Оморов Р.О. Синергетика и хаос:
Топологическая грубость и бифуркации

---

Оглавление				3
Введение				6
Глава 1. Синергетика				9
1. Понятие о синергетике				9
2. Основные принципы и методология синергетики				10
3. Краткая история развития синергетики как нового научного направления				15
4. Понятие о фракталах				19
Глава 2. Синергетические системы				20
1. Самоорганизация в естественных системах				20
1.1. Математика и механика				20
1.2. Физика				25
1.3. Химия				30
1.4. Биология				32
1.5. Экология				33
2. Самоорганизация в технических системах				34
2.1. Механические системы				34
2.2. Электрические и электронные системы				36
2.3. Лазеры				39
2.4. Самоорганизация в вычислительных системах				40
2.5. Самоорганизация в системах связи				40
2.6. Самоорганизация в системах хранения и кодирования информации				41
2.7. Самоорганизация в химической промышленности				42
2.8. Самоорганизация в космической технике				42
Глава 3. Хаос в динамических системах				44
1. Возникновение хаотических колебаний (хаоса)				44
2. Системы с хаотическими колебаниями				50
3. Критерии хаотических колебаний				55
Глава 4. Фракталы в нелинейной динамике				67
1. Фракталы				67
2. Фрактальные размерности				72
3. Фракталы и хаос				78
Глава 5. Теория грубости динамических систем				80
1. Свойство грубости динамических систем				80
2. Грубость динамических систем в современной теории				81
3. Метод мер топологической грубости динамическихсистем				88
4. Некоторые понятия и определения теории динамических систем				90
Глава 6. Теория бифуркаций динамических систем				96
1. Основные понятия и определения теории бифуркаций динамических систем				96
2. «Типичность», грубость и бифуркации систем. Соотношение «грубости», «типичности» и «гиперболичности»				100
Глава 7. Основы теории и метода топологической грубости динамических систем				108
1. Топологическая грубость динамических систем				108
2. Применение метода топологической грубости к исследованию бифуркаций динамических систем				116
Глава 8. Приложения теории и метода топологической грубости к синергетическим системам и хаосу				123
Заключение				142
Литература				144

---

Многие стороны природных и техногенных процессов и систем имеют идентичные или подобные закономерности развития и реализации явлений и событий. Объединяющим все эти процессы и системы различной природы является самоорганизованность их протекания и изменений во времени и пространстве. Такие процессы и системы являются предметом исследований относительно новой науки — синергетики, которая занимается самоорганизующимися процессами, явлениями и системами самой различной физической природы.

Синергетика получила широкое развитие за последние десятилетия и в настоящее время вторгается во многие области науки, начиная с естественных наук — физики, химии, биологии, геологии — и кончая неточными областями наук, такими как экономика, социология, психология, философия, а также в области техники и технологий.

Многие ученые в настоящее время ставят задачи не только исследования синергетических процессов и систем, но и управления ими с целью достижения их желаемого развития и динамики. Особенно актуальны в современной науке исследование и управление хаотическим поведением (хаосом) в системах различной физической природы.

Математический аппарат синергетики как направления науки основывается прежде всего на теории динамических систем и топологии, поэтому основоположником основных идей и методов этой новой науки следует считать великого французского ученого Анри Пуанкаре, который внес существенный вклад в теорию динамических систем и по существу основал раздел математики — топологию.

В дальнейшем огромный вклад в развитие теории динамических систем внесли многие ученые XX века, в том числе советские ученые Л. И. Мандельштам, А. А. Андронов, Л. С. Понтрягин, В. И. Арнольд, Я. Г. Синай и другие. В развитии теории устойчивости динамических систем неоценимы вклады А. М. Ляпунова, С. Смейла, Р. Тома, В. И. Зубова, В. М. Матросова и многих других ученых.

В современной постановке термин новой науки — синергетика введен выдающимся немецким физиком Германом Хакеном в конце 70-х годов XX века. Термин «синергетика» происходит от греческого «синергиа» — содействие, сотрудничество.

При исследовании и управлении синергетическими системами важнейшее значение имеют вопросы грубости и бифуркаций.

В классической постановке вопросы грубости и бифуркаций динамических систем были поставлены еще на заре становления топологии как нового научного направления математики великим французским математиком и физиком А. Пуанкаре, в частности, термин бифуркация впервые введен им и означает дословно «раздвоение» или иначе ответвление новых решений от уравнений динамических систем. Грубость динамических систем при этом определяется как способность систем сохранять качественную картину разбиения фазового пространства на траектории при малом возмущении топологий, при рассмотрении близких по виду уравнений систем.

В современной терминологии слово «бифуркация» употребляется как название любого скачкообразного изменения, происходящего при плавном изменении параметров в любой системе. Таким образом, бифуркация означает переход между пространствами грубых систем, происходящий через не грубые области (пространства).

Многие основополагающие результаты в теории грубости и бифуркаций получены А. А. Андроновым и его школой. В работе А. А. Андронова и Л. С. Понтрягина (1937 г.) впервые дано понятие грубости и сформулированы качественные критерии грубости, которое в впоследствии названо понятием грубости по Андронову—Понтрягину.

В работах автора, приведенных в списке литературы к настоящей монографии, получены результаты, развивающие понятие грубости по Андронову—Понтрягину, позволяющие количественно исследовать и решать задачи грубости и бифуркаций динамических систем, в частности, эффективно применяемые к синергетическим системам.

Математический аппарат синергетики охватывает многие области современной математики, поскольку ее объектами являются объекты разных областей науки. Прежде всего, математические модели синергетических систем представляются нелинейными уравнениями различных видов. Но при исследовании нелинейных уравнений используются различные методы решений — это и линеаризация со сведением задач к линейным уравнениям, это и использование матричных методов.

Представленные в главе 7 основы теории и метода топологической грубости являются развитием теории грубости и бифуркаций динамических систем, которые получили применение для исследований синергетических систем и хаоса различной физической природы, но могут быть использованы для динамических систем более широкого класса.

---