Обложка Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия
Id: 279384
399 руб.

Дифференциальная геометрия. Изд. 7

Аннотация

Несмотря на сравнительно небольшой объем, книга охватывает все разделы курса дифференциальной геометрии для математических специальностей университетов и педагогических институтов. Она отличается безупречностью изложения, содержит четкие и ясные доказательства, богато снабжена упражнениями и задачами повышенной трудности.

Книга является одним из лучших учебных руководств по курсу дифференциальной геометрии для университетов и педагогических вузов.... (Подробнее)


Оглавление
Предисловие ко второму изданию6
Предисловие к третьему изданию6
Введение7
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ТЕОРИЯ КРИВЫХ9
Глава I Понятие кривой9
§ 1. Элементарная кривая. Простая кривая. Общая кривая9
§ 2. Регулярная кривая. Способы аналитического задания кривой12
§ 3. Особые точки регулярных плоских кривых16
§ 4. Асимптоты плоских кривых23
Упражнения к главе I26
Задачи и теоремы к главе I28
Глава II Понятия для кривых, связанные с понятием соприкосновения28
§ 1. Векторная функция скалярного аргумента29
§ 2. Касательная кривой33
§ 3. Соприкасающаяся плоскость кривой37
§ 4. Соприкосновение кривых39
§ 5. Огибающая семейства кривых, зависящих от параметра42
Упражнения к главе II45
Задачи и теоремы к главе II47
Глава III. Вопросы теории кривых, связанные с понятием кривизны и кручения49
§ 1. Длина дуги кривой. Естественная параметризация49
§ 2. Кривизна кривой53
§ 3. Кручение кривой57
§ 4. Формулы Френе. Натуральные уравнения кривой59
§ 5. Плоские кривые63
Упражнения к главе III68
Задачи и теоремы к главе III71
ЧАСТЬ ВТОРАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ73
Глава IV. Понятие поверхности73
§ 1. Элементарная поверхность. Простая поверхность. Общая поверхность73
§ 2. Регулярная поверхность. Аналитическое задание поверхности75
§ 3. Специальные параметризации поверхности79
§ 4. Особые точки на регулярной поверхности82
Упражнения и задачи к главе IV87
Глава V. Основные понятия для поверхностей, связанные с понятием соприкосновения88
§ 1. Касательная плоскость поверхности88
§ 2. Лемма о расстоянии точки от поверхности. Соприкосновение кривой и поверхности93
§ 3. Соприкасающийся параболоид. Классификация точек поверхности96
§ 4. Огибающая семейства поверхностей, зависящих от одного или двух параметров100
§ 5. Огибающая семейства плоскостей, зависящих от одного параметра102
Упражнения к главе V105
Задачи и теоремы к главе V106
Глава VI. Первая квадратичная форма поверхности и связанные с ней вопросы теории поверхностей108
§ 1. Длина кривой на поверхности108
§ 2. Угол между кривыми на поверхности110
§ 3. Площадь поверхности112
§ 4. Конформное отображение115
§ 5. Изометричные поверхности. Изгибание поверхностей119
Упражнения к главе VI121
Задачи и теоремы к главе VI122
Глава VII. Вторая квадратичная форма поверхности и связанные с ней вопросы теории поверхностей124
§ 1. Кривизна кривой, лежащей на поверхности125
§ 2. Асимптотические направления. Асимптотические линии. Сопряженные направления. Сопряженные сети на поверхности129
§ 3. Главные направления на поверхности. Линии кривизны132
§ 4. Связь между главными кривизнами поверхности и нормальной кривизной в произвольном направлении. Средняя и гауссова кривизна поверхности135
§ 5. Линейчатые поверхности140
§ 6. Поверхности вращения144
Упражнения к главе VII147
Задачи и теоремы к главе VII148
Глава VIII. Основные уравнения теории поверхностей151
§ 1. Деривационные формулы151
§2. Формулы Гаусса — Петерсона — Кодацци154
§ 3. Существование и единственность поверхности с заданными первой и второй квадратичными формами156
Задачи и теоремы к главе VIII159
Глава IX. Внутренняя геометрия поверхностей161
§ 1. Геодезическая кривизна кривой на поверхности161
§ 2. Геодезические линии на поверхности164
§ 3. Полугеодезическая параметризация поверхности166
§ 4. Кратчайшие на поверхности168
§ 5. Теорема Гаусса — Бонне170
§ 6. Поверхности постоянной гауссовой кривизны172
Задачи и теоремы к главе IX173

Предисловие ко второму изданию
Настоящее издание книги отличается от первого издания (1955 г.). Изменения внесены почти во все разделы книги. Эти изменения носят различный характер. В одних случаях улучшены доказательства, в других — изменен порядок изложения, в третьих — изложение дополнено иллюстрирующими примерами и рисунками.

Основные вопросы курса, соответствующие программе физико-математических факультетов, в книге изложены достаточно подробно. Материал, выходящий за пределы программы, подан, как правило, в описательном плане.

Автор


ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ

Настоящее издание книги отличается от предыдущего (1956) небольшими усовершенствованиями в ряде доказательств. Существенно изменено только изложение вопроса об огибающей однопараметрического семейства кривых и поверхностей.

Автор


ВВЕДЕНИЕ

Дифференциальная геометрия — это часть математики, которая изучает геометрические образы, в первую очередь кривые и поверхности, а также семейства кривых и поверхностей методами анализа бесконечно малых. Характерным для дифференциальной геометрии является то, что она изучает прежде всего свойства кривых и поверхностей «в малом», т. е. свойства сколь угодно малых кусков кривых и поверхностей.

Дифференциальная геометрия возникла и развивалась в тесной связи с анализом, который сам в значительной степени вырос из задач геометрии. Многие геометрические понятия предшествовали соответствующим понятиям анализа. Так, например, понятие касательной предшествовало понятию производной, понятие площади и объема — понятию интеграла.

Возникновение дифференциальной геометрии относится к первой половине XVIII века и связано с именами Л. Эйлера и Г. Монжа. Первое сводное сочинение по теории поверхностей было написано Монжем («Приложение анализа к геометрии», 1795 г.).

В 1827 г. Гаусс опубликовал работу «Общее исследование о кривых поверхностях», которой заложил основы теории поверхностей в ее современном виде. С тех пор дифференциальная геометрия перестала быть только приложением анализа и заняла самостоятельное место в математике.

Открытие Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии сыграло огромную роль в развитии всей геометрии, в том числе и дифференциальной. Так, в 1854 г. Б. Риман своей лекцией «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» заложил основы так называемой римановой геометрии,

которая в применении к многомерным многообразиям находится в таком же отношении к геометрии «-мерного евклидова пространства, как внутренняя геометрия произвольной поверхности к евклидовой геометрии на плоскости.

Теоретико-групповая точка зрения Ф. Клейна, изложенная в его «Эрлангенской программе» (1872 г.), в применении к дифференциальной геометрии была развита Э. Картаном, построившим теорию пространств проективной и аффинной связности.

В России школу дифференциальной геометрии создали Ф. Миндинг и К, М. Петерсон, основные исследования которых посвящены вопросам изгибания поверхностей. Эти исследования были продолжены в работах многих русских и советских геометров.

В основу настоящей книги положены лекции автора по дифференциальной геометрии на физико-математическом факультете Харьковского университета. Автор преследовал цель дать строгое изложение основ дифференциальной геометрии и типичных для нее методов исследования, не нарушая при этом значительно установившихся традиций. Большой фактический материал по дифференциальной геометрии вынесен в упражнения, и задачи, решение которых является обязательным условием при подготовке студентов-геометров.