|
Оглавление
Предисловие
Настоящая книга написана на основе исследований, проводимых в последние годы под руководством одного из авторов в лаборатории нелинейной и хаотической динамики Института системного анализа РАН и на кафедре нелинейных динамических систем факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им.М.В.Ломоносова. В ней авторы излагают свою, во многих случаях отличную от традиционной, точку зрения на принципы формирования, сценарии возникновения и способы управления хаотическими режимами в нелинейных диссипативных динамических системах, описываемых автономными обыкновенными дифференциальными уравнениями, уравнениями в частных производных диффузионного типа и уравнениями с запаздывающим аргументом. Все теоретические результаты и выводы подтверждены многочисленными примерами, иллюстрациями и численными расчетами. Книга состоит из шести глав. В первой главе излагаются основные понятия, определения и теоремы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, необходимые для понимания материала, излагаемого в последующих главах. Вторая глава посвящена описанию основных бифуркаций особых точек, предельных циклов, торов и нерегулярных аттракторов нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Особое внимание уделено малоизученным нелокальным бифуркациям гомоклинических и гетероклинических контуров, а также различным каскадам бифуркаций как регулярных так и нерегулярных аттракторов. В третьей главе книги на основе проведенных численных расчетов и большого иллюстративного материала показано, что все классические автономные диссипативные нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений имеют один общий сценарий перехода к хаосу через каскады бифуркаций удвоения периода, субгармонический и затем гомоклинический каскады мягких бифуркаций устойчивых предельных циклов. Этот сценарий описывается теорией динамического хаоса в нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений, развитой одним из авторов и изложенной в четвертой главе. Показано, что все рождающиеся таким образом нерегулярные аттракторы, названные сингулярными, принадлежат замыканию неустойчивого многообразия сингулярного предельного цикла, дающего начало всем каскадам мягких бифуркаций. В пятой главе показано, что тот же сценарий перехода к хаосу имеет место и в бесконечномерных системах дифференциальных уравнений в частных производных типа реакция-диффузия, а также в обыкновенных дифференциальных уравнениях с запаздывающим аргументом. В шестой главе книги рассмотрены как классические, так и оригинальные методы решения основной проблемы управления хаосом, заключающиеся в обнаружении и стабилизации неустойчивых циклов нелинейных систем дифференциальных уравнений, обладающих хаотической динамикой. Первая, вторая и пятая главы книги написаны Н.А.Магницким, третья, четвертая и шестая главы – совместно Н.А.Магницким и С.В.Сидоровым. Численные расчеты и рисунки выполнены С.В.Сидоровым. Авторы выражают признательность Д.В.Аносову, А.Б.Бакушинскому, С.В.Емельянову, В.А.Ильину, Ю.С.Ильяшенко, Ю.Л.Климонтовичу, С.К.Коровину, Е.И.Моисееву, Ю.С.Попкову за полезные обсуждения затрагиваемых в книге вопросов, а также ЗАО "Партнер", без финансовой поддержки которого работа над книгой и ее издание были бы просто невозможными. Особую благодарность авторы выражают Е.И.Магницкой и Н.В.Сидоровой за внимание, терпение и поддержку при написании настоящей книги. Проблемы, поднятые в книге, методы их решения и полученные результаты выходят далеко за рамки традиционных представлений о хаотических аттракторах нелинейных диссипативных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Свои мнения по этому поводу, замечания и предложения просим присылать по адресу nmag@isa.ru. Введение
Системы нелинейных дифференциальных уравнений являются частным случаем обширного семейства нелинейных динамических систем, в которое также входят различные нелинейные алгебраические, разностные, интегральные, функциональные и абстрактные операторные уравнения. В связи с этим до последнего времени совершенно естественным представлялся единый геометрический подход к изучению нелинейных динамических систем, позволяющий рассматривать с общих позиций нелинейные системы, описываемые как дискретными отображениями, так и обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных [1–10]. Согласно геометрической точке зрения динамической системой называется однопараметрическая непрерывная или дискретная группа (полугруппа) phit(х) преобразований метрического фазового пространства М в себя. Непрерывные группы также часто называют потоками, а дискретные – отображениями или каскадами [3, 11]. Интенсивное применение геометрического подхода к анализу динамических систем началось со знаменитой работы американского математика С.Смейла, предложившего конструкцию отображения, которое впоследствии получило название подкова Смейла [5]. Было показано, что устойчивым предельным множеством (аттрактором) дискретной динамической системы может быть вовсе не гладкое многообразие целой размерности, какими являются, например, устойчивый предельный цикл или тор, а всюду дырявое, самоподобное фрактальное множество дробной размерности. Кроме того, было показано, что поведение траекторий динамической системы на таком странном в терминологии Д.Рюэля и Ф.Такенса [6] аттракторе является довольно сложным, сочетая в себе глобальную устойчивость (траектория не уходит из некоторой области фазового пространства) с локальной неустойчивостью отдельных близких траекторий, экспоненциально разбегающихся со временем, что характеризуется наличием на аттракторе как отрицательного, так и положительного показателей Ляпунова. В дальнейшем были найдены и другие хаотические динамические системы, описываемые дискретными отображениями и обладающие странными аттракторами, такие, например, как логистическое отображение, отображение Хенона, соленоид Смейла-Вильямса [5, 11–16] и др. Так как анализ свойств непрерывных динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями, может быть сведен к анализу свойств некоторого отображения – отображения Пуанкаре, то обнаруженное в непрерывных динамических системах нерегулярное, хаотическое поведение траекторий, стали связывать с наличием в системе странного аттрактора. Однако доказательство этого факта непосредственно для знаменитой системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений Лоренца, в которой впервые было обнаружено нерегулярное поведение траекторий [17], столкнулось со значительными трудностями. Многочисленные попытки в течение длительного времени обосновать методами геометрической теории динамических систем наличие странного аттрактора в окрестностях петель сепаратрис седло-узла и седло-фокуса в системе Лоренца закончились неудачей [18–27]. Более того, задача показать, совпадает ли поведение решений системы Лоренца с динамикой геометрического аттрактора Лоренца была сформулирована С.Смейлом как одна из 18 наиболее значительных математических проблем XXI века [28]. А результаты недавних работ авторов [29–31] позволили определенно утверждать, что геометрический подход, развитый для дискретных отображений и позволивший получить для них ряд блестящих результатов, является не совсем адекватным применительно к непрерывным динамическим системам, описываемым дифференциальными уравнениями. Сложилось впечатление, что само определение сложного (нерегулярного) аттрактора непрерывной динамической системы как странного аттрактора, а также такие традиционные разделы хаотической динамики, как вычисление размерности аттрактора, сценарии перехода к хаосу и критерии динамического хаоса требуют значительной корректировки. Как показывают многочисленные примеры [29–34], ни наличие положительного показателя Ляпунова, ни наличие петель сепаратрис седло-узлов или седло-фокусов, ни наличие самих седло-узлов или седло-фокусов не являются необходимыми условиями существования в системе дифференциальных уравнений хаотической динамики. Более того, нерегулярные аттракторы огромного класса трехмерных диссипативных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащего и все классические хаотические системы, рождаются в результате одних и тех же каскадов мягкий бифуркаций устойчивых предельных циклов. Началом всегда является каскад бифуркаций удвоения периода Фейгенбаума, переходящий в полный или неполный субгармонический каскад бифуркаций Шарковского, который продолжается полным или неполным гомоклиническим каскадом бифуркаций. В настоящей книге, следуя работе Н.Магницкого [35], изложена теория таких аттракторов, названных сингулярными. Они существуют только в отдельных точках накопления значений бифуркационного параметра и содержат в любой своей окрестности неустойчивые циклы различных периодов. Доказано, что любой сингулярный аттрактор трехмерной автономной диссипативной нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений лежит на двумерной многолистной поверхности трехмерного фазового пространства, являющейся замыканием двумерного инвариантного неустойчивого многообразия сингулярного седлового цикла, дающего начало каскаду бифуркаций удвоения периода. В связи с этим размерность сингулярного аттрактора трехмерной системы не может превышать величины два. Хаотическая динамика во всех системах указанного класса возникает благодаря сдвигу фаз между траекториями, образующими сепаратрисную поверхность сингулярного цикла, что приводит к возможности появления в трансверсальной к циклу двумерной вращающейся плоскости непрерывных одномерных отображений, имеющих многозначные обратные отображения. Последнее невозможно ни в каком сечении Пуанкаре, переход к которому приводит к потере фазы. Любым сингулярным аттрактором любой системы класса является замыкание некоторой полуустойчивой непериодической траектории, в связи с чем сингулярный аттрактор не может иметь единого положительного показателя Ляпунова и не является гиперболическим множеством. Таким образом, во всех системах рассмотренного в книге класса автономных трехмерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в процессе перехода к хаосу рождаются полные или неполные субгармонические или гомоклинические сингулярные аттракторы. Этот же сценарий перехода к хаосу характерен и для всех известных классических трехмерных автономных диссипативных систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, включая системы уравнений Лоренца, Ресслера, Чуа и др. (см. [29–33]). Более того, как показано в книге, этот же сценарий перехода к хаосу реализуется и в системах с большим числом измерений, и в бесконечномерных системах дифференциальных уравнений. А так как других сценариев перехода к хаосу в диссипативных системах нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, кроме как через субгармонический или гомоклинический каскады бифуркаций, реально пока не обнаружено, то весьма правдоподобной выглядит гипотеза об универсальности описанного в книге способа возникновения хаотической динамики в системах дифференциальных уравнений. В книге изложены в основном результаты, полученные авторами в области хаотической динамики диссипативных систем дифференциальных уравнений в последние годы. При этом за рамками книги остались такие значительные разделы теории динамического хаоса, как хаос в гамильтоновых системах и перемешивание, хаотические отображения и фракталы. Некоторые основные результаты, связанные с этими понятиями и требующиеся для изложения основного материала, рассмотрены в первой вводной главе. По причинам, изложенным выше, стиль изложения результатов в книге является традиционным, соответствующим стилю, принятому в качественной теории дифференциальных уравнений, а не в современной теории динамических систем. Об авторах
 Магницкий Николай Александрович Доктор физико-математических наук (1989), главный научный сотрудник Федерального исследовательского центра «Информатика и управление» РАН. Профессор кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ имени М. В. Ломоносова, кафедры системных исследований факультета управления и прикладной математики МФТИ. В 1974 г. окончил с отличием факультет ВМК МГУ, в 1977 г. — аспирантуру факультета ВМК МГУ под руководством академика А. Н. Тихонова.
Н. А. Магницкий — автор более 250 научных работ, в том числе 7 монографий, 5 глав в монографиях и 3 учебных пособий в области дифференциальных и интегральных уравнений, нелинейных динамических систем, теории управления, искусственных нейронных сетей, экономико-математического моделирования, теории хаоса, теории эфира. Им создана аналитическая теория интегральных уравнений Вольтерра, решена проблема множителей Стокса в аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, разработан метод характеристических функций в теории устойчивости, предложены новые классы искусственных нейронных и иммунных сетей, разработана теория динамического хаоса в любых нелинейных системах дифференциальных уравнений, дано решение проблемы турбулентности методами хаотической динамики, разработана теория сжимаемого осциллирующего эфира.  Сидоров Сергей Васильевич Доктор физико-математических наук. В 1972 г. окончил физико-технический факультет Московского горного института, в 1983 г. защитил кандидатскую диссертацию по проблеме обеспечения безопасности полетов в зонах электрической активности атмосферы. В 1994 г. окончил с отличием факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М. В. Ломоносова. C 1998 г. работал в Институте системного анализа РАН, в 2009 г. защитил докторскую диссертацию по проблеме образования динамического хаоса в диссипативных системах нелинейных дифференциальных уравнений. Научную работу постоянно совмещал с педагогической деятельностью. Преподавал физику в Московском институте инженеров гражданской авиации, математику во Всесоюзном заочном институте текстильной и легкой промышленности, в Московской государственной академии водного транспорта, в Российском университете дружбы народов. Создал междисциплинарный курс «Эстетика нелинейности в современной картине мира. Фракталы и хаос».
С. В. Сидоров — автор более 150 научных и научно-методических работ, в том числе 3 монографий, 14 учебных пособий. Им разработан метод обнаружения молниеопасных зон с борта летательного аппарата, развиты численные методы исследования динамических систем нелинейных дифференциальных уравнений с хаотическим поведением, позволившие создать теорию динамического хаоса и используемые, в частности, в решении проблемы турбулентности методами хаотической динамики. Область научных интересов — численные методы, хаотическая динамика, нелинейные волны. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||