Понтрягин Л.С.Ак★★★✫ МЕТОД КООРДИНАТ.
(Аналитическая геометрия. Геометрическое изображение комплексных чисел. Многочлены как комплексные функции комплексного переменного). Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие

Эта уже написанная книга – первая из четырех небольших популярных книг, которые я предполагаю написать и опубликовать под общим названием "Знакомство с высшей математикой". Предполагается, что в них будут даны важнейшие результаты классической высшей математики. Выбор материала и порядок его изложения не соответствует никакой учебной программе. Книги будут отражать мои личные вкусы и взгляды на математику, сложившиеся за много лет работы. Кроме того, они будут учитывать мои юношеские воспоминания о возможностях восприятия молодого человека, с тем, чтобы нынешнее поколение молодых людей, начиная со школьников старших классов, могло знакомиться по ним с высшей математикой и приобретать правильный здоровый вкус к ней. Внимание читателя должно быть направлено не на изощренности типа теории множеств, теории пределов и т.п., а на главные математические результаты, сложившиеся в течение тысячелетий.

В трех главах этой книги излагаются важнейшие математические применения прямоугольных декартовых координат на плоскости. Главное место занимают краткие сведения из аналитической геометрии на плоскости: даются геометрические определения эллипса, гиперболы и параболы при помощи фокусов и директрис; далее дается классификация кривых второго порядка, т.е. доказывается, что каждая кривая второго порядка есть эллипс, гипербола или парабола, за исключением вырожденных случаев. Ввиду исключительно большого значения комплексных чисел в современной математике, я в самом начале книги уделяю им большое внимание: дается геометрическое изображение комплексных чисел при помощи прямоугольных декартовых координат, а затем геометрически изучаются комплексные многочлены от комплексного переменного и дается геометрическая идея доказательства основной теоремы высшей алгебры о том, что каждый многочлен степени n имеет ровно n корней. Строгое доказательство этой важнейшей теоремы невозможно без точного определения непрерывности функции. Однако я считаю, что интуитивное геометрическое доказательство ее вполне убедительно и представляет большой интерес. Потребность в точном понимании понятий предела и непрерывности должна возникнуть у читателя лишь в результате овладения им большим запасом конкретных математических знаний. Такие понятия, как предел и непрерывность, являются, на мой взгляд, надстройкой, уточняющей конкретные математические факты, и описание этой надстройки не должно даваться с самого начала, наводя скуку на читателя, не понимающего еще, для чего все это делается.

Каждая из трех глав книги снабжена добавлениями, непосредственно следующими за самой главой. Эти добавления относятся уже не к плоскости, а к пространству. В них описываются прямоугольные координаты в пространстве и простейшие применения этих координат к теории поверхностей второго порядка, именно, дается классификация поверхностей второго порядка. Добавления к главам изложены менее детально, чем сами главы, с тем, чтобы предоставить читателю материал для самостоятельных размышлений.

Вторая книга под названием "Анализ бесконечно малых>> будет посвящена изложению математического анализа. В начале будут изложены не полным и не формальным образом теория действительного числа и теория пределов. При этом главное внимание будет обращено на необходимые и достаточные условия Копти сходимости для последовательности комплексных чисел. После этого будет развернута теория степенных рядов от комплексного переменного. Таким образом, можно будет определить функцию е^z комплексного переменного z и установить ее связь с тригонометрическими функциями на основе известной формулы

е^{i phi} = e cos phi + i sin phi.

Далее, должно следовать рассмотрение обратных функций, т.е. логарифма и обратных тригонометрических функций. Только после этого будет дано дифференцирование и интегрирование, причем интегрирование будет рассматриваться как операция, обратная к дифференцированию. Общим непрерывным функциям будет посвящено весьма мало внимания.

Третья книга с ориентировочным названием "Многомерная евклидова геометрия и теория определителей" пока что представляется мне не более полно, чем это выражено в ее заглавии.

Четвертая книга с ориентировочным названием "Обыкновенные дифференциальные уравнения" будет посвящена изложению этой теории с упором на линейные уравнения с постоянными коэффициентами с применением этих уравнений к теории электрических цепей. В этой же книге будут рассмотрены автономные системы, положение равновесия в них и предельные циклы с применением к теории регулирования (регулятор Уатта) и работе лампового генератора.

В заключение должен сказать, что вся эта серия из четырех небольших книг рассчитана не на легкое чтение, а на серьезную напряженную работу читателя. Небольшой объем книг вовсе не указывает на их малое содержание. Изложение очень сжатое и освещает большое количество материала.

Введение

В настоящее время уже очень большое число специалистов из разных областей знания имеет представление о прямоугольных декартовых координатах на плоскости, так как эти координаты дают возможность наглядно-геометрически при помощи графика изобразить зависимость одной величины от другой. Так врач строит график температуры больного в процессе болезни, экономист – график роста производства и т.д. Название декартовы координаты наводит на ложную мысль о том, что эти координаты были открыты Декартом. В действительности прямоугольные координаты употреблялись в геометрии еще до начала нашей эры. Декарт внес в них очень важное усовершенствование, введя правила выбора знаков (см. ниже). Но главное, пользуясь прямоугольными координатами, он построил аналитическую геометрию на плоскости, связав этим геометрию и алгебру. Нужно сказать, однако, что одновременно с Декартом построил аналитическую геометрию и другой французский математик Ферма, известный широкой публике как автор (до сих пор недоказанной) великой теоремы Ферма. К 17 веку, когда жили Декарт и Ферма, развитие математики уже подготовило все для построения аналитической геометрии – синтеза алгебры и геометрии. Но последний удар был нанесен Декартом и Ферма. Однако почти все знают только о Декарте. Такова, по-видимому, судьба всех или почти всех великих научных открытий. Они готовятся столетиями, но завершающий этап, осуществленный каким-нибудь ученым, связывается с его именем, и все открытие получает имя этого ученого. Ниже я привожу краткий и очень неполный исторический обзор развития математики до 17 века для того, чтобы на примере аналитической геометрии продемонстрировать то явление в развитии науки, о котором я сказал выше.

Для построения системы координат мы проводим в плоскости чертежа две прямые – оси координат: горизонтальную – ось абсцисс и вертикальную – ось ординат. Пересечение их o называется началом координат. Пусть r – некоторая точка плоскости чертежа. Опустим из нее перпендикуляр rp на ось абсцисс и перпендикуляр rq на ось ординат. Это построение дает нам возможность поставить в соответствие точке r два неотрицательных числа. Первое – длину отрезка op и второе – длину отрезка oq. Видно, однако, что если точка r' симметрична с точкой r относительно-оси ординат, то числа, соответствующие обеим точкам r и r', будут одинаковыми. То же верно и для точек, симметричных относительно оси абсцисс. Это положение исправляется правилом выбора знаков, введенным Декартом, Именно, если точка r лежит справа от оси ординат, то первое число берется со знаком плюс, а если слева – то со знаком минус. Так полученное число называется абсциссой точки r и обозначается обычно через x. Аналогично определяется и знак второго числа, которое называется ординатой точки r и обычно обозначается через y. Числа x и y называются декартовыми координатами точки r. Если переменные величины x и y связаны каким-либо соотношением, например, алгебраическим уравнением, то совокупность точек r, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, образует линию на плоскости. В частности, именно таким образом строится график, если y зависит от x.

Приведенные здесь построения теперь прочно связаны с именем французского математика Декарта (1596–1650). Однако в различных, менее совершенных формах они употреблялись в математике задолго до него. Древний математик Александрийской школы Аполлоний (живший в 3–2 веках до н.э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами. Он определял при помощи них тщательно изучавшиеся и хорошо известные в то время кривые: параболу, гиперболу и эллипс, Аполлоний задавал их уравнениями:

y² = px (парабола);

y² = px - (p/a) x² (гипербола);

y² = px - (p/a) x² (эллипс) (p и a положительны).

Аполлоний, конечно, не выписывал уравнения в этой алгебраической форме, так как в те времена не существовало еще алгебраической символики. Он описывал уравнения, пользуясь геометрическими понятиями: у² в его терминологии, есть площадь квадрата со стороной y; px – есть площадь прямоугольника со сторонами p и x и т.д. С этими уравнениями связаны и названия кривых. Парабола по-гречески означает равенство: квадрат у² имеет площадь, равную прямоугольнику px. Гипербола по-гречески означает избыток: площадь квадрата у² превосходит площадь прямоугольника px. Эллипс по-гречески означает недостаток: площадь квадрата у² меньше площади прямоугольника px.

Французский математик Орезм в 14 веке, пользуясь прямоугольными координатами, строил график зависимости величины y от величины x; при этом вместо современных терминов: абсцисса и ордината он употреблял термины – долгота и широта. Идеи Орезма не получили, однако, широкого распространения, потому что в те времена понятие функциональной зависимости (я имею в виду зависимость величины у от величины х) было слишком не ясным.

Таким образом, открытие декартовых координат не принадлежит Декарту. И все же тот факт, что они названы его именем, не является большой несправедливостью. Он сделал из них такое употребление, которое представляет одно из величайших достижений математики. Декарт построил аналитическую геометрию, а в ней, как в фокусе, сошлись математические открытия медленно, с трудом слагавшиеся в течение тысячелетий. Работа Декарта , в которой излагались основные идеи аналитической геометрии на плоскости, была опубликована в 1637 г. Следует отметить, что к этим идеям одновременно пришел и другой французский математик Ферма (1601–1665), но соответствующая его работа была опубликована только в 1679 г. К 1637 г. идеи Ферма становятся известными его современникам по обычаю того времени только благодаря обмену письмами.

Значение аналитической геометрии состоит прежде всего в том, что она установила тесную связь между геометрией и алгеброй. Эти две ветви математики ко времени Декарта достигли уже высокой степени совершенства. Но развитие их в течение тысячелетий шло независимо друг от друга, и ко времени появления аналитической геометрии между ними намечалась лишь довольно слабая связь. Геометрия уже незадолго до начала н.э. достигла выдающихся результатов. Тогда были детально изучены такие сложные образования, как парабола, гипербола и эллипс; в частности, было доказано, что все эти кривые могут быть получены в результате пересечения поверхности круглого конуса с плоскостью, откуда и возникло их общее название – конические сечения. Алгебра развивалась медленнее, чем геометрия. Первые ее признаки мы находим в папирусе египтянина Ахмеса, появившемся приблизительно за два тысячелетия до н.э. В этом папирусе (если применить современную терминологию) решается уравнение первой степени с одним неизвестным, причем имеется специальное иероглифическое обозначение неизвестной величины и специальные символы для обозначения действий: сложения и вычитания, а также для обозначения равенства. В дальнейшем выдающиеся достижения в области алгебры принадлежат арабам 9–15 вв., которые уже решали уравнения I и II степени, но не употребляли символики, а пользовались словесными описаниями. В конце 15 в. в Италии появляются современные знаки плюс (+) и минус (-). Быстро появляются и дальнейшие современные знаки: степень, корень, скобки и т.д. Далее в работах французского математика Виета (1540–1603) вводятся буквенные обозначения величин, как известных, так и неизвестных. Таким образом ко времени Декарта был готов современный аппарат символической алгебры.

Важную роль аналитическая геометрия сыграла в развитии понятия числа. Отрицательные числа, известные еще индусам в 6–11 вв., европейскими математиками долгое время не признавались – считались абсурдными. Даже Виета не признавал их. Только благодаря аналитической геометрии Декарта (правило выбора знаков координат) они полностью утвердились в математике.

Точно так же комплексные числа обрели свою реальность благодаря декартовым координатам, но уже много позже Декарта. Первоначально считалось, что квадратное уравнение, не имеющее действительных решений, вовсе их не имеет. Только в 16 в., благодаря формуле Кардана решений кубического уравнения, пришлось до некоторой степени признать комплексные числа, так как оказалось, что при решении кубического уравнения, имеющего три действительных корня, в формуле Кардана при промежуточных вычислениях появляются комплексные числа. Однако и после этого комплексные числа оставались мало понятными до Гаусса (1777–1855), который на грани 18 и 19 столетий дал при помощи декартовых координат геометрическое изображение комплексных чисел и доказал основную теорему высшей алгебры о том, что многочлен n-й степени имеет n корней. В настоящее время комплексные числа и комплексные функции комплексного переменного играют огромную роль в теоретической и прикладной математике.

Об авторе

Выдающийся российский математик, академик АН СССР, Герой Социалистического Труда (1969). Родился 3 сентября 1908 г. в Москве. В 14 лет потерял зрение в результате несчастного случая. Окончил Московский государственный университет им.М.В.Ломоносова (1929). С 1930 г. работал в Московском университете, где в 1935 г. получил ученое звание профессора, и одновременно с 1939 г. занимал должность заведующего отделом Математического института им.В.А.Стеклова АН СССР.

Основные работы Л.С.Понтрягина относятся к теории дифференциальных уравнений, топологии, теории колебаний, теории управления, вариационному исчислению, алгебре. В топологии он открыл общий закон двойственности и в связи с этим построил теорию характеров непрерывных групп; получил ряд результатов в теории гомотопий (классы Понтрягина). В теории колебаний главные результаты работ Л.С.Понтрягина относятся к асимптотике релаксационных колебаний. В теории управления он выступил как создатель математической теории оптимальных процессов, в основе которой лежит так называемый принцип максимума Понтрягина. Ему принадлежат также существенные результаты в области вариационного исчисления, дифференциальных игр, теории размерности, теории регулирования. Работы школы Л.С.Понтрягина оказали большое влияние на развитие теории управления и вариационного исчисления во всем мире.