Карпенко А.С. Логики Лукасевича и простые числа Изд. стереотип.

2022. 256 с.

Типографская бумага

Мягкая обложка
Другой вариант 539 р. ››

Аннотация

Впервые в мировой литературе в монографическом исследовании устанавливается прямая связь между логикой и простыми числами. Хотя многозначные логики Лукасевича явились результатом опровержения фаталистического аргумента Аристотеля, их функциональные свойства имеют чисто теоретико-числовую природу. Изучение этого факта позволило дать определение понятия простого числа в логических терминах. Появилась реальная возможность выявить структуру... (Подробнее)

Содержание

Предисловие
Введение
1.	Классическая логика высказываний
	1.1.	Логические связки. Истинностные таблицы
	1.2.	Законы логики
	1.3.	Функциональная полнота
		1.3.1.	Штрих Шеффера
	1.4.	Аксиоматизация. Адекватность
	1.5.	Алгебраизация
2.	Трехзначная логика Лукасевича L₃
	2.1.	Ян Лукасевич
	2.2.	Логический фатализм
	2.3.	Введение в логику третьего истинностного значения
	2.4.	Истинностные таблицы. Аксиоматизация
	2.5.	Отличия трехзначной логики Лукасевича L₃ от классической C₂
	2.6.	Трехзначная модальная логика Лукасевича
	2.7.	Трудности интуитивной интерпретации L₃
	2.8.	Погружение классической логики C₂ в L₃ и трехзначные изоморфы C₂
	2.9.	Импликация Лукасевича и трехзначная интуиционистская логика G₃
	2.10.	Алгебраизация
3.	Конечнозначные логики Лукасевича L_n
	3.1.	Логические матрицы
	3.2.	N-значная матричная логика Лукасевича
	3.3.	Некоторые свойства L_n
		3.3.1.	Отношения между конечнозначными логиками Лукасевича
		3.3.2.	Степень полноты для L_n (появление простых чисел)
		3.3.3.	J_i-операторы
		3.3.4.	L_n и n-значные логики Гёделя G_n
		3.3.5.	Функтор Слупецкого для L_n
		3.3.6.	Критерий Мак-Нотона об определимости операций в L_n
	3.4.	Аксиоматизация L_n
	3.5.	Алгебраизация
4.	Интерпретации L_n
	4.1.	Тезис Сушко
	4.2.	Метод Скотта
	4.3.	Интерпретация Уркварта
	4.4.	Фактор-семантика
5.	Логика как функциональная система
	5.1.	Логики Поста
		5.1.1.	Функциональная полнота Р_n
	5.2.	Оператор замыкания, полнота и предполнота классов функций
		5.2.1.	Максимальная n-значная непостовская логика
		5.2.2.	Базисы. Штрих Шеффера для Р_n
		5.2.3.	Штрих Шеффера для L_n
		5.2.4.	Континуальность L₃
	5.3.	Функциональные свойства L_n (Теорема В.К.Финна)
6.	Структурализация простых чисел
	6.1.	Разбиение множества логик Лукасевича L_n+1 на классы эквивалентности относительно свойства предполноты
	6.2.	Построение классов X_n+1 (обратная функция Эйлера)
	6.3.	Графы для простых чисел
		6.3.1.	Гипотеза о конечности корневых деревьев
	6.4.	p-абелевы группы
	6.5.	Сокращенные корневые деревья
7.	Матричная логика для простых чисел
	7.1.	Характеризация простых чисел посредством матричной логики K_n+1
		7.1.1.	Функциональные свойства логики K_n+1
	7.2.	Матричная логика K'_n+1
	7.3.	Штрих Шеффера для простых чисел
		7.3.1.	О формуле для простых чисел
	7.4.	Закон порождения классов простых чисел
8.	Характеризация классов натуральных чисел логическими матрицами Лукасевича
	8.1.	Простые числа
	8.2.	Степень простого числа
	8.3.	Чётные числа
	8.4.	Нечётные числа
	8.5.	Несколько замечаний (проблема Гольдбаха)
ТАБЛИЦЫ ЧИСЕЛ
	Таблица 1. Cтепень кардинальной полноты gamma(L_n)
	Таблица 2. Мощность корневых деревьев T_p и С.К.Д.
	Таблица 3. Значения функции i(p)
Эпилог
Литература
Именной указатель
Предметный указатель
Contents

Из предисловия

Пионеры многозначных логик Э.Пост, Я.Лукасевич и Д.А.Бочвар создавали свои системы, имея разные цели. N-значные функционально полные системы Э.Поста Р_n являются обобщением (с циклическим отрицанием) двузначной логики, не имеющими сколь-нибудь семантически содержательной интерпретации. Трехзначная логика Д.А.Бочвара В₃ с промежуточным истинностным значением "бессмысленно" предназначена для формализации логических и семантических парадоксов (ее семантическое истолкование очевидно – потеря смысла высказываний в формально корректном языке). Трехзначная логика Я.Лукасевича, созданная им в 1920 г., имела философскую мотивацию и была связана с его идеей опровергнуть аристотелевскую доктрину логического фатализма, основанную на двузначной логике.

Однако n-значные обобщения логики Я.Лукасевича [1] оказались интересным логико-математическим формализмом, который, не имея ясного семантического истолкования (имеются в виду истинностные значения, отличные от "истины" и "лжи"), породил многочисленные исследования логического и алгебраического характера. (Следует упомянуть в связи с этим польских логиков А.Тарского, А.Линден-баума, М.Вайсберга, Е.Слупецкого, Р.Вуйцицкого и других, а также американских логиков Б.Россера и А.Тюркетта, Ч.Чэна, А.Роуза и других исследователей и грузинского логика Р.Григолия.)

* * *

Автор этой книги Александр Степанович Карпенко в многочисленных работах получил ряд глубоких и трудно доказуемых результатов, устанавливающих интересные связи между логиками L_n и логиками функционально эквивалентными L_n, с одной стороны, и арифметическими фактами, с другой стороны. Он построил характеризации четных чисел и нечетных чисел, соответственно, посредством логических исчислений, функционально эквивалентных логикам Я.Лукасевича L_n.

Автор книги получил также аналоги результатов [3], характеризующие простые числа посредством специально построенных исчислений функционально эквивалентных L_n.

Весьма эффектными и труднодоказуемыми результатами А.С.Карпенко являются теоремы о характеризации простых чисел через аналоги штриха Шеффера для соответствующих n-значных логик...

Таким образом, важным итогом многолетних и плодотворных исследований А.С.Карпенко являются характеризации простых чисел, степеней простых чисел, четных чисел и нечетных чисел как посредством специально построенных логических исчислений, так и посредством аналогов штриха Шеффера для соответствующих логик Я.Лукасевича.

Методологический смысл результатов автора этой оригинальной книги состоит в том, что обнаружена связь между фактами арифметики и конечнозначными логиками Я.Лукасе-вича. По-видимому, "арифметическая природа" логик Я.Лука-севича не только обнаружена, но и систематически изучена. Это обстоятельство является некоторым аргументом против общепри-нятого понимания логик Я.Лукасевича (бесконечнозначной и конечнозначных) как логических оснований формализаций нечет-кости в смысле Л.Заде (см. [4]) (хотя, разумеется, для широкого класса прикладных задач несомненно требуются соответствующие недвузначные логики как аппарат формализации правдоподобных рассуждений).

В этой книге представлены также результаты относительно порождений классов простых чисел, полученные посредством компьютерных программ, ставших эффективным подспорьем современных исследований комбинаторных проблем.

А.С.Карпенко – автор уже двух книг по многозначным логикам. Его книга "Многозначные логики" [5] является информативным и современным обзором состояния исследований в области многозначных логик. Настоящая же книга, сохраняя энциклопедическую тщательность в обзоре результатов, полученных мировым сообществом многозначных логиков, представляет многолетние систематические исследования автора конечнозначных логик Я.Лукасевича. Книга А.С.Карпенко существенно обогащает сферу исследований многозначных логик L_n, представленных в [6].

* * *

Однако систематическое исследование характеризации различных множеств натуральных чисел (простых чисел, степеней простых чисел, четных и нечетных чисел) посредством логик L_n или функционально им эквивалентных были осуществлены лишь А.С.Карпенко, результаты которого и представлены в настоящей книге.

Достоинством этой книги, выгодно дополняющим научную обстоятельность, оригинальность и нетривиальность результатов, является литературная скрупулезность и библиографическая тщательность в обзоре результатов, относящихся к теме книги. Эта объективность и отсутствие "тормозов информированности" из-за так называемых "языковых барьеров" продолжает традиции российской школы математической логики, внесшей немалый вклад в развитие этой науки, а в этих традициях знать результаты своих коллег – дело не только этики, но и профессиональной производительности.

Наука новейшего времени, сохраняя глубину фундаментальных принципов, теорий и концепций прошлых периодов своей истории, достигала изощренных технически и технологически методов и средств получения результатов. Если прибегнуть к метафорическому выражению этой мысли, то можно сказать, что поиск "полезных ископаемых" (новых знаний) происходит в шахтах большой глубины с помощью автоматизированных средств.

Добыча новых знаний о связи логик Я.Лукасевича c различными числовыми множествами осуществлена А.С.Карпенко на "большой глубине" с помощью эффективных компьютерных программ. Его книга – не для "трамвайного чтения" (как говорил Ю.А.Гастев), но она будет интересна логикам, математикам и программистам, создающим программы для решения творческих задач.

В последние годы интерес к исследованию логик Я.Лукасевича не только не убавился, но материализовался в двух фундаментальных трудах – Петра Гаека о метаматематических основаниях нечеткой логики [13] и П.Л.О.Чиньоли, Дж.М.Л.Оттавиано и Д.Мундичи [14] об алгебраических основаниях многозначных рассуждений. В каждой из этих книг, как и в книге А.С.Карпенко, рассматриваются логики Я.Лукасевича, что свидетельствует о значительном прогрессе в этом направлении логических исследований.

В.К.Финн

Об авторе

Карпенко Александр Степанович

Родился в 1946 г. в Куйбышеве. Доктор философских наук, заведующий сектором логики Института философии РАН, профессор кафедры логики философского факультета МГУ имени М. В. Ломоносова. Ответственный редактор ежегодника «Логические исследования». Автор более 150 научных работ, опубликованных в нашей стране и за рубежом. Среди них монографии: «Фатализм и случайность будущего. Логический анализ» (URSS); «Многозначные логики» (Серия «Логика и компьютер». Вып. 4); «Логики Лукасевича и простые числа» (URSS); «Lukasiewicz Logics and Prime Numbers».