|
Оглавление
Предисловие ко второму изданию
Основные вопросы курса, соответствующие программе физико-математических факультетов, в книге изложены достаточно подробно. Материал, выходящий за пределы программы, подан, как правило, в описательном плане. Автор ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее издание книги отличается от предыдущего (1956) небольшими усовершенствованиями в ряде доказательств. Существенно изменено только изложение вопроса об огибающей однопараметрического семейства кривых и поверхностей. Автор ВВЕДЕНИЕ
Дифференциальная геометрия — это часть математики, которая изучает геометрические образы, в первую очередь кривые и поверхности, а также семейства кривых и поверхностей методами анализа бесконечно малых. Характерным для дифференциальной геометрии является то, что она изучает прежде всего свойства кривых и поверхностей «в малом», т. е. свойства сколь угодно малых кусков кривых и поверхностей. Дифференциальная геометрия возникла и развивалась в тесной связи с анализом, который сам в значительной степени вырос из задач геометрии. Многие геометрические понятия предшествовали соответствующим понятиям анализа. Так, например, понятие касательной предшествовало понятию производной, понятие площади и объема — понятию интеграла. Возникновение дифференциальной геометрии относится к первой половине XVIII века и связано с именами Л. Эйлера и Г. Монжа. Первое сводное сочинение по теории поверхностей было написано Монжем («Приложение анализа к геометрии», 1795 г.). В 1827 г. Гаусс опубликовал работу «Общее исследование о кривых поверхностях», которой заложил основы теории поверхностей в ее современном виде. С тех пор дифференциальная геометрия перестала быть только приложением анализа и заняла самостоятельное место в математике. Открытие Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии сыграло огромную роль в развитии всей геометрии, в том числе и дифференциальной. Так, в 1854 г. Б. Риман своей лекцией «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» заложил основы так называемой римановой геометрии, которая в применении к многомерным многообразиям находится в таком же отношении к геометрии «-мерного евклидова пространства, как внутренняя геометрия произвольной поверхности к евклидовой геометрии на плоскости. Теоретико-групповая точка зрения Ф. Клейна, изложенная в его «Эрлангенской программе» (1872 г.), в применении к дифференциальной геометрии была развита Э. Картаном, построившим теорию пространств проективной и аффинной связности. В России школу дифференциальной геометрии создали Ф. Миндинг и К, М. Петерсон, основные исследования которых посвящены вопросам изгибания поверхностей. Эти исследования были продолжены в работах многих русских и советских геометров. В основу настоящей книги положены лекции автора по дифференциальной геометрии на физико-математическом факультете Харьковского университета. Автор преследовал цель дать строгое изложение основ дифференциальной геометрии и типичных для нее методов исследования, не нарушая при этом значительно установившихся традиций. Большой фактический материал по дифференциальной геометрии вынесен в упражнения, и задачи, решение которых является обязательным условием при подготовке студентов-геометров.
Об авторе
 Погорелов Алексей Васильевич Специалист в области выпуклой и дифференциальной геометрии, теории дифференциальных уравнений и теории оболочек. Академик АН Украины (1961), академик АН СССР по отделению математики (1976), академик РАН (1991). Доктор физико-математических наук (1948). Лауреат Сталинской премии второй степени (1950), премии им. Н. И. Лобачевского (1959), Ленинской премии (1962), Государственной премии УССР (1974), Государственной премии Украины (2005, посмертно) и др. Награжден двумя орденами Ленина, орденом Трудового Красного Знамени и орденом Отечественной войны 2-й степени.
Область научных интересов А. В. Погорелова — геометрия и теория упругих оболочек. На основе развития синтетического подхода к проблеме геометрии «в целом», предложенного А. Д. Александровым, он окончательно решил классическую проблему однозначной определимости выпуклой поверхности ее внутренней метрикой. Полностью решил 4-ю проблему Гильберта для двумерного случая. Доказал внешнюю регулярность выпуклых поверхностей с регулярной внутренней метрикой. Основные теоремы, доказанные для этой проблемы, перенес на случай выпуклых поверхностей в пространствах постоянной кривизны. А. В. Погорелов — автор около 200 научных трудов, в том числе оригинального школьного учебника по геометрии и университетских учебников по аналитической геометрии, дифференциальной геометрии, основаниям геометрии. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||