| Введение | 3
|
| § 1. Эллиптическое пространство | 5
|
| 1. Четырехмерное векторное пространство | 5
|
| 2. Понятие эллиптического пространства | 8
|
| 3. Кривые в эллиптическом пространстве | 11
|
| 4. Поверхности в эллиптическом пространстве | 14
|
| 5. Основные уравнения теории поверхностей в эллиптическом пространстве | 17
|
| § 2. Выпуклые тела и выпуклые поверхности в эллиптическом пространстве | 20
|
| 1. Понятие выпуклого тела | 20
|
| 2. Выпуклые поверхности в эллиптическом пространстве | 22
|
| 3. Об отклонении кратчайшей на выпуклой поверхности от ее полукасательной в начальной точке | 26
|
| 4. Многообразия кривизны не меньше К Теоремы А. Д.Александрова | 28
|
| § 3. Преобразование конгруентных фигур | 32
|
| 1. Преобразование конгруентных фигур эллиптического пространства в конгруентные фигуры эвклидова пространства | 32
|
| 2. Преобразование конгруентных фигур эвклидова пространства в конгруентные фигуры эллиптического пространства | 35
|
| 3. Преобразование бесконечно малых движений | 38
|
| 4. Преобразование прямых и плоскостей | 41
|
| § 4. Изометричные поверхности | 44
|
| 1. Преобразование изометричных поверхностей | 44
|
| 2. Преобразование локально выпуклых изометричных поверхностей эллиптического пространства | 47
|
| 3. Доказательство леммы 1 | 49
|
| 4. Преобразование локально выпуклых изометричных поверхностей эвклидова пространства | 52
|
| 5. Доказательство леммы 2 | 54
|
| § 5. Бесконечно малые изгибания поверхностей в эллиптическом пространстве | 55
|
| 1. Пары изометрических поверхностей и бесконечно малые изгибания | 56
|
| 2. Преобразование поверхностей и их бесконечно малых изгибаний | 58
|
| 3. Некоторые теоремы о бесконечно малых изгибаниях поверхностей в эллиптическом пространстве | 61
|
| § б. Однозначная определенность общих выпуклых поверхности в эллиптическом пространстве | 63
|
| 1. Одна лемма о ребристых точках на выпуклой поверхности | 64
|
| 2. Преобразование изометричных двугранных углов и кс нусов | 65
|
| 3. Локальная выпуклость поверхностей Ф1 и Ф2 в гладких точках | 69
|
| 4. Выпуклость и изометрия поверхностей Ф1 и Ф2 | 71
|
| 5. Различные теории об однозначной определенности выпуклых поверхностей в эллиптическом пространстве | 74
|
| § 7. Регулярность выпуклых поверхностей с регулярной метрикой | 77
|
| 1. Уравнение изгибания для поверхностей в эллиптическом пространстве | 77
|
| 2. Оценки нормальных кривизн регулярной выпуклой шапки в эллиптическом пространстве | 81
|
| 3. Выпуклые поверхности ограниченной удельной кривизны в эллиптическом пространстве | 84
|
| 4. Доказательство регулярности выпуклых поверхностей с регулярной метрикой в эллиптическом пространстве | 86
|
| Литература | 89
|
Погорелов Алексей Васильевич Специалист в области выпуклой и дифференциальной геометрии, теории дифференциальных уравнений и теории оболочек. Академик АН Украины (1961), академик АН СССР по отделению математики (1976), академик РАН (1991). Доктор физико-математических наук (1948). Лауреат Сталинской премии второй степени (1950), премии им. Н. И. Лобачевского (1959), Ленинской премии (1962), Государственной премии УССР (1974), Государственной премии Украины (2005, посмертно) и др. Награжден двумя орденами Ленина, орденом Трудового Красного Знамени и орденом Отечественной войны 2-й степени.
Область научных интересов А. В. Погорелова — геометрия и теория упругих оболочек. На основе развития синтетического подхода к проблеме геометрии «в целом», предложенного А. Д. Александровым, он окончательно решил классическую проблему однозначной определимости выпуклой поверхности ее внутренней метрикой. Полностью решил 4-ю проблему Гильберта для двумерного случая. Доказал внешнюю регулярность выпуклых поверхностей с регулярной внутренней метрикой. Основные теоремы, доказанные для этой проблемы, перенес на случай выпуклых поверхностей в пространствах постоянной кривизны. А. В. Погорелов — автор около 200 научных трудов, в том числе оригинального школьного учебника по геометрии и университетских учебников по аналитической геометрии, дифференциальной геометрии, основаниям геометрии.
