Обложка Шафаревич И.Р. Избранные главы алгебры
Id: 277293

Избранные главы алгебры. Изд. 2, испр.

URSS. 2022. 408 с. ISBN 978-5-9519-2343-1.
  • Твердый переплет

Аннотация

Одна из традиций, принятых еще в советском, а ныне и в российском математическом образовании, состоит в том, что выдающиеся ученые, которые внесли крупный вклад в развитие математики, пишут книги, предназначенные заинтересовавшимся этой наукой школьникам. В этом ключе написана книга «Избранные главы алгебры», автор которой — выдающийся математик, академик АН СССР и РАН, лауреат многочисленных наград И. Р. Шафаревич.

Задача ...(Подробнее)данной книги — показать алгебру как часть математики на материале, по возможности примыкающем к школьному курсу. Изложение использует очень небольшой запас знаний: действия с целыми числами и дробями, квадратные корни, раскрытие скобок и другие преобразования буквенных выражений, свойства неравенств. Все эти навыки закрепляются к девятому классу. Сложность математических рассуждений несколько увеличивается по мере продвижения в материале. Чтобы помочь читателям закрепить прочитанный текст, приведены простые задачи.

Книга заинтересует школьников старших классов, студентов, учителей, работающих по углубленной программе, а также всех увлекающихся математикой.


Содержание
Предисловие3
Глава 1. Целые числа6
1.1. Иррациональные числа. Иррациональность 26
Задачи14
1.2. Иррациональность других квадратных корней14
Задачи25
1.3. Разложение на простые множители26
Задачи40
Глава 2. Простейшие свойства многочленов43
2.1. Корни и делимость многочленов43
Задачи57
2.2. Кратные корни и производная58
Задачи68
2.3. Формула бинома69
Задачи86
Приложение Многочлены и числа Бернулли89
Задачи96
Глава 3. Конечные множества97
3.1. Множества и подмножества97
Задачи107
3.2. Комбинаторика108
Задачи124
3.3. Алгебра множеств126
Задачи140
3.4. Язык вероятностей142
Задачи160
ПриложениеНеравенства Чебышева161
Задачи171
Глава 4. Простые числа173
4.1. Бесконечность числа простых чисел173
Задачи178
4.2. Доказательство бесконечности числа простых чисел по Эйлеру178
Задачи188
4.3. Распределение простых чисел. Функция (n)189
Задачи194
ПриложениеЧебышевские неравенства для (n)194
Задачи207
Глава 5. Действительные числа и многочлены209
5.1. Аксиомы действительных чисел209
Задачи216
5.2. Пределы и бесконечные суммы217
Задачи224
5.3. Задание действительных чиселдесятичными дробями226
Задачи233
5.4. Действительные корни многочленов235
Задачи251
ПриложениеТеорема Штурма253
Задачи267
Глава 6. Бесконечные множества269
6.1. Равномощность269
Задачи279
6.2. Континуум281
Задачи294
6.3. Тонкие множества295
Задачи313
ПриложениеНормальные числа314
Задачи329
Глава 7. Степенные ряды330
7.1. Многочлены как производящие функции330
Задачи342
7.2. Степенные ряды344
Задачи358
7.3. Partitio Numerorum (разбиение чисел)360
Задачи371
Приложение IПентагональная теорема Эйлера374
Задачи387
Приложение IIПроизводящая функция для чисел Бернулли387
Задачи393
Даты жизни ученых, упомянутых в пособии394
Портреты некоторых выдающихся математиков, упомянутых в пособии396

Предисловие
В школьном математическом образовании алгебре выпала доля

Золушки, а геометрии — любимой дочки. Объем знаний по геометрии, изучаемый в школе, приблизительно совпадает с уровнем в этой области, который был достигнут в Древней Греции и суммирован в сочинении Евклида «Начала» (III в. до Рождества Христова). Долгое время геометрию преподавали по Евклиду, потом возникли упрощенные варианты. Но при всех изменениях, внесенных в курс геометрии, в нем все же сохранилось влияние Евклида и веяние грандиозного научного переворота, произошедшего в Греции.

Не раз мне встречались люди, говорившие: «Я не выбрал математику своей профессией, но на всю жизнь запомнил красоту стройного здания геометрии с ее строгим выводом все более сложных положений, начиная с самых простых».

К сожалению, мне ни разу не пришлось слышать подобные отзывы об алгебре. Школьный курс алгебры составляет странную смесь полезных правил, логических рассуждений, упражнений в пользовании такими вспомогательными средствами, как логарифмические таблицы или микрокалькулятор. По духу этот курс ближе к тому типу математических знаний, который сложился в Древнем

Египте или Вавилоне, чем к направлению развития, возникшему в Древней Греции и потом продолженному в Новое время в Западной Европе. Тем не менее алгебра является столь же фундаментальной, глубокой и красивой частью математики, как и геометрия.

Больше того, с точки зрения принятого сейчас деления математики, школьный курс алгебры содержит элементы нескольких частей математики: алгебры, теории чисел, комбинаторики и — в небольшой части — теории вероятностей.

Задача этой книги — показать алгебру как часть математики на материале, по возможности примыкающем к школьному курсу.

Книга не претендует на то, чтобы быть учебником, хотя и адресована школьникам и учителям. Изложение использует очень небольшой запас знаний: действия с целыми числами и дробями, квадратные корни, раскрытие скобок и другие преобразования буквенных выражений, свойства неравенств. Все эти навыки закрепляются к девятому классу. Сложность математических рассуждений несколько увеличивается по мере продвижения в материале. Чтобы помочь читателям закрепить прочитанный текст, приведены простые задачи.

Изложение сгруппировано вокруг нескольких основных тем:

«Число», «Многочлен», «Множество», каждая из которых развивается в нескольких главах, а главы, посвященные разным темам, чередуются.

В качестве приложений выделено изложение некоторых вопросов, примыкающих по теме к остальному тексту, не использующее ничего, кроме того, что в нем уже есть, но немного более сложное, т. е. такое, при котором в голове надо держать немного больше уже известных фактов и определений. В следующих главах они не используются.

Для излагаемых в книге утверждений я выбирал не самое короткое доказательство, но наиболее понятное. «Понятное» в том смысле, что оно связывает доказываемое утверждение с наибольшим числом понятий и других утверждений и тем самым проясняет его место в излагаемой части математики. Впрочем, и более короткое доказательство обычно появляется позже, иногда в качестве задачи.

При первом знакомстве с математикой представление об истории ее развития обычно отступает на второй план. Иногда даже кажется, что она так и появилась в виде готового учебника. На самом деле математика возникла в результате трудов многих ученых на протяжении многих тысяч лет. Чтобы обратить внимание на эту ее сторону, в книге помещены портреты некоторых наиболее выдающихся математиков из числа упоминаемых в ней, а в конце даны даты жизни всех математиков (и физиков), имена которых встречались в книге.

В книге довольно много формул. Чтобы было удобнее на них ссылаться, они занумерованы. Если при упоминании формулы приводится только ее номер, то имеется в виду формула с этим номером в той же главе. Например, если в главе 2 говорится «перемножая равенства (16), получаем...», то имеется в виду формула с номером (16) в главе 2. Если же речь идет о формуле из другой главы, то указывается номер этой главы. Например, «воспользуемся формулой (12) главы 1». Найти нужную главу вам поможет название и номер главы, напечатанные вверху каждой страницы.

Теоремы же и леммы занумерованы подряд, по всей книге.

Фонд математического образования и просвещения и особенно

С. И. Комаров и В. М. Имайкин очень помогли мне при подготовке рукописи. С. П. Демушкин взял на себя труд прочесть рукопись и сделал много очень важных замечаний. Всем им я приношу сердечную благодарность.

Автор


Об авторе
Шафаревич Игорь Ростиславович
Выдающийся советский и российский математик, доктор физико-математических наук, профессор, академик АН СССР и РАН. Еще в школе изучал программу механико-математического факультета МГУ и сдавал экстерном экзамены. После окончания школы был принят на последний курс этого факультета и окончил его в 1940 г. (в 17 лет). Защитил кандидатскую диссертацию в 1942 г. (в 19 лет), докторскую — в 1946 г. (в 23 года). В 1944 г., после окончания аспирантуры, стал преподавателем механико-математического факультета МГУ. С 1946 г. — сотрудник Математического института имени В. А. Стеклова (МИАН). В 1953–1974 гг. — профессор кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ. В 1960–1995 гг. работал в должности заведующего отделом алгебры МИАН, с 1995 г. — главный научный сотрудник МИАН (советник РАН). В 1958 г. избран членом-корреспондентом АН СССР, с 1991 г. — академик. Лауреат Ленинской премии (1959). Президент Московского математического общества (1970–1973).

В область научных интересов И. Р. Шафаревича входили алгебра, теория чисел, алгебраическая геометрия. В теории алгебраических чисел он нашел самый общий закон взаимности степенных вычетов в полях алгебраических чисел, что явилось в известной мере завершающим этапом 150-летней истории арифметических законов взаимности, восходящей к Леонарду Эйлеру и Карлу Гауссу. Внес фундаментальный вклад в развитие теории Галуа. За работы по алгебраической теории чисел (открытие общего закона взаимности и решение обратной задачи Галуа для разрешимых групп), опубликованные в 1950–1954 гг., был удостоен Ленинской премии. В 1970-1980-х гг. И. Р. Шафаревич, Д. К. Фаддеев и их ученики получили важные результаты, относящиеся к теории групп, теории целочисленных представлений групп и теории Галуа. Кроме того, И. Р. Шафаревич получил известность как общественный деятель и автор историко-философских публикаций.