|
Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Вопросы использования научных, в том числе и математических, методов в процессах принятия экономических решений привлекают постоянное внимание как специалистов, так и широкой общественности. Это не случайно, поскольку курс на применение научных методов управления народным хозяйством, взятый после Октябрьского (1964 г.) Пленума ЦК КПСС и еще раз подтвержденный XXV съездом КПСС, продемонстрировал свою целесообразность и практическую эффективность. Математическое моделирование занимает важнейшее место среди методов научного анализа экономических проблем. По словам Карла Маркса, та или иная отрасль знаний достигает совершенства лишь тогда, когда ей удается пользоваться математикой. Проблемам применения математических моделей б экономике и экономико-математическим методам посвящена в настоящее время огромная литература, в том числе и учебная. Но, несмотря на это, предлагаемая книга вносит определенный вклад в изложение вопросов, связанных с использованием математических методов в экономике. Экономико-математические методы и модели можно рассматривать под несколькими ракурсами. Вполне уместно изучать чисто прагматическую основу использования математики: она дает экономистам удобный инструмент для практических расчетов и только. В подобном контексте экономико-математические методы рассматриваются в качестве хорошего помощника для решения огромного числа относительно простых (с точки зрения математика) задач повседневной экономической практики. Это задачи о перевозках, складировании, поведении балансов, распределении ресурсов, подсчетах эффективности и многие другие. Их иногда называют задачами экономических расчетов или задачами бухгалтерского типа. Я думаю, что в этом направлении успехи экономико-математических методов наиболее ощутимы. Сегодня без их использования уже невозможно представить себе труд экономиста — они во многом облегчают, уточняют и ускоряют его. Большое направление в экономико-математической литературе составляют математические исследования некоторых специальных классов экономических моделей. Многие функциональные зависимости, с которыми приходится иметь дело в экономике, обладают теми или иными специальными свойствами, например, свойством выпуклости. Эти обстоятельства позволяют далеко продвинуться в изучении различных качественных особенностей рассматриваемых моделей. В рамках этого направления решаются различные вопросы существования экстремальных значений тех или иных параметров, точек равновесия и т. д. Оперируя с относительно простыми моделями, исследователи получают результаты, которым далеко не всегда можно придать правдоподобную экономическую интерпретацию, поэтому особой роли в работах прикладного характера подобные исследования не сыграли. Однако не следует и недооценивать их значение — они не только содействовали становлению экономико-математических методов, но и помогли развить и отточить математические методы экономического анализа и, следовательно, косвенно содействовали развитию экономических исследований. Есть и еще один ракурс, под которым можно рассматривать содержание и цели экономико-математических исследований. Математические модели той или иной научной дисциплины и методы их анализа — это одно из важнейших средств развития самой научной дисциплины, один из важнейших источников информации о содержании изучаемых процессов. В физике эта точка зрения уже давно принята, и теоретическая физика, т. е. теория математических моделей физики, определяет не только основной прогресс физики как теоретической дисциплины, но и направление экспериментальных исследований. Этот, не столько прагматический или математический, сколько «физический» взгляд на содержание экономико-математических исследований не только вполне обоснован, но и необходим. Без него вряд ли можно представить себе стройную систему знаний, логически связанную систему моделей и перспективный, а не ретроспективный, как сейчас имеет место, анализ общих экономических тенденций. Такое направление исследования экономико-математических моделей можно было бы назвать «фундаментальным», чтобы подчеркнуть его отличие как от прикладных экономико-математических исследований, так и от чисто математических исследований, допускающих экономическую интерпретацию. Хотя это направление и не отгорожено «китайской стеной» от прикладных и математических исследований (так же как и теоретическая физика от технических наук), тем не менее главная его цель — построение принципов моделирования экономических объектов, создание фундамента, на котором будет построено здание адекватных и взаимно согласованных математических моделей экономических процессов, аналогичное зданию математических процессов физических явлений. Этой проблематике посвящены усилия ряда специалистов. В предлагаемой книге нашли свое отражение взгляды и концепции, которые развивались прежде всего в Вычислительном центре АН СССР и МФТИ, и которые были предметом ряда публикаций и лекционных курсов. В их основе лежат те общие подходы к описанию систем моделей, которые созданы физикой. В этом глубокий смысл, ибо физика — пока единственная наука, создавшая стройную систему математического описания изучаемых явлений и процессов, это школа математического моделирования. Но можно ли непосредственно переносить опыт физики в науки общественные? Вот здесь и начинаются основные трудности. В них необходимо разобраться, понять, что из опыта физики должно быть усвоено теорией экономических моделей, какие новые принципы должны быть внесены и т. д. Одним словом, физика должна выступать не как эталон, а как учитель; ученик должен, набравшись опыта, самостоятельно сделать шаги в новую и трудную область знания. Задача любой научной дисциплины — найти условия, ограничивающие возможности мыслимых или виртуальных явлений. Чем лучше мы знаем эти условия, тем наши прогнозы, наши оценки оказываются более точными. Первобытному человеку казались возможными любые процессы, любые явления. Но постепенно люди стали понимать, что не все мыслимое достижимо, что полет мысли и реальность — не одно и то же. Природа обладает принципами отбора реальных движений из числа мыслимых; задача науки — вскрыть эти принципы. Уже учеными античного мира разделялись эти взгляды. Аристотель в своей «Физике» писал о том, что как бы ни происходило движение, всегда некоторые величины должны сохранять свое постоянное значение. Другими словами, Аристотель понимал, что в пространстве параметров реальные движения могут происходить только в некоторых гиперплоскостях. Так зарождалось представление о законах сохранения. Открытие этих законов состоялось гораздо позднее. Они вошли в науку и легли в основу физических моделей. Это простейшие и наиболее фундаментальные принципы отбора: природа не знает случаев, когда бы нарушались законы сохранения. Но это не единственные принципы отбора, которые известны в физике. Второй закон термодинамики, принцип минимума диссипации энергии, принцип устойчивости и многие другие законы сужают множество возможных явлений. Они хорошо известны в современной физике. Эти принципы отбора, которые лежат в основе любого формализованного (т. е. на основе математических моделей) описания физических процессов, превращают систему моделей физики в стройную конструкцию. Помимо огромного практического значения такая структуризация имеет и большое философское, гносеологическое значение. Благодаря ей процессы, протекающие в неживой природе, предстают перед нами в диалектическом единстве двух противоречивых тенденций. Во-первых, непрерывно происходит разрушение организации материи — рост энтропии. Во-вторых, среди всех мыслимых процессов реально возможны лишь те, в которых эта организация сохраняется наилучшим образом. При переходе к описанию процессов, протекающих в живой материи, ситуация осложняется качественно. Прежде всего, все те принципы отбора, те законы, которые действуют в неживой природе, сохраняют свою силу и на биологическом уровне организации материи. Этот факт отнюдь не сразу стал достоянием человеческих знаний; наука поняла его относительно недавно. Всего лишь 40 лет назад законы физикохимии сделались также и законами биологии. Но для того, чтобы описать функционирование живой материи, этих законов недостаточно. Для описания функционирования живого организма необходимо учитывать существование обратных связей и потоков информации. Изучение этих обратных связей приводит к понятию функции поведения как такой реакции организма, которая стремится сохранить гомеостазис. Эти функции поведения, другими словами, обратные связи, реализуют некоторый аналог принципа Ле Шателье в физике, с той только разницей, что последний выводился из принципа устойчивости. Наиболее характерной особенностью многих процессов биологического уровня являются процессы обмена вещества и энергии. Построение моделей этих процессов основывается на соответствующих законах сохранения (например, при описании трофических связей — кто кого ест) и функциях поведения. Вместе они позволяют дать замкнутое математическое описание исследуемого процесса. Таким образом, в окончательной форме математическая модель популяции, например, не содержит описания информационных процессов. Они остаются как бы за кадром, функции поведения являются, по существу, их параметризацией, т. е. приближенным представлением сложных процессов относительно простой функциональной зависимостью. Переход к проблемам описания процессов, происходящих на следующем уровне организации материи, к процессам, происходящим с участием человека и человеческого общества, ставит нас перед новыми трудностями. Человека создал труд, трудовая деятельность, значит, подобно тому как при описании функционирования сообществ живых существ главное внимание мы должны были обратить на анализ трофических связей, так при описании процессов, происходящих в человеческом обществе, главным является описание трудовой, производственной деятельности. Производственные связи и свойственная им технология определяют основные потоки вещества и энергии, поэтому законы сохранения должны выражаться прежде всего через параметры производственных процессов, иметь форму балансов — материальных, денежных и т. д. Для получения замкнутой модели биологических сообществ необходимо иметь, как это было сказано выше, функции поведения. В каждом конкретном случае построение этих функций поведения может оказаться достаточно сложным, тем не менее эти сложности не носят принципиального, гносеологического характера. Исследователь, занимающийся построением биологического сообщества, может сформулировать определенную систему требований к эксперименту. Эксперимент может быть труден, но он возможен, во всяком случае, более или менее ясны принципы, связывающие причины и следствия. Совсем иного рода объект — человеческое общество. Здесь вообще вызывает сомнение сама возможность замены процессов переработки информации параметрическим представлением через функции поведения. Нет просто формулируемого принципа подобного принципу гомеостазиса в биологии. Кроме того, есть еще одно обстоятельство, качественно усложняющее проблемы построения модели. Человек — это не просто индивид, отдельный самостоятельный организм, он член целой иерархической системы коллективов: семьи, производственного коллектива, национальной группы, класса, государства и т. д. Эти общности не только обладают собственными целями, отличными от целей других общностей, но и возможностями их достижения. Общности, связанные с производственной деятельностью, породили классы, противоречия между которыми в свою очередь определили основную канву исторического процесса. Поведение человека — это результат противоборства сложных противоречивых стремлений, объективно существующих в своем диалектическом единстве. Научиться описывать всю эту сложность отношений и есть основная задача той науки, которая должна играть роль, аналогичную роли теоретической физики в анализе физических явлений, и которую можно было бы назвать «фундаментальной теорией экономико-математических моделей». Это — наука о системе математических моделей процессов общественного развития, в основе которых лежат процессы производственные. Эта постепенно возникающая дисциплина не идет на смену чему-либо. Подобно тому как теоретическая физика является частью физики, поставляя ей необходимый аппарат исследования и формируя синтетические конструкции, теория математических моделей процессов, протекающих в обществе, является частью экономической науки, базируется на принципах марксистской политэкономии и социологии и должна стать естественным развитием существующих экономико-математических методов. Как часть экономической науки, она должна помочь привести в единую схему всю ее формализуемую основу. Предлагаемая книга является введением в теорию экономических моделей, но именно введением. Данная книга является достаточно элементарным учебным пособием. Наука еще только начинает искать пути для формального описания тех особенностей процессов общественного развития, которые не вкладываются в законы сохранения, но без анализа которых возможности экономической науки остаются очень ограниченными. С первых страниц книги авторы стараются показать читателю, что построение экономических моделей — .это сложная научная проблема и что речь должна идти не о перечне отдельных частных моделей или задач, а об изложении методологии математического моделирования, постепенного раскрытия все усложняющейся системы. Вот этот «физический» или «системный» настрой книги является ее главным достоинством. Авторы начинают книгу с обсуждения понятия «модель» и изложения принципов формализованного описания. Можно вводить различные классификации модели, описывать типы моделей, в зависимости от используемых средств моделирования и т. д., но есть одно обстоятельство, которое лежит в основе любого процесса познания: мы можем оперировать только с моделями, изучать только модели, независимо от того, какой язык мы используем — русский, французский или язык математики. Наши знания всегда относительны, всегда являются отражением тех или иных черт реальной действительности, всегда являются ее моделью. Математические модели — это лишь специальная форма модельного, приближенного описания, использующая язык математики. Это четко сформулировано в самом начале книги. Несмотря на то, что слово «модель» уже вошло в обиход, его толкование отнюдь не однозначно, и читатель должен с самого начала понимать, о чем говорят авторы. Начиная со второй главы, авторы постепенно раскрывают содержание простейших моделей, и, как правило, они не выходят за рамки законов сохранения. Иногда мне кажется, что авторы даже и «переупрощают». Описывая производственные функции, например, они почти не говорят о том, что в них сконцентрирована огромная информация не только собственно о производственных процессах, но и о структуре производственных отношений, о системе управления и т. д. Значительное место в книге занимает материал, традиционный для экономико-математических исследований, — модели сетевого планирования, отраслевые модели и т. д., но иного и быть не может. Построение и исследование моделей такого рода проводятся в многочисленных организациях, как, например, НИЭИ при Госплане СССР, ИЭОПП АН СССР, ЦЭМИ АН СССР, ИПУ, ИК АН УССР и др., так и в уже упоминавшихся ВЦ АН СССР и МФТИ. Последняя глава посвящена проблемам использования экономических моделей в режиме имитации. Это совсем новые вопросы, по традиции еще обычно не включаемые в экономико-математические методы. В то же время кажется, что проблема такой сложности, как анализ вариантов раз* вития экономики, требует применения имитационных систем, поэтому включение главы, посвященной этим методам, в учебник по теории моделирования следует считать весьма своевременным. Можно надеяться, что книга окажется полезной широкому кругу читателей, занимающихся использованием электронной вычислительной техники в экономическом анализе и проблемах управления народным хозяйством. В обсуждении книги принимал участие И. А. Ватель, который предполагался быть одним из ее авторов. Тяжелая болезнь и безвременная кончина помешали ему принять участие в работе. Тем не менее многие мысли И. А. Вателя нашли отражение в этой книге. Чл.-корр. АН СССР H. Н. Моисеев, 1979 г. ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
Всеобщий интерес к вопросам применения математики при исследовании экономических систем вызвал потребность в экономико-математической литературе, рассчитанной на читателей с различным уровнем математического и экономического образования. Среди лиц, интересующихся проблемами математической экономики, большую группу составляют специалисты с высшим техническим образованием и студенты технических вузов, которые хотели бы получить первое, но достаточно широкое представление об основных направлениях использования математических методов и моделей при принятии экономических решений. Учебники по математической экономике, предназначенные для математиков или экономистов, не подходят для этой цели, поскольку требуют предварительной подготовки и направлены на подготовку специалистов в соответствующих областях науки. Предлагаемая книга предназначена для всех, кто интересуется математической экономикой, знаком с основными понятиями математического анализа, линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений и теории вероятностей и хочет получить общее представление о применении математических моделей в экономических исследованиях. Книга в первую очередь предназначена для факультетов переподготовки, где инженеры изучают современные методы управления, но может быть использована и в качестве учебного пособия при обучении студентов технических вузов. Обычно в учебниках по математической экономике параллельно излагаются как типы построения экономико-Математических моделей, так и методы анализа этих моделей, причем основной упор делается на методы анализа. В данной книге авторы решили не излагать методов математического программирования, являющегося сейчас основ- ным прикладным методом анализа экономико-математических моделей. Вопросам математического программирования посвящена выходящая одновременно с этой книга: Моисеев H. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М. «Методы оптимизации», которая и рекомендуется читателю. Впрочем, как надеются авторы, книга может быть прочитана читателем, не знакомым с методами математического программирования, если он поверит утверждениям авторов о наличии соответствующих алгоритмов для решения сформулированных ими задач. В то же время авторы решили описать в книге некоторые методы анализа экономико-математических моделей, еще не получившие достаточного освещения в литературе. В частности, отдельная глава посвящена имитационным экспериментам. В целом структура книги такова: в первой главе излагаются основные принципы построения моделей экономических процессов, основные этапы проведения исследования экономических процессов с помощью математических моделей, а также основные направления исследования экономико-математических моделей. Следующие пять глав посвящены описанию моделей различного типа, используемых в настоящее время в практических исследованиях. В последней главе излагаются основные понятия имитационного исследования. Хочется предупредить читателя, что авторы не вводили в книге единой системы математических обозначений, а старались использовать те обозначения, которые приняты в соответствующих областях экономико-математических исследований. В связи с этим одни и те же буквы в разных главах (а иногда и в разных параграфах одной главы) используются для обозначений различных экономических показателей. При написании отдельных глав помощь оказали H. Е. Егорова и Г. Б. Рубальский, которым авторы выражают глубокую признательность. О. П. Иванилов, Л. Б. Лотов ВВЕДЕНИЕ
Техническая революция, связанная с изобретением электронной вычислительной машины, оказывает все большее влияние на все стороны человеческой деятельности. Особенность этой революции состоит в создании качественно новых и неизмеримо более эффективных методов переработки информации. Поскольку любая человеческая деятельность связана с переработкой и использованием информации, начавшийся процесс становления «машинных методов» — начало важного этапа развития человечества, в результате которого изменится вся технологическая (а следовательно, и не только технологическая) основа человеческого существования. Сфера экономики, для которой количественные оценки являются неизбежной принадлежностью, оказалась первой вовлеченной в этот процесс. На первый взгляд, использование ЭВМ в экономических расчетах не вносит принципиальных изменений в методы экономического планирования: просто экономисты, привыкшие считать и оперировать числами, получили более производительный арифмометр. Традиционные расчеты, занимавшие раньше многие часы, с применением новой техники стали осуществляться за секунды. Однако, как оказалось, изменение скорости счета на несколько порядков позволяет решить задачи, которые раньше принципиально не могли быть решены. Так, например, экономист, решая задачу о распределении ресурсов, из всего множества возможных вариантов мог провести анализ лишь некоторых, которые на основании его опыта казались ему удовлетворительными. Вычислительная машина позволила сравнивать теперь все возможные варианты плана распределения ресурсов и, следовательно, находить самый хороший (оптимальный). При ничтожных затратах на расчеты удается найти решение, которое экономит многие миллионы по сравнению с решением, найденным традиционным методом. Крайне важен также тот факт, что ЭВМ находит решение за считанные часы, тогда как раньше для его нахождения могли бы потребоваться годы. Важно отметить, что эффект от применения экономико-математических методов существенно зависит от объема решаемых задач. Если речь идет о решении отдельных задач планирования, то эффект редко достигает 10%. Так, например, реализованное с помощью математических методов решение задачи о перевозке угля будет экономнее обычного на 5—7%. Оптимальный путь плавания корабля будет короче того, который рассчитает штурман, пользуясь традиционными приемами, на 3—4% и т. д. (Заметим, что это совсем немало и с лихвой окупает затраты на вычислительную технику.) Использование новых методов управления предприятием дает эффект, как правило, не меньше 10%, а их использование в масштабе отрасли дает эффект порядка десятков процентов. Можно думать, что комплексное использование вычислительной техники может дать удвоение темпов развития экономики страны. Применение количественных (математических) методов в экономике имеет богатую историю. Можно даже сказать, что оно началось почти одновременно с появлением математического анализа. В 1758 г. лейб-медик короля Людовика XV доктор Франсуа Кенэ (1694—1774 гг.) опубликовал работу «Экономическая таблица», в которой сделал попытку количественно описать национальную экономику. Качественный скачок в применении математики для экономических исследований связан с именем Карла Маркса. Его модель расширенного капиталистического производства дала возможность объяснить законы развития капиталистического общества. Вопросы практического применения количественных методов планирования в масштабах государства стали на повестку дня в первые годы Советской власти, поскольку национализация большей части экономической системы страны привела к необходимости планирования, увязки потребностей и ресурсов в масштабе страны, координации деятельности смежных отраслей, определения основных пропорций народного хозяйства. Первые попытки анализа такого рода были предприняты в начале двадцатых годов: был составлен баланс народного хозяйства СССР за 1923/1924 хозяйственный год. Далее методы планирования продолжали совершенствоваться, но только распространение вычислительной техники в конце пятидесятых годов позволило сделать плановые многовариантные расчеты достаточно распространенными. Идеи принятия наилучшего (оптимального) решения на основе машинного анализа экономико-математических моделей проникают во все разделы экономики. Язык оптимизации постепенно становится обычным для экономистов. Зарождаются идеи использовать оптимизационный подход для общегосударственного планирования и решения таких важных вопросов, как построение системы цен и т. д. Именно в эти годы получают большое развитие некоторые разделы математики, связанные с решением задач оптимизации: линейное и нелинейное программирование, теория оптимального управления, динамическое программирование и т. д. В конце шестидесятых годов методы оптимизации становятся одним из важнейших практических средств анализа экономических проблем. Фронт работ по применению электронной вычислительной техники в экономике стремительно расширяется, охватывая как чисто теоретические, так и прикладные задачи. Одновременно наступает известная переоценка ценностей: идеи оптимизации оказались не столь всеобъемлющими, какими представлялись сначала. Прежде всего выяснилось, что представление о том, «что такое хорошо, и что такое плохо», не так просто, для его анализа нужны глубокие исследования. Далее, даже если критерий оптимальности и сформулирован, то нахождение оптимального плана само по себе не решает все вопросы. Любой план, в том числе и оптимальный, для своей реализации требует хорошей организации структуры управления. Потери из-за плохо организованного управления могут во много раз превышать потери от неоптимальности плана: разнообразные случайные обстоятельства, учесть которые заранее невозможно в принципе, могут привести к существенному отклонению результата от плана. Таким образом, современный этап развития методов, основанных на использовании ЭВМ для анализа математических моделей экономических объектов, характеризуется определенным уровнем зрелости. Отдельные идеи заняли соответствующее место в системе методов исследования, стали ясны области их наиболее целесообразного использования. Каждый год появляются новые исследования, расширяющие круг работ, связанных с разработкой новых методов планирования и управления экономическими системами. В предлагаемой книге авторы не пытались охватить все многообразие проблем, возникающих при применении математических методов в экономических исследованиях. Почти не затрагивается вопрос об основных экономических закономерностях. Цель книги значительно уже — дать читателю представление о некоторых наиболее распространенных (или наиболее перспективных) экономико-математических моделях и постановках задач на основе этих моделей. В связи с таким направлением книги мы не станем уделять особого внимания ни методам сбора, обработки и анализа исходной информации, используемой в математических моделях, ни методам решения задач, формулируемых на основе этих моделей. Относительно исходной информации мы будем лишь называть ее возможные источники и основные способы обработки. Методы решения задач (в основном оптимизационные) мы также будем лишь указывать, полагая, что заинтересованный читатель сам сможет разобраться в них при помощи большого числа книг, посвященных этой теме. Единственное исключение составляют имитационные методы, которым авторы посвятили отдельную главу книги. Это связано с тем, что имитационные методы исследования экономических (и не только экономических) проблем не получили еще должного освещения в литературе. Во избежание недоразумений необходимо подчеркнуть, что авторы не пытались рассмотреть в книге все типы существующих экономико-математических моделей. В книгу включены в основном модели прогнозирования и планирования производства, поскольку они в настоящее время разработаны в достаточной степени и используются на практике. Модели функционирования экономических систем, применяемые пока в теоретических исследованиях (в том числе и обычно включаемые в учебники по математической экономике модели экономического равновесия), в книге отражены в значительно меньшей степени.
Об авторах
 Иванилов Юрий Павлович Советский и российский ученый-математик и педагог, известный прежде всего своими достижениями в области математической экономики. Доктор физико-математических наук, профессор. Декан факультета управления и прикладной математики МФТИ (до 1979 г.), заведующий отделом Вычислительного центра Российской академии наук (ВЦ РАН). Окончил механико-математический факультет Ростовского государственного университета и аспирантуру Математического института имени В. А. Стеклова РАН. Работал в МФТИ, ВЦ АН СССР (после 1991 г. — ВЦ РАН), Центральном экономико-математическом институте РАН. За время работы Ю. П. Иванилов подготовил (сам и с соавторами) четыре учебных пособия по нескольким учебным курсам.
 Лотов Александр Владимирович Доктор физко-математических наук, профессор. Лауреат премии Эджворта-Парето Международного общества по принятию решений при нескольких критериях (2000). Окончил факультет аэрофизики и прикладной математики МФТИ (1969), аспирантуру МФТИ (1972). Работает в ВЦ РАН с 1972 г.; главный научный сотрудник. Преподавал в МФТИ в 1975–1991 гг. (ассистент, затем доцент), в МГУ имени М. В. Ломоносова в 1995–2013 гг. (профессор с 2002 г.), в НИУ ВШЭ в 2003–2006 гг. (профессор).
А. В. Лотов предложил новый подход к поддержке принятия решений при многих критериях, основанный на аппроксимации и визуализации многомерной границы Парето, разработал его математические и алгоритмические основы и реализовал подход на практике для поиска эффективных решений экономических, экологических, технических и биомедицинских проблем. Он также разработал метод аппроксимации множеств достижимости динамических систем и предложил оценку возмущения множества решений системы линейных равенств и неравенств в банаховом пространстве. Проводил научные семинары во многих университетах за рубежом, в том числе в Гарвардском, Корнельском и Йельском. Читал курсы лекций в США, Германии и Италии. Руководил совместными научными проектами с зарубежными исследователями. Подготовил 7 кандидатов наук. Автор более 150 научных работ, в том числе 8 книг. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||