| Предисловие к первому изданию | 6
|
| Предисловие ко второму изданию | 8
|
| Введение | 9
|
| § 1. О некоторых аспектах в постановке математических задач | 9
|
| § 2. Понятие корректно поставленных и некорректно поставленных задач | 15
|
| § 3. Примеры некорректно поставленных задач | 18
|
| § 4. Некоторые наиболее употребительные понятия | 32
|
| Глава I. Метод подбора. Квазирешения | 37
|
| § 1. Метод подбора решения некорректно поставленных задач | 38
|
| § 2. Квазирешения | 43
|
| § 3. Приближенное нахождение квазирешений | 47
|
| § 4. Замена уравнения Az = u близким ему | 49
|
| § 5. Метод квазиобращения | 50
|
| Глава II. Метод регуляризации решения операторных уравнений | 53
|
| § 1. Понятие регуляризирующего оператора | 53
|
| § 2. Вариационный принцип отбора возможных решений. Существование регуляризирующих операторов | 58
|
| § 3. Метод Лагранжа построения регуляризирующих операторов | 65
|
| § 4. Определение параметра регуляризации по невязке | 71
|
| § 5. Пример нелинейного уравнения. Обобщенный метод Лагранжа | 80
|
| § 6. О построении регуляризирующих операторов с помощью минимизации сглащивающего функционала | 83
|
| § 7. Квазиоптимальное значение параметра регуляризации и другие | 86
|
| § 8. Еще об одном классе задач, приводящих к минимизации сглаживающего функционала. Связь регуля-ризованных решений с квазцрешением | 92
|
| § 9. Метод итераций нахождения приближенных решений уравнений вида Az = u | 97
|
| § 10. О построении приближенных решений уравнения Az = u в случаях, когда приближенно заданы правая часть и оператор А | 99
|
| Глава III. О решении вырожденных и плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений | 110
|
| § 1. Метод регуляризации нахождения нормального решения | 114
|
| § 2. Приближенное нахождение нормального решения по неточно известным правой части и матрице 9 | 122
|
| § 3. Дополнительные замечания | 127
|
| Глава IV. О методе регуляризации решения линейных интегральных уравнений первого рода | 128
|
| § 1. Существование регуляризирующих операторов для интегральных уравнений первого рода | 128
|
| § 2. Редукция задачи построения регуляризирующих операторов к классической вариационной задаче минимизации функционалов с ограничениями | 139
|
| § 3. Получение семейства регуляризирующих операторов с помощью минимизации сглаживающих функционалов | 142
|
| § 4. Алгоритм нахождения приближенных решений, легко реализуемый на ЭВМ | 147
|
| § 5. О дискретизации задачи нахождения приближенных решений интегральных уравнений первого рода | 152
|
| § 6. Примеры применения метода регуляризации | 158
|
| Глава V. О приближенных решениях интегральных уравнений первого рода типа сверток | 167
|
| § 1. Классы регуляризирующих операторов для уравнений типа сверток | 168
|
| § 2. Уклонение регуляризованного решения от точного | 179
|
| § 3. Асимптотические оценки уклонения регуляризованного решения от точного для уравнений типа свертки при а→0 | 183
|
| Глава VI. О некоторых оптимальных регуляризирующих операторах для интегральных уравнений типа' свертки | 197
|
| § 1. Оптимальное регуляризованное решение. Связь метода регуляризации с оптимальной фильтрацией по Винеру | 198
|
| § 2. Свойства функции ϕ(p) для уравнений с ядрами I — IV типов | 204
|
| § 3. Определение высокочастотных характеристик сигнала и шума и оптимального значения параметра регуляризации | 210
|
| Глава VII. Устойчивые методы суммирования рядов Фурье с приближенными в метрике k коэффициентами | 218
|
| § 1. Классы устойчивых методов суммирования рядов Фурье | 220
|
| § 2. Об оптимальных методах суммирования рядов Фурье | 227
|
| Глава VIII. Об устойчивых методах минимизации функционалов и решения задач оптимального управления | 231
|
| § 1. Устойчивый метод минимизации функционалов | 234
|
| § 2. Устойчивый метод решения задач оптимального управления | 241
|
| Глава IX. Устойчивые методы решения задач оптимального планирования (линейного программирования) | 243
|
| § 1. О постановке задач оптимального планирования и математического программирования | 248
|
| § 2. Задачи оптимального планирования. Существование решений и единственность | 253
|
| § 3. Метод регуляризации решения задач оптимального планирования | 253
|
| Литература | 271
|
| Литература и комментарий, добавленные к третьему изданию | 283
|
| Предметный указатель | 285
|
Тихонов Андрей Николаевич Академик АН СССР (1966). Доктор физико-математических наук, профессор (1936), участник работы над атомным проектом СССР. В 1948 г. под его руководством были успешно проведены расчеты процесса атомного взрыва; руководимый им коллектив также осуществил решение задачи динамики взрыва термоядерной бомбы. За свои научные достижения он был награжден шестью орденами Ленина, орденом Октябрьской Революции, тремя орденами Трудового Красного Знамени, медалями. Он лауреат Ленинской, Сталинской премии 1-й степени, Государственной премии СССР, премии Совета Министров СССР, премии имени M. B. Ломоносова 1-й степени. Награжден золотой медалью имени М. В. Келдыша АН СССР, золотыми медалями ВДНХ СССР.
Работа над проблемами поиска полезных ископаемых, начавшаяся в период Великой Отечественной войны, привела А. Н. Тихонова к концепции обратных и некорректных задач, к разработке методов регуляризации и тем самым к созданию крупного научного направления, получившего мировое признание. Это научное направление ученый развивал на протяжении всей жизни. Он автор более 800 научных работ, автор и редактор свыше 30 монографий и учебников.
Арсенин Василий Яковлевич