Обложка Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике
Id: 279325

Сплайны в вычислительной математике. Изд. 2

URSS. 2021. 248 с.

Аннотация

Сплайны, то есть гладкие кусочно-полиномиальные функции, являются весьма удобным аппаратом для решения ряда задач вычислительной математики. В книге излагаются основные свойства сплайнов и приложения сплайнов к задачам приближения функций, восстановления функций по неполной информации, сглаживания экспериментальных данных, численного дифференцирования функций, а также приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений. Основное ...(Подробнее)внимание уделено численным аспектам применения сплайнов.

Книга рассчитана на широкий круг математиков и инженеров, использующих вычислительную математику в прикладных расчетах.


ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие..................... 5

Глава I. Постановка задач и вспомогательные результаты.................. 7

§ 1. Постановка задач. Функциональные пространства и классы функций.......... 7

§ 2. Определение и различные формы представления сплайнов............... 13

§ 3. Сводка вспомогательных результатов... 24

Вспомогательная литература............ 32

Глава II. Параболические и кубические сплайны... 33

§ 1. Определение и вычисление интерполяционных параболических сплайнов одной переменной................... 33

§ 2. Представление через В-сплайны...... 45

§ 3. Сходимость и порядки приближения.... 55

§ 4. Кубические сплайны........... 83

§ 5. Многомерные параболические сплайны... 95

Глава III. Сплайны с равномерными узлами.... 119

§ 1. Необходимое условие сходимости..... 119

§ 2. Единственность интерполяционного сплайна

с ограниченной п-ш производной...... 121

§ 3. Интерполяционные сплайны с равномерными

узлами на конечном отрезке........ 130

§ 4. Многомерные сплайны на равномерной прямоугольной сетке............. 140

Глава IV. Эрмитовы сплайны и нелинейные приближения.................. 144

§ 1. Одномерные эрмитовы сплайны...... 144

§ 2. Двумерные эрмитовы сплайны....... 157

§ 3. Нелинейная аппроксимация........ 160

Глава V. Сглаживание.............. 168

§ 1. Постановка задач............. 168

§ 2. Построение сглаживающих сплайнов..... 173

§ 3. Сглаживание функций двух переменных... 181

§ 4. Среднеквадратичное приближение..... 183

§ 5. Наилучшее равномерное приближение сплайнами.................. 188

Глава VI. Применение сплайнов в численном анализе 195

§ 1. Численное интегрирование и дифференцирование.................. 195

§ 2. Приближение неявных функций...... 209

§ 3. Численное решение интегральных уравнений 212

§ 4. Решение краевых задач.......... 218

§ 5. Численное решение задачи Коши..... 228

Комментарии.................... 235

Литература.................... 238


Об авторах
Стечкин Сергей Борисович
Советский и российский математик, доктор физико-математических наук (1958), профессор (1959). Основатель научной школы в теории функций. Окончил механико-математический факультет Московского университета (1944). Профессор кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ (1959–1995). Основатель и первый директор Свердловского отделения Математического института им. В. А. Стеклова, впоследствии превратившегося в Институт математики и механики Уральского отделения РАН (ИММ УрО РАН).

С. Б. Стечкин был одним из инициаторов развития в СССР исследований сплайнов. Cовместно с Ю. Н. Субботиным он написал первую на русском языке монографию по приближению функций сплайнами, способствовавшую их внедрению в практику вычислительной математики. Научные интересы и результаты С. Б. Стечкина относятся к теории функций, некорректным задачам, геометрическим проблемам теории наилучших приближений в банаховых пространствах, теории чисел. В общей сложности он опубликовал около 120 научных работ, в том числе две монографии. Среди его учеников 30 кандидатов и 16 докторов наук.

Субботин Юрий Николаевич
Общепризнанный мировой авторитет в теории аппроксимации, один из пионеров в создании сплайнов — одного из фундаментальных разделов современной вычислительной математики. Доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН (2000). Родился в г. Ивделе Свердловской области. Создатель и руководитель Уральской школы по теории сплайнов. Начиная с 1964 г. работает в Институте математики и механики Уральского отделения Российской академии наук, долгое время возглавлял в Институте Отдел теории приближения функций.

Переведенная Ю. Н. Субботиным с английского языка книга Дж. Алберга, Э. Нильсона и Дж. Уолша «Теория сплайнов и ее приложения» (1972) и совместная с С. Б. Стечкиным монография «Сплайны в вычислительной математике» (1976) — первые книги на русском языке, посвященные сплайнам. После их публикации термин «сплайн» окончательно и прочно утвердился в отечественной науке. Результаты Ю. Н. Субботина по базисам функциональных пространств, построенным на основе сплайнов, ныне цитируются в России и за рубежом как предварившие основные черты самого современного на данный момент аппарата аппроксимации — теории всплесков.