URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики Обложка Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики
Id: 278882
879 р.

Математические модели нелинейной динамики № 110. Изд. 3, испр.

URSS. 2024. 304 с. ISBN 978-5-9710-4709-4.
Белая офсетная бумага

Аннотация

Обобщаются известные и предлагаются новые методы математического моделирования нелинейных динамических систем. На простых примерах пояснены механизмы возникновения динамического хаоса, самоорганизации и др. Предложен принципиально новый подход к моделированию динамических систем, основанный на теории возможностей и нечеткой математике. Он ориентирован на описание динамики в условиях неопределенности и является альтернативой стохастическому... (Подробнее)


Оглавление
top
От редакции9
Предисловие11
Глава 1.Математические модели динамических систем. Основные определения15
1.1. Определение динамической системы15
1.1.1. Динамическая система и ее состояние15
1.1.2. Моделирование динамической системы16
1.2. Динамическая система, описываемая конечной системой дифференциальных уравнений16
1.2.1. Гармонические колебания17
1.2.2. Движение в поле потенциальных сил18
1.2.3. Нелинейный осциллятор19
1.2.4.Консервативныеидиссипативныесистемы20
1.2.5.Маятник с затуханием20
1.2.6. Нелинейный осциллятор Ван дер Поля21
1.2.7. Странные аттракторы21
1.3. Дискретные эволюционные модели22
1.3.1. Разностные эволюционные уравнения22
1.3.2. Отображение Пуанкаре23
1.4. О решении начальных задач для дифференциальных эволюционных уравнений23
1.4.1. Область определения фазовых траекторий23
1.4.2. Автономные динамические системы24
1.4.3. Типы траекторий автономных динамических систем24
1.4.4. Предельные точки и предельные множества24
Глава 2. Классификация поведения динамических систем26
2.1. Топологическая эквивалентность26
2.1.1. Определение топологической эквивалентности26
2.1.2. Зависимость от параметра27
2.2. Исследование качественного поведения систем29
2.2.1. Примеры влияния управляющих параметров на динамику систем29
2.2.2. Грубые динамические системы31
2.2.3. Классификация особых точек34
2.2.4. Поведение вблизи особых точек35
2.3. Устойчивость динамических систем38
2.3.1. Устойчивость особых точек38
2.3.2. Предельные циклы39
2.3.3. Устойчивость по Ляпунову40
2.3.4. Орбитальная устойчивость40
2.3.5. Устойчивость и ляпуновские характеристические показатели41
2.3.6. Устойчивость периодических решений42
2.4. Типичные бифуркации нелинейных динамических систем43
2.4.1. Бифуркация смены устойчивости43
2.4.2. Бифуркация «седло–узел». Складка44
2.4.3. Сборка45
2.4.4. Бифуркация рождения предельного цикла45
2.4.5. Бифуркации удвоения периода и расщепления цикла47
2.5. Введение в элементарную теорию катастроф49
2.5.1. Вводные замечания и примеры49
2.5.2. Неморсовские особые точки. Росток и возмущение катастрофы50
2.5.3. Классификация катастроф51
2.5.4. Канонический вид эволюционного уравнения в неособой точке52
2.5.5. Канонический вид эволюционного уравнения в морсовской точке. Лемма Морса53
2.5.6. Канонический вид эволюционного уравнения в особой точке катастроф. Возмущения54
2.5.7. Сепаратрисы на множестве параметров55
2.5.8. Флаги катастроф56
2.5.9. Фазовый переход как катастрофа58
2.5.10. Точки катастроф и изменение климата60
Глава 3. Приближенные методы исследования нелинейных систем63
3.1. Метод усреднения63
3.2. Асимптотические методы малого параметра65
3.2.1. Регулярные возмущения системы дифференциальных уравнений66
3.2.2. Асимптотические решения сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений71
Глава 4. Гамильтоновы системы78
4.1. Основы вариационного исчисления78
4.1.1. Основные понятия78
4.1.2. Уравнение Эйлера— Лагранжа79
4.2. Задачи динамики80
4.2.1. Движение в центральном поле. Циклические координаты81
4.2.2. Законы сохранения и инвариантность гамильтониана82
4.2.3. Особенности фазовых портретов гамильтоновых систем83
4.3. Вполне интегрируемые системы85
4.3.1.СкобкиПуассонаипервыеинтегралы85
4.3.2.Условно периодическое движение86
4.3.3. Резонансные и нерезонансные торы в фазовом пространстве88
4.3.4. О теории Колмогорова—Арнольда—Мозера88
4.4. Инвариантные торы в негамильтоновых системах90
Глава 5. Хаос в динамических системах92
5.1. Что такое хаос92
5.1.1. Хаос: мифология и математика92
5.1.2. Хаотические колебания95
5.1.3. Аттрактор Лоренца. Вывод уравнений96
5.1.4. Анализ системы уравнений Лоренца99
5.1.5. Реакция Белоусова—Жаботинского100
5.1.6. Хаос и сечение Пуанкаре100
5.1.7. Характерные признаки хаоса101
5.2. Дискретные отображения101
5.2.1. Сдвиг Бернулли101
5.2.2. Треугольное отображение103
5.2.3. Математические характеристики хаоса106
5.2.4. Хаотическая диффузия107
5.3. Сценарии перехода к хаосу107
5.3.1. Переход к хаосу через удвоение периода108
5.3.2. Переход к хаосу через перемежаемость112
5.3.3. Сценарий Рюэля—Такенса114
5.4. Эргодичность и перемешивание115
5.4.1. Среднее по времени и среднее по ансамблю116
5.4.2. Эргодические системы116
5.4.3. Перемешивающие системы117
5.4.4. Диссипативные перемешивающие системы120
5.4.5. Странные аттракторы121
5.4.6. Фрактальные свойства странного аттрактора123
5.5. Ведущие параметры124
5.5.1. Быстрое и медленное время124
5.5.2. Параметры порядка и принцип подчинения126
Глава 6. Фракталы: определения и свойства129
6.1. Что такое фрактал129
6.1.1. Примеры и определения фрактала129
6.1.2. Фрактальность пространственных форм131
6.1.3. Динамические фракталы132
6.2. Размерность Хаусдорфа—Безиковича133
6.3. Фрактал как самоподобный объект137
6.3.1. Фракталы Жюлиа и Мандельброта138
6.3.2. Фрактальные кластеры140
6.3.3. Фракталы как модели физических систем141
6.4. Самоподобие как фундаментальное свойство природы142
Глава7. Численныеметодыисследованиядинамических систем145
7.1. Расчет отображений Пуанкаре146
7.2. Численный анализ периодических решений148
7.3. Вычисление спектра ляпуновских характеристических показателей149
7.4. Расчет размерности аттрактора153
7.4.1. Оценка топологической размерности153
7.4.2. Фрактальная размерность аттрактора155
Глава 8. Самоорганизация в нелинейных системах156
8.1.О двух тенденциях динамики — от беспорядка к порядку и обратно156
8.2.Проблема обратимости времени и ее связь с теорией нелинейных систем158
8.2.1. Стрела времени и законы динамики158
8.2.2. Квантово-механический и космологический парадоксы161
8.2.3. Причина необратимости времени в статистической физике162
8.2.4. Описание движения, несводимое к траекториям168
8.3. Самоорганизация в активных средах172
8.3.1. Бистабильные среды173
8.3.2. Возбудимые среды178
8.3.3. Автоколебательные среды181
8.4. Нелинейные волны. Солитоны182
8.4.1. Гиперболические и диспергирующие волны183
8.4.2. Солитоны186
8.5. Самоорганизация в химической кинетике189
8.5.1. Реакция Белоусова—Жаботинского189
8.5.2. Математическая модель реакций химической кинетики190
8.5.3. Брюсселятор191
8.5.4. Анализ математической модели брюсселятора194
8.6. Самоорганизация в биологических системах196
8.6.1. Возникновение жизни196
8.6.2. Математические модели выживания197
8.6.3. Модели роста и взаимодействия популяций198
8.6.4. О модели морфогенеза200
8.7. Клеточные автоматы201
8.7.1. Математическая модель клеточного автомата201
8.7.2. Игра «Жизнь»205
8.7.3. Фильтр движущихся целей205
8.7.4. Клеточная модель физической реальности207
8.8. Обучающиеся системы209
8.8.1. Модель Изинга209
8.8.2. Нейронные сети212
8.8.3. Инвариантные сети217
8.8.4. Морфологический анализ изображений219
Глава 9. Системы со случайными шумами226
9.1. Роль флуктуаций226
9.2. Случайные процессы227
9.2.1. Марковские случайные процессы228
9.2.2. Уравнение Смолуховского229
9.3. Уравнение для плотности вероятности230
9.4. Физические системы с шумами232
9.4.1. Уравнение Ланжевена232
9.4.2. Движение в потенциальном поле234
9.4.3. Барометрическая формула235
9.4.4.НестационарныерешенияуравненияФокера—Планка235
9.5. Теория второго порядка236
9.5.1. Сходимость в среднем квадратичном236
9.5.2. Корреляционная функция случайного процесса237
9.5.3. Непрерывность в среднем квадратичном237
9.5.4. Дифференцируемость и интегрируемость в среднем квадратичном238
Глава 10. Измерение и прогнозирование239
10.1. Теория измерительно-вычислительных систем239
10.1.1. Несколько неформальных определений241
10.1.2. Схема реального измерения243
10.1.3. Схема идеального измерения243
10.1.4. В чем состоит интерпретация измерения244
10.1.5. Линейная модель измерения244
10.1.6. Интерпретация измерений с помощью линейных измерительновычислительных систем244
10.1.7. Наблюдения с помощью датчика второго порядка245
10.2. Методы синтеза ИВС как идеальных приборов247
10.2.1. Схема измерений и ее математические модели247
10.2.2. Несмещенный синтез выходного сигнала идеального прибора249
10.2.3. Синтез идеального прибора с ограничением на энергию шума на его выходе251
10.2.4. Синтез выходного сигнала идеального прибора. Априорные данные254
10.3. Надежность модели и надежность интерпретации257
10.3.1. Зачем проверять модель измерения257
10.3.2. Надежность модели измерения259
10.3.3. Надежность интерпретации260
Глава 11. Нечеткие модели262
11.1. Возможность и вероятность262
11.2. Математические основы теории возможностей266
11.2.1. Нечеткие множества и события. Алгебра нечетких множеств266
11.2.2. Мера возможности и мера необходимости268
11.3. Принцип относительности в теории возможностей270
11.4. Условная мера возможности272
11.5. Нечеткие элементы272
11.6. Нечеткое моделирование274
11.7. Гауссовы нечеткие элементы275
11.7.1. Определение гауссова нечеткого элемента275
11.7.2. Маргинальное распределение276
11.7.3. Условное распределение нечеткого гауссова элемента277
11.7.4. Аппроксимация нечетких гауссовых элементов278
11.7.5. Собственный базис нечеткого гауссова элемента279
11.8. Нечеткая динамика282
11.8.1. Нечеткие процессы282
11.8.2. Марковские нечеткие процессы283
11.8.3. Уравнение Смолуховского для нечетких процессов284
11.8.4. Однородные нечеткие процессы с независимыми приращениями285
11.8.5. Процессы с дискретным временем и конечным числом состояний288
11.8.6. Волны возможности289
11.8.7. Нечеткие процессы и наблюдения291
11.8.8. Распространение возможностей294
Список литературы295

Предисловие к первому изданию
top
Знание фундаментальных законов природы, общества, человека формирует основы мировоззрения, способность видеть проявление основных принципов природы в многообразии закономерностей частных наук, дает подходы, позволяющие действовать в соответствии с этими принципами в новых нестандартных условиях и благодаря этому достигать цели с наименьшими затратами. Целиком взвалить на плечи гуманитарных наук груз формирования мировоззрения было бы не совсем правильно, так как именно концепции естествознания, в основном выдвинутые в ХХ веке, фактически составляют фундамент современных взглядов на природу и человека в целом, а язык естествознания, главным образом, язык математических моделей, значительно ближе и убедительнее, например, для студентов естественнонаучных специальностей, чем язык философии.

В настоящее время курсы математики, общей и теоретической физики, химии, биологии, геологии и других дисциплин в основном все-таки направлены на формирование конкретных знаний, умения решать конкретные задачи, и тем самым учат студентов говорить каждый на «своем» языке — языке определенного круга явлений и законов. Объединяющую роль мог бы сыграть курс, основанный на широком круге явлений, относящихся не только к физике, курс достаточно математизированный, главное внимание в котором был бы уделено не описанию и подробному изучению феноменов, — это делается на младших курсах, а именно выделению и осознанию общих принципов, лежащих в основе всех этих феноменов, в объединении разнородных явлений мира, формированию общей концепции.

В какой-то мере курс, синтезирующий в одном разные стороны реальности, можно построить на основе современной теории нелинейных динамических систем [1, 2, 6–8, 11, 19]. Ряд свойств этих систем, такие, как неустойчивость, нелинейность, открытость, диссипация, порождают режимы существования и эволюции, свойственные широкому классу сложных систем, начиная от механических, термодинамических, химических, и кончая живыми организмами и их сообществами. В первую очередь это хаотические режимы, которые сейчас принято считать характерными этапами развития любой достаточно сложной нелинейной системы, явления самоорганизации, механизм которых может объяснить различные асимметрии физического мира, возникновение жизни, механизмы социальных революций и др. Необычайно высокая восприимчивость систем, находящихся на этапе хаотического развития, дает ключ к пониманию резких скачкообразных переходов, определяет границы предсказуемости их поведения, а также и горизонт реконструкции предшествующих состояний. Анализ сложных нелинейных систем позволяет осознать конструктивную роль кризисов в развитии систем, найти наилучший стиль поведения (или управления системой) как в период кризисов, так и в период спокойного развития между этапами качественных перестроек.

Попытка создания такого курса привела к появлению этой книги.

Она основана на конспекте лекций, читаемых автором студентам пятого курса кафедры компьютерных методов физики физического факультета МГУ.

Первые несколько разделов посвящены математическим методам моделирования нелинейных систем. Это и количественное исследование динамических систем — методы регулярных и сингулярных возмущений дифференциальных уравнений, методы усреднения и др., но в основном — методы качественной теории дифференциальных уравнений: теория устойчивости, классификация особых точек, методы фазового портрета, классификация бифуркаций, основы теории катастроф. Рассматриваются консервативные гамильтоновы системы, приводятся свойства их поведения, в частности, изучаются условно периодические движения, основы теории Колмогорова—Арнольда—Мозера. Большое внимание уделяется наглядным геометрическим образам поведения динамических систем как в зависимости от времени, так и в зависимости от значений внешних управляющих параметров.

Следующая часть монографии посвящена изучению явления динамического хаоса. Первые рассмотренные здесь модели — простейшие одномерные с дискретным временем, такие, как сдвиг Бернулли, треугольное преобразование, логистическое отображение. На их примере демонстрируются универсальные свойства хаоса, в частности, сценарии возникновения хаотических режимов. Далее изучаются и более сложные модели: системы с перемешиванием, как диссипативные, так и консервативные. Формулируется язык описания хаотического поведения, в частности, геометрический язык фракталов.

Заключительная часть монографии состоит из примеров нелинейных систем со сложным поведением. Это нелинейные волны, неравновесные термодинамические системы, модели химической кинетики, популяционной биологии, режимы с обострением. Изучаются особенности поведения активных сред, модели клеточных автоматов, нейронных сетей. Последние разделы посвящены стохастическому и нечеткому описанию динамики сложных нелинейных систем.

Хотя большинство изучаемых здесь моделей являются классическими для разных естественнонаучных дисциплин, освещение их с единой точки зрения приводит к общей концепции, которую, следуя Г.Хакену, можно назвать синергетической. Автор надеется, что после прочтения книги яснее станут видны общие принципы и в фазовых переходах, и в этапах развития биологических популяций, и в ходе исторического процесса, и в результате модели естествознания оживут, возникнут понятийные связи между дисциплинами, яснее и естественнее проступит единство мира.

Заключительная часть монографии содержит изложение принципиально нового подхода к моделированию динамических систем, основанного на теории возможностей. Этот подход альтернативен к стохастическому и предназначен для создания моделей, описывающих системы в условиях неопределенности. Обычно в таких ситуациях применяются теоретико-вероятностные методы, и при этом многие аспекты неясности и неопределенности моделируются в терминах случайности, отражающей неполноту знаний, их недостоверность, а также нечеткости и неточности, относящихся к их содержанию.

Нечеткость и неточность естественно ассоциируются с распределением вероятностей, неясность и неопределенность отражаются в частичном незнании последнего; возникающие в связи с этим проблемы формулируются в терминах теории проверки статистических гипотез и теории оценивания [14].

Однако теоретико-вероятностные методы оказались неэффективными при моделировании широкого класса процессов и явлений, в организации которых именно неопределенность и нечеткость играют решающую роль. Дело в том, что в теоретико-вероятностной схеме прогнозируется не поведение системы, а частота того или иного ее поведения, связанная с вероятностью, причем предполагается, что частота не изменяется при заданных условиях, что характеризует так называемую стохастическую устойчивость. Но в сложных ситуациях сами условия меняются достаточно быстро и не подлежат оценке, при этом не имеет смысла говорить о частотах событий. В таких ситуациях можно говорить лишь об определенных тенденциях — например, утверждая, что «если тенденция изменений в условиях сохранится, то вероятность событий увеличится». Значения вероятностей в такой ситуации бессмысленны для прогнозирования состояния системы, и более естественно описывать лишь эти тенденции и предпочтения, причем не в абсолютной, а в ранговой шкале, оценивая возможность того или иного поведения системы. Это позволяет сделать теория возможностей, развитая в работах Ю.П.Пытьева [16], в которой на множестве всех состояний системы задается мера, показывающая, какие состояния более возможны, а какие — менее и тем самым характеризующая систему в ранговой шкале. Для выбора оптимального поведения системы, например, минимизирующего возможность ошибки, достаточно описания тенденций в ранговой шкале, поэтому на практике для принятия оптимальных решений ранговое описание системы в терминах возможности адекватно.

В монографии изучаются модели динамических систем на основе введенного понятия нечеткого процесса, исследуются уравнения и модели, являющиеся нечеткими аналогами стохастических процессов.

Издание этой книги стало возможным благодаря финансовой поддержке РФФИ и помощи моих друзей и коллег. Я глубоко благодарен В.Г.Буданову, плодотворные обсуждения с ним проблем нелинейной динамики дали толчок к написанию книги, ее структура и наполнение во многом определились в результате этих дискуссий. Большое влияние на ее содержание оказали и беседы с С.П.Курдюмовым. Разделы, посвященные морфологическому анализу изображений, измерению и прогнозированию, нечетким моделям написаны под влиянием идей моего учителя Ю.П.Пытьева и в тесном взаимодействии с ним.

Приношу им мою искреннюю и глубокую благодарность.

А.И.Чуличков

2000 г.


Об авторе
top
photoЧуличков Алексей Иванович
Доктор физико-математических наук. Окончил физический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова в 1978 г. С 1978 по 1980 гг. обучался в аспирантуре Института физики высоких энергий (Протвино, Серпухов). В 1983 г. защитил кандидатскую, а в 1993 г. — докторскую диссертацию. С 1980 г. работает на физическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова, с 2020 г. — в должности заведующего кафедрой математического моделирования и информатики.

Им разработаны математические и численные методы анализа и интерпретации данных измерительных экспериментов, позволившие реализовать на практике концепцию измерительно-вычислительных систем, в частности, в рентгеноструктурном анализе, дистанционном зондировании атмосферы и поверхности Земли, в системах анализа и интерпретации изображений. Результаты этих работ нашли применение в микро- и нанотехнологиях, в биофизике, геофизике, в системах мониторинга промышленного оборудования и других областях.