URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Погорелов А.В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей
Id: 279846
1849 р.

Внешняя геометрия выпуклых поверхностей Изд. 2

URSS. 2022. 760 с. ISBN 978-5-9710-9551-4.
Белая офсетная бумага
Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей • Регулярность выпуклых поверхностей с регулярной метрикой • Однозначная определенность и бесконечно малые изгибания выпуклых поверхностей • Выпуклые поверхности в пространствах постоянной кривизны и в римановом пространстве • Выпуклые поверхности с данным сферическим изображением • Геометрическая теория уравнений Монжа—Ампера эллиптического типа • Поверхности ограниченной внешней кривизны.

Аннотация

Теория выпуклых поверхностей — это раздел геометрии, где главные результаты в XX веке (в основном в 1940–1960-е годы) были получены советскими геометрами. Предлагаемая книга содержит изложение этих результатов. Она является как бы продолжением известной книги академика А.Д.Александрова «Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей» (1948).

Чтение книги не предполагает специальной геометрической подготовки. Однако ввиду разнообразия применяемых... (Подробнее)


Оглавление
Введение7
Глава I. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей

§ 1. Выпуклые тела и выпуклые поверхности (13). § 2. Многообразия с внутренней метрикой (16). § 3. Свойство выпуклости внутренней метрики выпуклой поверхности (19). § 4. Основные свойства угла между кратчайшими на выпуклой поверхности (22). § 5. Кривизна выпуклой поверхности (25). § 6. Существование выпуклого многогранника с данной метрикой (28). § 7. Существование замкнутой выпуклой поверхности с данной метрикой (31). § 8. Кривые на выпуклой поверхности (34). § 9. Площадь выпуклой поверхности (37). § 10. Удельная кривизна выпуклой поверхности (39). § 11. Теорема о склеивании. Другие теоремы существования (42). § 12. Выпуклые поверхности в пространствах постоянной кривизны (45). § 13. Многообразия ограниченной кривизны (48)

13
Глава II. Регулярность выпуклых поверхностей с регулярной метрикой

§ 1. Внешнегеометрические свойства геодезических линий на выпуклой поверхности (55). § 2. Специальное разложение радиуса-вектора точки выпуклой поверхности в окрестности произвольной начальной точки (63). § 3. Выпуклые поверхности ограниченной удельной кривизны (69). § 4. Построение выпуклой поверхности с бесконечной верхней кривизной на заданном множестве точек (77). § 5. Вспомогательная поверхность Ф и некоторые ее свойства (82). § 6. Доказательство однозначной определенности выпуклых шапок с регулярной метрикой (91). § 7. Внутренние оценки для некоторых геометрических величин вдоль края аналитической шапки (97). § 8. Оценка нормальных кривизн во внутренних точках регулярной выпуклой шапки (104). § 9. Существование аналитической выпуклой шапки, реализующей заданную аналитическую метрику (111). § 10. Регулярность выпуклых поверхностей с регулярной метрикой (118). § 11. Об оценках для производных решения уравнения в частных производных второго порядка эллиптического типа (128)

55
Глава III. Однозначная определенность выпуклых поверхностей

§ 1. Кривые ограниченной вариации поворота (139). § 2. О сходимости изометричных выпуклых поверхностей (151). §3. Смешивание изомет-ричных поверхностей (158). § 4. Об изометричных выпуклых поверхностях в каноническом расположении (166). § 5. Вспомогательная поверхность Ω и ее плоские сечения (177). § 6. Однозначная определенность замкнутых выпуклых поверхностей (192). § 7. Однозначная определенность выпуклых поверхностей с краем. Принцип максимума (202). § 8. Однозначная определенность бесконечных выпуклых поверхностей с полной кривизной 2π (209). § 9. Однозначная определенность бесконечных выпуклых поверхностей с полной кривизной, меньшей 2π (218)

139
Глава IV. Бесконечно малые изгибания выпуклых поверхностей

§ 1. Изгибающие поля общих выпуклых поверхностей (232). § 2. Основная лемма об изгибающих полях выпуклых поверхностей (243). § 3. Построение изгибающего поля выпуклой поверхности с заданной вертикальной составляющей вдоль края (251). § 4. Специальная аппроксимация изгибающего поля общей выпуклой поверхности (267). § 5. Оценки некоторых интегралов (274). § 6. Доказательство основной леммы (288). § 7. Жесткость выпуклых поверхностей (297). § 8. Некоторые приложения теорем о жесткости общих выпуклых поверхностей (305)

232
Глава V. Выпуклые поверхности в пространствах постоянной кривизны

§ 1. Эллиптическое пространство (310). § 2. Выпуклые тела и выпуклые поверхности в эллиптическом пространстве (323). § 3. Преобразование конгруэнтных фигур (332). § 4. Изометричные поверхности (342). § 5. Бесконечно малые изгибания поверхностей в эллиптическом пространстве (352). § 6. Однозначная определенность общих выпуклых поверхностей в эллиптическом пространстве (359). § 7. Регулярность выпуклых поверхностей с регулярной метрикой (369). § 8. О регулярности выпуклых поверхностей с регулярной метрикой в пространстве Лобачевского (379)

310
Глава VI. Выпуклые поверхности в римановом пространстве

§ 1. Поверхности в римановом пространстве (396). § 2. Априорные оценки для нормальной кривизны поверхности (402). § 3. Априорные оценки для производных координат в пространстве по координатам на поверхности (410). § 4. Бесконечно малые изгибания поверхностей в ри-мановом пространстве (417). § 5. О решениях одной эллиптической системы дифференциальных уравнений (424). § 6. Погружение многообразий, бесконечно близких к погружаемым (433). § 7. Изометрическое погружение многообразия, близкого к погружаемому (440). § 8. Частичное решение проблемы об изометрическом погружении двумерного ри-манова многообразия в трехмерное (451). § 9. Еще раз об опенках нормальной кривизны для замкнутой выпуклой поверхности (456). § 10. Полное решение проблемы об изометрическом погружении (471). § 11. Изометрические преобразования пунктированной поверхности в евклидовом пространстве (477). § 12. Жесткость не гомеоморфных сфере замкнутых поверхностей в римановом пространстве (484)

396
Глава VII. Выпуклые поверхности с данным сферическим изображением

§ 1. Проблема Христоффеля (496). §2. Проблема Минковского (504). § 3. Регулярность выпуклой поверхности, у которой гауссова кривизна положительна и как функция нормали регулярна (511). § 4. Теоремы единственности для выпуклых поверхностей с заданной функцией главных радиусов кривизны (523). § 5. Существование выпуклой поверхности с заданной функцией главных радиусов кривизны (533). § 6. Выпуклые многогранники с заданными значениями монотонной функции на гранях (541). § 7. Выпуклые многогранники с вершинами на данных лучах и заданными значениями монотонной функции на многогранных углах в вершинах (548). § 8. Единственность выпуклой поверхности с данной внутренней метрикой и метрикой ее сферического изображения (555). § 9. Выпуклые поверхности с почти шаровыми точками (561). § 10. Об устойчивости решений проблем Минковского и Христоффеля (568)

496
Глава VIII. Геометрическая теория уравнений Монжа — Ампера эллиптического типа

§ 1. Выпуклые многогранники с данной условной площадью граней и данной условной кривизной в вершинах (574). § 2. Выпуклые поверхности с заданной условной площадью и заданной условной кривизной (585). § 3. Условные решения уравнения Монжа —Ампера rt — s2 = φ(х, y, z, р, q). Краевые задачи для условных решений (594). § 4. Теоремы единственности для решений уравнения rt — s2 = φ(х, y, z, р, q) (604). § 5. О регулярном решении одной краевой задачи для уравнения rt — s2 = φ(х, y, z, р, q) с регулярной правой частью (609). § 6. Регулярность условных решений уравнения Монжа —Ампера rt — s2 = φ(х, y, z, р, q) с регулярной правой частью (616). § 7. Сильно эллиптические уравнения Монжа —Ампера (623). § 8. Первая краевая задача для условных решений сильно эллиптических уравнений Монжа — Ампера (630). § 9. Регулярное решение специальной краевой задачи для сильно эллиптического уравнения Монжа —Ампера (635). § 10. Регулярность условных решений сильно эллиптических уравнений Монжа —Ампера с регулярными коэффициентами (642)

574
Глава IX. Поверхности ограниченной внешней кривизны

§ 1. Непрерывные отображения ограниченной вариации (650). § 2. Положительная, отрицательная и полная вариации непрерывного отображения (663). § 3. Гладкие поверхности ограниченной внешней кривизны (673). § 4. Поверхности нулевой внешней кривизны (687). § 5. Поверхности с неотрицательной внешней кривизной (697). § 6. Нитяная поверхность (702). § 7. Приближение поверхностей ограниченной внешней кривизны регулярными поверхностями (714). § 8. Поверхности ограниченной внешней кривизны как многообразия ограниченной внутренней кривизны (725). § 9. Связь между внутренней и внешней кривизной поверхности. Теорема Гаусса (731)

650
Дополнение. Некоторые нерешенные вопросы744
Цитированная литература753
Именной и предметный указатель757