Колоколов И.В., Кузнецов Е.А., Мильштейн А.И., Подивилов Е.В., Черных А.И., Шапиро Д.А., Шапиро Е.Г. Задачи по математическим методам физики Изд. 6, испр.

2025. 352 с.

Белая офсетная бумага

Аннотация

Предлагаемый сборник задач — результат 15-летнего опыта преподавания по новой методике математических методов физики на физическом факультете Новосибирского государственного университета. Сборник включает в себя более 350 задач по уравнениям в частных производных, специальным функциям, асимптотическим методам, методу функций Грина, интегральным уравнениям, теории конечных групп, групп Ли и их применениям в физике.

Книга рекомендована... (Подробнее)

Содержание

Предисловие к первому изданию				6
Глава 1. Линейные операторы				8
1.1. Конечномерное пространство				8
1.2. Функционалы и обобщенные функции				11
1.3. Гильбертово пространство и полнота				12
1.4. Самосопряженные операторы				14
1.5. Кет- и бра-векторы				17
1.6. Примеры				18
1.7. Задачи				29
1.8. Ответы				34
Глава 2. Метод характеристик				37
2.1. Однородные и неоднородные линейные уравнения в частных производных				37
2.2. Квазилинейные уравнения в частных производных				40
2.3. Системы уравнений в частных производных				42
2.4. Примеры				46
2.5. Задачи				67
2.6. Ответы				68
Глава 3. Линейные уравнения в частных производных второго порядка				69
3.1. Канонический вид				69
3.2. Криволинейные системы координат				71
3.3. Разделение переменных				72
3.4. Простейшие уравнения, решаемые методом Фурье				73
3.5. Примеры				74
3.6. Задачи				100
3.7. Ответы				102
Глава 4. Автомодельность и нелинейные уравнения в частных производных				106
4.1. Автомодельность				106
4.2. Нелинейные уравнения в частных производных				106
4.3. Примеры				108
4.4. Задачи				132
4.5. Ответы				133
Глава 5. Специальные функции				134
5.1. Особые точки				134
5.2. Гипергеометрические функции				137
5.3. Ортогональные полиномы				138
5.4. Примеры				140
5.5. Задачи				172
5.6. Ответы				173
Глава 6. Асимптотические методы				177
6.1. Асимптотические ряды				177
6.2. Интеграл Лапласа				179
6.3. Метод стационарной фазы				179
6.4. Метод перевала				180
6.5. Метод усреднения				184
6.6. Примеры				186
6.7. Задачи				194
6.8. Ответы				198
Глава 7. Метод функций Грина				202
7.1. Функции Грина				202
7.2. Непрерывный спектр				208
7.3. Резольвента				211
7.4. Примеры				213
7.5. Задачи				238
7.6. Ответы				242
Глава 8. Интегральные уравнения				247
8.1. Уравнения Фредгольма				247
8.2. Вырожденные ядра				249
8.3. Теорема Гильберта—Шмидта				251
8.4. Обратная задача для оператора Шрёдингера				254
8.4.1. Прямая задача рассеяния				254
8.4.2. Уравнение Гельфанда—Левитана—Марченко				256
8.5. Примеры				260
8.6. Задачи				270
8.7. Ответы				276
Глава 9. Группы и представления				280
9.1. Группы				280
9.2. Представления				281
9.3. Примеры				284
9.4. Задачи				289
9.5. Ответы				292
Глава 10. Непрерывные группы				294
10.1. Группы и алгебры Ли				294
10.2. Представления группы вращений				295
10.3. Примеры				300
10.4. Задачи				310
10.5. Ответы				313
Глава 11. Применения теории групп в физике				316
11.1. Гармонические колебания молекул				316
11.2. Расщепление уровней				321
11.3. Правила отбора				323
11.4. Примеры				326
11.5. Задачи				338
11.6. Ответы				338
Сводка формул по специальным функциям				339
П.1. Г-функция Эйлера				339
П.2. Гипергеометрические функции				339
П.21. Гипергеометрическая функция Гаусса 2 F1				339
П.22. Вырожденная гипергеометрическая функция 1 F1				340
П.3. Цилиндрические функции				340
П.31. Функции Бесселя J и Неймана Y				340
П.32. Функции Бесселя целого порядка Jn				342
П.33. Модифицированная функция Бесселя I и функция Макдональда K				342
П.4. Ортогональные полиномы				343
П.41. Полиномы Лежандра Pl и присоединенные функции Лежандра Plm				343
П.42. Полиномы Эрмита Hn				345
П.43. Полиномы Лагерра Ln				346
Литература				348

Об авторах

Колоколов Игорь Валентинович

Директор Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН. Доктор физико-математических наук, профессор. Заведующий базовой кафедрой теоретической физики ИТФ им. Л. Д. Ландау, главный научный сотрудник Международной лаборатории физики конденсированного состояния НИУ ВШЭ. Специалист в области статистической гидродинамики, физики магнитных явлений и сред с беспорядком.

Кузнецов Евгений Александрович

Академик РАН. Руководитель научного совета РАН «Нелинейная динамика», главный научный сотрудник лаборатории математической физики в Физическом институте им. П. Н. Лебедева РАН. Лауреат Премии РАН имени Л. И. Мандельштама.

Мильштейн Александр Ильич

Доктор физико-математических наук, профессор. Заведующий теоретическим отделом Института ядерной физики им. Г. И. Будкера СО РАН. Специалист в области физики элементарных частиц, атомной физики и квантовой механики.

Подивилов Евгений Вадимович

Доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник Института автоматики и электрометрии Сибирского отделения РАН. Область научных интересов: теоретическая физика, оптика, гидродинамика.

Черных Александр Иванович

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики физического факультета Новосибирского государственного университета.

Шапиро Давид Абрамович

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики физического факультета Новосибирского государственного университета.

Шапиро Елена Геннадьевна