Обложка Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля: Гравитация
Id: 277664
425 руб.

Современные методы теории поля:
Гравитация Т.5. Изд. стереотип.

Белая офсетная бумага

Аннотация

Настоящая книга, завершающая курс современных методов теории поля, посвящена математической формулировке теории гравитации, включая ОТО, как составной части общей классической теории поля, исчерпывающе описываемой геометрическими методами. В работе представлены калибровочная теория гравитации, аффинно-метрическая теория, теория гравитации с кручением, теория спинорных полей, многомерная теория, теория супергравитации и аффинная калибровочная ...(Подробнее)теория. Книга также содержит исторический обзор ньютоновского и эйнштейновского этапов теории гравитации и современной ("постэйнштейновской") калибровочной теории гравитации.

Книга адресована математикам, механикам, физикам --- научным работникам, преподавателям, аспирантам и студентам.


Содержание
Введение
Глава 1. Геометрия
 § 1. Натуральные расслоения
 § 2. Общая линейная связность
 § 3. Редуцированная лоренцевская структура
 § 4. Пространственно-временная структура
 § 5. Топология пространства-времени
 § 6. Сингулярности
Глава 2. Гравитация
 § 1. Аффинно-метрическая гравитация
 § 2. Закон сохранения энергии-импульса
 § 3. Общая теория относительности
 § 4. Электромагнитное и калибровочные поля
Глава 3. Спинорные поля
 § 1. Алгебра дираковских спиноров
 § 2. Геометрия дираковских спиноров
 § 3. Ковариантная спинорная структура
 § 4. Спиноры в аффинно-метрической гравитации
Глава 4. Обобщения
 § 1. Многомерная гравитация
 § 2. Супергравитация
 § 3. Аффинная калибровочная теория
Глава 5. История
 § 1. Ньютоновская теория
 § 2. Эйнштейновская ОТО
 § 3. Калибровочная теория гравитации
Приложение
 § 1. Расслоения
 § 2. Векторные расслоения
 § 3. Слоения
 § 4. Аффинные расслоения
 § 5. Многообразия струй
 § 6. Связности
 § 7. Композиционные расслоения
 § 8. Главные и ассоциированные расслоения
 § 9. Редуцируемые расслоения
Литература
Предметный указатель

Введение

В настоящее время существует множество разнообразных теорий гравитации, одинаково успешно описывающих все имеющиеся эмпирические данные и наблюдения. К ним надо прибавить уже совсем гипотетические модели квантовой гравитации и "великого объединения" гравитации и других фундаментальных взаимодействий. Все они постоянно сменяют друг друга, но не проясняют такие проблемы, как "темная" материя, аномалия "Пионеров", гравитационные волны. Остается неизмеримым третье постньютоновское приближение, не известна толком и физика звезд, даже нашего Солнца: проблема солнечных нейтрино не решена. Поэтому мы здесь не рассматриваем модели.

Эта книга -- последняя, пятая часть курса "Современные методы теории поля". Она посвящена математической формулировке классической теории гравитации как составной части общей классической теории поля, исчерпывающе описываемой в геометрическом формализме расслоенных пространств, когда классические поля представляются сечениями расслоений.

Сформулированная А.Эйнштейном и М.Гроссманом в 1912--1915 гг. теория гравитации была первой и долгое время единственной геометрической полевой теорией. При всех трудностях и проблемах она наряду с другими моделями успешно описывает классическое гравитационное поле как псевдориманову метрику. К математической формулировке теории гравитации вернулись в 50-е гг. прошлого века с развитием теории калибровочных полей.

Предложенная Ч.Янгом и Р.Миллсом в 1954 г. и развитая Р.Утиямой в 1956 г. теория калибровочных полей внутренних симметрий (будем называть ее теорией Янга--Миллса), дополненная хиггсовским механизмом спонтанного нарушения симметрий, стала сейчас общепризнанной моделью электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий и их объединения. Математически классическая калибровочная теория Янга--Миллса формулируется как теория поля на расслоениях со структурной группой, где калибровочные поля представляются связностями на главных расслоениях.

Немедленно встал вопрос о присоединении гравитации к этой универсальной калибровочной картине фундаментальных взаимодействий. Уже в 1956 г. Р.Утияма выдвинул первую калибровочную модель гравитации. Однако построение калибровочной теории гравитации столкнулось с той трудностью, что гравитационное поле в эйнштейновской ОТО представляется псевдоримановой метрикой, а не связностью, как калибровочные поля. Решение этой проблемы лежит в рамках общей формулировки классической теории поля на языке расслоений.

Калибровочными симметриями эйнштейновской ОТО являются общие ковариантные преобразования, характеризующие так называемые натуральные расслоения (natural bundles), и она формулируется на языке касательного, кокасательного и тензорных расслоений, являющихся примером натуральных расслоений. Поэтому классическая теория гравитации, включающая эйнштейновскую ОТО, строится как теория поля в категории натуральных расслоений над ориентируемым 4-мерным многообразием X, называемым мировым многообразием (world manifold). Это аффинно-метрическая теория гравитации, где динамическими переменными являются линейная связность Г и псевдориманова метрика g на X. Первая аналогична калибровочному полю в калибровочной теории Янга--Миллса, а псевдориманова метрика g отождествляется с гравитационным полем в эйнштейновской ОТО.

Ключевым элементом такой формулировки теории гравитации является нарушение пространственно-временных симметрий до группы Лоренца. Оно обусловлено принципом эквивалентности и наличием дираковских спинорных полей с группой симметрий Лоренца. Математически это выражается условием редукции структурной группы касательного расслоения над мировым многообразием X к группе Лоренца, что в силу известных теорем обуславливает существование псевдоримановой метрики g (т.е. гравитационного поля) на X. В такой трактовке гравитационное поле по своей физической природе является хиггсовским полем, причем макроскопическим, в отличие от хиггсовских полей в объединенных калибровочных моделях электрослабого и сильного взаимодействий. Редукция структурной группы касательного расслоения к группе Лоренца, в свою очередь, согласно вышеупомянутым теоремам, с необходимостью предполагает ее редукцию к группе пространственных вращений SO(3), в результате чего мировое многообразие X наделяется ассоциированной с гравитационным полем пространственно-временной структурой.

Будучи построенной в рамках классической теории поля на расслоениях, аффинно-метрическая теория гравитации включает в себя эйнштейновскую теорию метрического гравитационного поля. В паре (g, Г) псевдоримановой метрики g и линейной связности Г последняя представляется суммой символов Кристоффеля метрики g, тензора конторсии, выраженного через антисимметричную часть (тензор кручения) Г, и тензор неметричности. Физическим источником метрического гравитационного поля, как и в ОТО, является метрический тензор энергии-импульса, а кручения и неметричности -- соответственно спиновый ток и гипотетический гиперзаряд. Лагранжианы аффинно-метрической теории гравитации инвариантны относительно общековариантных преобразований. Инфинитезимальным генератором локальных однопараметрических групп этих преобразований является так называемое функториальное поднятие (морфизм алгебры Ли) векторных полей на X на расслоение над X. Это калибровочные преобразования, параметрами которых служат векторные поля на X. Инвариантность относительно общековариантных преобразований приводит к закону сохранения тока энергии-импульса, который согласно общей теореме о калибровочной инвариантности выражается через суперпотенциал.

Помимо гравитационного, известны всего два классических поля: электромагнитное поле и дираковские спинорные поля. В формализме расслоений дается геометрическое описание этих полей совместно с гравитационным полем. В частности, мы получаем, что электромагнитное поле не взаимодействует с полем кручения и не порождает его, как многими предполагалось. Что касается дираковского спинорного поля, то, с физической точки зрения, именно оно обуславливает нарушение пространственно-временных симметрий, что приводит к существованию гравитационного поля как хиггсовского. Поэтому возникают проблемы описания дираковского спинорного поля в разных гравитационных полях, в случае общей линейной связности и под действием общековариантных преобразований.

В книге приведены математические основы двух наиболее активно развиваемых обобщений теории гравитации: многомерной гравитации и супергравитации. Еще одно рассматриваемое нами обобщение гравитации -- это калибровочная теория на расслоениях с аффинной связностью как своего рода ответ на многолетние и многочисленные попытки описания гравитации в качестве калибровочного поля группы трансляций.

Мы не рассматриваем квантовую гравитацию. Будучи хиггсовским, метрическое гравитационное поле является, по-видимому, принципиально классическим. Обуславливаемое им нарушение симметрии выражается в том, что в разных псевдоримановых метриках представления ковекторов dxmu матрицами Дирака gammaa не изоморфны, и такое представление не определено при рассмотрении суперпозиции метрических гравитационных полей, т.е. не выполняется квантовый принцип суперпозиции.

Чтобы познакомить читателя с общей проблематикой теории гравитации, которая является подоплёкой излагаемой здесь ее математической формулировки, в книгу включены эссе по истории эйнштейновской ОТО и калибровочной теории гравитации (глава 5).

Будучи частью серии "Современные методы теории поля", данная книга использует математический аппарат расслоений, изложенный в первом томе "Геометрия и классические поля". Однако для удобства читателя представляется целесообразным суммировать в Приложении необходимый математический материал из теории расслоенных пространств в форме, специально адаптированной к формулировке теории гравитации.


Об авторе
Сарданашвили Геннадий Александрович
Советский и российский физик-теоретик, доктор физико-математических наук. На протяжении многих лет работал на кафедре теоретической физики физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова (последняя должность — ведущий научный сотрудник). Область научных исследований: геометрические методы теории поля, классической и квантовой механики; теория калибровочных полей; теория гравитации. Автор более 350 научных работ, в том числе 25 книг.