Мусин Ю.Р. ВЕКТОРЫ, ТЕНЗОРЫ, СПИНОРЫ, ТВИСТОРЫ, ДЖЕНОРЫ…:
Поиск первичного геометрического элемента

Содержание

Введение

Геометрия как математическая наука возникла, как видно даже из ее названия, из проблемы измерения. Но ведь измерение — это физическая задача. Перевод чисто визуальных образов, используемых в первоначальных геометрических построениях на плоскости (точки, прямые линии, криволинейные фигуры), в числовые наборы — далеко не тривиальная задача.

* Аксиомы Евклида не опираются явно на понятие числа:

* От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

* Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

* Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг.

Все прямые углы равны между собой.

Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Основные понятия этой аксиоматики: точка, прямая, окружность, движение, а также отношения типа: «точка лежит на прямой на плоскости», «точка лежит между двумя другими». Для получения чисел, нужных древним физикам-землемерам был необходим эталон длины, которому сопоставлялось число — столько-то локтей (локоть варьировался в зависимости от полиса). Использовались и дробные части локтя, то есть на математическом языке это означало, что числа понимались как элементы рационального поля . Вообще, все измерения не только в геометрии, но и всюду, где используются физические приборы, и в древности, и сегодня используют только рациональные числа. Поэтому иногда из уст физиков, занимающихся экспериментами, можно услышать сентенции, что никаких других обобщений чисел («выдуманных математиками») им и не нужно. Мы покажем, что эта прагматичная точка зрения является чрезвычайно узкой и методически ошибочной. В конечном итоге физический эксперимент отвечает только на те вопросы, которые ставит теория, а последняя сегодня уже не может быть построена над полем рациональных чисел.

С развитием физической теории неочевидной становится и привычная точка зрения, навеянная евклидовой аксиоматикой, что первичными и бесструктурными элементами геометрической картины Мира являются точки (ведь все геометрические объекты в ней рассматриваются состоящими из точек). В настоящий момент успешно развиваются геометрические теории, в которых точки имеют внутреннюю структуру, либо вообще возникают как вторичный элемент. Какова же сегодня общепринятая геометрическая модель Мира и какие математические конструкции она использует? Какие новые геометрические теории возникли в рамках современной физики? Что первично среди вводимых геометрических образов, а что может быть из них построено?

Эти вопросы обсуждаются в данной книге хотя и на научно-популярном уровне, но полное понимание всех аспектов затрагиваемой проблемы требует базовой подготовки в объеме стандартного курса математики для студентов-физиков. Для того чтобы сделать большую часть книги доступной и для менее подготовленной аудитории, в первых главах мы рассмотрим эволюцию понятия числа в математике. Этот материал, стандартный для будущих математиков, обычно не излагается физикам и будет небесполезен и для более широкой аудитории. Краткий курс векторной и тензорной алгебры приводится для той категории читателей, которые еще не успели его пройти в институте или уже успели подзабыть. Понятия спинорной алгебры хорошо знакомы всем изучавшим релятивистскую квантовую теорию, но практически неизвестны всем остальным за пределами этого профессионального сообщества. Основные понятия теории твисторов Пенроуза, развивающего спинорный подход в геометрическом направлении известны еще менее. И, наконец, понятие дженора, введенное В. И. Малым буквально «на днях» (2014 г.), будет интересно даже специалистам. Поиск геометрии, лежащей в основе Мироздания, не может быть полон без обзора (пусть даже и поверхностного) современных попыток рассмотрения строения пространства и времени на предельно малых («планковских») масштабах. Этому посвящена последняя глава книги.

Каждая глава разбита на три части, с постепенным нарастанием уровня сложности. Предполагается что первые части доступны любознательным школьникам и гуманитариям, вторые — студентам-первокурсникам естественнонаучных направлений, третьи — читателям, имеющим базовую университетскую подготовку по физике и математике. Для облегчения чтения (но не понимания!) книги читателями начального уровня приводится краткий словарик используемых физико-математических терминов. Предметный указатель позволяет быстро найти упоминаемые в тексте понятия и определения. Список литературы содержит только книги, наиболее доступные для первоначального знакомства с предметом и позволяющие получить расширенное представление о нем.

Целью данной работы является донесение до широкой аудитории новой парадигмы о базовых элементах, образующих геометрию нашего Мира, и о попытках выйти за ее пределы.

Об авторе

Мусин Юрат Рашитович

Кандидат физико-математических наук (1984), доцент (1991). В 1973 г. окончил МВТУ имени Н. Э. Баумана по специальности «физико-энергетические установки», в 1977 г. — механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, в 1981 г. — аспирантуру по теоретической физике при МАИ имени С. Орджоникидзе. С 1981 г. по настоящее время — преподаватель МАИ.

Области научных интересов: классическая теория гравитации, псевдоклассическая механика над алгеброй Грассмана, уравнения движения протяженных объектов и частиц со спином во внешних электромагнитных и гравитационных полях и их связи с квантово-механическими уравнениями, композитные суперсимметричные модели фундаментальных частиц, математические модели времени.

Автор ряда учебных пособий и монографий, среди которых «Введение в суперсимметричную механику» (1988; совместно с В. В. Чередовым), «Новая школьная энциклопедия. Т. 3: Вещество и энергия» (2005; группа авторов), «Вторжение в физику» (9 книг: 2006–2010), «Геометрия пространства-времени и классическая механика» (2014; совместно с В. И. Бабецким), «Тензорный анализ» (2018), «Методы суперсимметричной механики» (2019), «Современные физические теории времени» (2019), «Алгебраический язык геометрии и топологии для физиков» (2021; совместно с И. В. Александровым). Хобби — история и культура Китая во всех видах.