ОБ УРАВНЕНИЯХ МОНЖА-АМПЕРА ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Введение 3
§ 1. Выпуклые многогранники с заданными значениями моно-
тонной функции на конечных гранях и заданными опорными
числами для бесконечных граней 5
1. Выпуклый многогранник с бесконечными гранями заданных направлений и заданными опорными числами для этих граней (5). 2. Бесконечный многогранник с заданными значениями монотонной функции на конечных гранях (7). 3. Единственность выпуклого многогранника с данными бесконечными гранями и заданными значениями монотонной функции на конечных гранях (10).
§ 2. Выпуклые многогранники с вершинами на данных пря-
мых и заданными значениями монотонной функции на многогранных углах в вершинах Ц
1. Выпуклые многогранники с краем (11). 2. Бесконечные многогранники с заданным предельным углом (14). 3. Теоремы единственности для многогранников с заданными значениями монотонной функции на многогранных углах (15).
§ 3. Выпуклые многогранники с данной условной площа-
дью граней и данной условной кривизной в вершинах 17
1. Выпуклые многогранники с данными условными площадями граней (17). 2. Выпуклые многогранники с данной условной кривизной в вершинах (20). 3. Бесконечный выпуклый многогранник с данным предельным углом и заданными условными кривизнами в вершинах (23).
§ 4. Выпуклые поверхности с заданной условной площадью
и заданной условной кривизной .' 26
1. Выпуклые поверхности с заданной условной площадью (26).
2. Выпуклые поверхности с данной условной кривизной (30).
3. Бесконечные выпуклые поверхности с заданной условной кривизной и заданным предельным конусом (33).
§ 5. Условные решения уравнения Монжа — Ампера rt — s2 = = 9 (х> У у z> Р* Я)- Краевые задачи для условных решений . . 34
1. Понятие условного решения уравнения Монжа — Ампера rt — s2 = <р (х, у, г, pt q) (35). 2. Первая краевая задача. Задача Дирихле (37). 3. Вторая краевая задача (42).
§ 6. Замкнутые выпуклые поверхности с данной условной
кривизной 45
1. Замкнутый выпуклый многогранник с вершинами на данных лучах и заданной монотонной функцией на его многогранных углах (45). 2. Замкнутые выпуклые многогранники с верши
нами на данных лучах и заданными условными кривизнами в вершинах (48). 3. Замкнутые выпуклые поверхности с данной условной кривизной (5J).
§ 7. Теоремы единственности для решений уравнения
rt — s2 = y(x,ytz,p,q) 54
1. Единственность решения краевых задач для уравнения rt — sa = <р (х, у, z, pt q) в конечной области (54). 2. Единственность решения, заданного во всей плоскости (57). 3. Уравнения, заданные на сфере (59).
§ 8. О регулярном решении одной краевой задачи для уравнения rt — s2 = <р (х, у, z, pt q) с регулярной правой' частью 60
1. Априорные оценки максимума модуля решения уравнения rt — s2 = ср и его производных первого порядка (61). 2. Оценки вторых производных решения на окружности Y (63). 3. Оценки вторых производных решения в замкнутом круге (65).
§ 9. Регулярность условных решений уравнения Монжа — Ампера rt — s2 =
Об авторе
  Погорелов Алексей Васильевич Специалист в области выпуклой и дифференциальной геометрии, теории дифференциальных уравнений и теории оболочек. Академик АН Украины (1961), академик АН СССР по отделению математики (1976), академик РАН (1991). Доктор физико-математических наук (1948). Лауреат Сталинской премии второй степени (1950), премии им. Н. И. Лобачевского (1959), Ленинской премии (1962), Государственной премии УССР (1974), Государственной премии Украины (2005, посмертно) и др. Награжден двумя орденами Ленина, орденом Трудового Красного Знамени и орденом Отечественной войны 2-й степени.
Область научных интересов А. В. Погорелова — геометрия и теория упругих оболочек. На основе развития синтетического подхода к проблеме геометрии «в целом», предложенного А. Д. Александровым, он окончательно решил классическую проблему однозначной определимости выпуклой поверхности ее внутренней метрикой. Полностью решил 4-ю проблему Гильберта для двумерного случая. Доказал внешнюю регулярность выпуклых поверхностей с регулярной внутренней метрикой. Основные теоремы, доказанные для этой проблемы, перенес на случай выпуклых поверхностей в пространствах постоянной кривизны. А. В. Погорелов — автор около 200 научных трудов, в том числе оригинального школьного учебника по геометрии и университетских учебников по аналитической геометрии, дифференциальной геометрии, основаниям геометрии. |
