| Из предисловия к первому изданию | 9
|
| Советы учащимся | 11
|
| Глава I. Основные понятия математического анализа | 13
|
| § 1. Вводные замечания | 13
|
| § 2. Действительные (вещественные) числа | 14
|
| § 3. Числовая ось | 16
|
| § 4. Сравнение действительных чисел | 17
|
| § 5. Десятичные приближения действительного числа | 17
|
| § 6. Разложение действительного числа в бесконечную десятичную дробь | 20
|
| § 7. Сравнение действительных чисел при помощи их разложений | 22
|
| § 8. О действиях над действительными числами | 22
|
| § 9. О приближенных вычислениях | 23
|
| § 10. Переменные и постоянные величины | 24
|
| § 11. Область изменения переменной величины; промежуток | 25
|
| § Па. Вопросы к §§ 10—11 | 27
|
| § 12. Функциональная зависимость | 28
|
| § 13. Функция | 29
|
| § 13а. Вопросы к §§ 12—13 | 34
|
| § 14. Способы представления функции | 34
|
| § 14а. Задачи и вопросы к § 14 | 39
|
| § 15. Область существования аналитически заданной функции | 40
|
| § 15а. Задачи к § 15 | 43
|
| § 16. Обозначение функции | 44
|
| § 16а. Задачи к § 16 | 46
|
| § 17. Однозначные и многозначные функции | 47
|
| § 18. Возрастающие и убывающие (монотонные) функции | 49
|
| § 19. Обратная функция | 51
|
| § 20. Функция от функции (сложная функция) | 55
|
| § 20а. Задачи и вопросы к §§ 17—20 | 56
|
| § 21. Некоторые важнейшие функции | 57
|
| § 22. Степенная функция | 60
|
| § 22а. Задачи и вопросы к §§ 21—22 | 63
|
| § 23. Показательная функция | 64
|
| § 24. Логарифмическая функция | 65
|
| § 24а. Задачи и .опросы к §§ 23—24 | 66
|
| § 25. Тригонометрические функции | 66
|
| § 26. Обратные тригонометрические функции | 70
|
| § 27. Построение графиков с помощью изменения масштабов и параллельного переноса | 72
|
| § 28. Дробно-линейная функция | 77
|
| § 28а. Задачи к §§ 25—28 | 80
|
| § 29. Элементарные функции | 80
|
| Глава II. Предел | 82
|
| § 30. Вводные замечания | 82
|
| § 31. Последовательность | 82
|
| § 32. Предел последовательности | 85
|
| § 32а. Вопросы и задачи к §§ 31—32 | 91
|
| § 33. Предварительное понятие о пределе функции | 92
|
| § 34. Определение предела функции | 94
|
| § 34а. Задачи к §§ 33—34 | 96
|
| § 35. Односторонний предел | 97
|
| § 36. Расширение понятия предела последовательности | 98
|
| § 37. Расширение понятия предела функции | 100
|
| § 38. Непрерывность функции в точке | 105
|
| § 39. Непрерывность функции в промежутке | 112
|
| § 40. Бесконечно малая величина | 117
|
| § 41. Бесконечно малая величина и предел | 118
|
| § 42. Бесконечно большая величина | 119
|
| § 42а. Вопросы к §§ 40—42 | 120
|
| § 43. Основные свойства бесконечно малых величин | 121
|
| § 44. Свойства конечных пределов | 124
|
| § 44а. Задачи к § 44 | 129
|
| § 45. Операции над непрерывными функциями | 130
|
| § 46. Леммы о пределах | 131
|
| § 47. Признак существования предела | 133
|
| § 48. Число е | 134
|
| § 49. Предел (1+а)1/а при бесконечно малом а | 138
|
| § 50. Предел log(1+а)/a при а → 0; натуральные логарифмы | 139
|
| § 50а. Задачи к §§ 48—50 | 142
|
| § 51. Предел sina/a при бесконечно малом а | 142
|
| § 52. Эквивалентные бесконечно малые величины | 144
|
| § 52а. Задачи к §§ 51—52 | 147
|
| § 53. Сравнение бесконечно малых величин | 148
|
| § 53а. Задачи к § 53 | 151
|
| Глава III. Производная функция и дифференциал | 152
|
| § 54. Вводные замечания | 152
|
| § 55. Приращение переменной величины | 153
|
| § 56. Приращение непрерывной функции | 154
|
| § 57. Скорость | 155
|
| § 58. Скорость изменения функции | 157
|
| § 59. Производная | 160
|
| § 60. Касательная | 163
|
| § 61. Односторонняя производная; односторонняя касательная | 168
|
| § 62. Производные некоторых простейших функций | 171
|
| § 63. Свойства производной | 173
|
| § 63а. Задачи к §§ 57—63 | 174
|
| § 64. Производная степенной функции | 175
|
| § 64а. Задачи к § 64 | 177
|
| § 65. Главная линейная часть приращения | 177
|
| § 66. Дифференциал | 178
|
| § 67. Эквивалентность дифференциала и приращения | 181
|
| § 68. Механическое истолкование дифференциала | 182
|
| § 69. Геометрическое истолкование дифференциала | 183
|
| § 70. Дифференцируемые функции | 183
|
| § 71. Дифференциалы некоторых простейших функций | 185
|
| § 72. Свойства дифференциала | 186
|
| § 72а. Задачи к §§ 65—72 | 187
|
| § 73. Инвариантная форма дифференциала | 187
|
| § 74. Выражение производной через дифференциалы | 190
|
| § 75. Дифференцирование сложной функции | 191
|
| § 75а. Задачи к §§ 73—75 | 195
|
| § 76. Дифференцирование произведения | 195
|
| § 77. Дифференцирование частного (дроби) | 198
|
| § 77а. Задачи к §§ 76—77 | 199
|
| § 78. Формулы дифференцирования тригонометрических функций | 200
|
| § 78а. Задачи к § 78 | 201
|
| § 79. Дифференцирование логарифмической функции | 202
|
| § 79а. Задачи к § 79 | 204
|
| § 80. Логарифмическое дифференцирование | 204
|
| § 80а. Задачи к § 80 | 205
|
| § 81. Дифференцирование показательной функции | 206
|
| § 81а. Задачи к § 81 | 207
|
| § 82. Производная обратной функции | 207
|
| § 83. Дифференцирование обратных тригонометрических функций | 209
|
| § 83а. Задачи к § 83 | 212
|
| § 84. Параметрическое задание линии | 213
|
| § 85. Касательная к параметризованной линии | 220
|
| § 86. О параметрическом представлении функции | 223
|
| § 86а. Задачи к §§ 84—86 | 224
|
| § 87. Производная неявной функции | 225
|
| § 87а. Задачи к § 87 | 228
|
| § 88. Вторая производная | 228
|
| § 89. Вторая производная функции, заданной параметрически | 230
|
| § 90. Второй дифференциал | 232
|
| § 91. Выражение второй производной через дифференциалы | 234
|
| § 92. Примеры применения второго дифференциала | 236
|
| § 93. Производные и дифференциалы высших порядков | 239
|
| § 93а. Задачи к §§ 88—93 | 241
|
| Глава IV. Некоторые применения дифференциального исчисления к исследованию функций | 243
|
| § 94. Вводные замечания | 243
|
| § 95. Теорема о наименьшем и наибольшем значениях функции | 243
|
| § 96. Правило для разыскания наибольших и наименьших значений | 245
|
| § 97. Наибольшее и наименьшее значения физических и геометрических величин | 249
|
| § 97а. Задачи к §§ 96-97 | 252
|
| § 98. Теорема Ролля | 253
|
| § 99. Теорема Лагранжа (о среднем значении) | 255
|
| § 100. Формула конечных приращений | 258
|
| § 100а. Вопросы и задачи к §§ 98—100 | 259
|
| § 101. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции | 260
|
| § 102. Экстремум функции | 265
|
| § 103. Достаточные признаки наличия и отсутствия экстремума | 266
|
| § 104. Правило для разыскания экстремумов | 268
|
| § 104а. Вопросы и задачи к §§ 101—104 | 274
|
| § 105. Второй достаточный признак экстремума | 275
|
| § 105а. Задачи к § 105 | 280
|
| § 106. Характер вогнутости | 280
|
| § 107. Точка перегиба | 283
|
| § 107а. Задачи к §§ 106—107 | 289
|
| § 108. Четные и нечетные функции | 289
|
| § 109. Асимптоты | 290
|
| § ПО. Вертикальные асимптоты | 291
|
| § 111. Невертикальные асимптоты | 293
|
| § 111а. Задачи к §§ 108—111 | 299
|
| § 112. О построении графиков | 299
|
| § 112а. Задачи к § 112 | 306
|
| Глава V. Дальнейшие приложения дифференциального исчисления (раскрытие неопределенностей, некоторые приближенные вычисления) | 307
|
| § 113. Теорема Коши (о среднем значении) | 307
|
| § 114. Раскрытие неопределенностей вида 0/0 Правило Лапиталя | 311
|
| § 114а. Задачи к § 114 | 314
|
| § 115. Раскрытие неопределенности вида ∞/∞ | 315
|
| § 116. Неопределенные выражения других видав | 316
|
| § 116а. Задачи к §§ 115—116 | 319
|
| § 117. Формула Тейлора (простейшие случаи) | 319
|
| § 118. Формула Тейлора (общий случай) | 326
|
| § 119. Вычисление логарифмов с помощью формулы Тейлора | 331
|
| § 120. Вычисление значений показательной функции | 336
|
| § 121. Вычисление значений sin x, cos х | 341
|
| § 121а. Задачи к §§ 117—121 | 345
|
| § 122. Численное решение уравнений (постановка вопроса) | 346
|
| § 123. Отделение корней | 347
|
| § 124. Уточнение корня. Способ проб | 349
|
| § 124а. Задачи к §§ 122—124 | 351
|
| § 125. Уточнения корня. Правило пропорциональных частей (способ хорд) | 351
|
| § 125а. Задачи к § 125 | 357
|
| § 126. Уточнение корня. Правило Ньютона (способ касательных) | 357
|
| § 126а. Задачи к § 126 | 362
|
| § 127. Комбинированный способ хорд и касательных | 362
|
| § 127а. Задачи к § 127 | 365
|
| Глава VI. Некоторые геометрические приложения дифференциального исчисления | 366
|
| § 128. Уравнение касательной к линии y = f(x) | 366
|
| § 129. Уравнение касательной к параметризованной линии | 367
|
| § 129а. Задачи к §§ 128—129 | 369
|
| § 130. Нормаль к плоской линии | 369
|
| § 130а. Задачи к § 130 | 371
|
| § 131. Центр, радиус и круг кривизны | 372
|
| § 131а. Задачи к § 131 | 382
|
| § 132. Эволюта плоской линии | 383
|
| § 133. Эвольвента плоской линии | 385
|
| § 133а. Задачи к §§ 132—133 | 387
|
| § 134. Кривизна | 387
|
| § 135. Другое определение кривизны | 390
|
| § 135а. Задачи к §§ 134—135 | 391
|
| § 136. Параметрическое задание пространственной линии | 392
|
| § 137. Винтовая линия | 394
|
| § 138. Касательная к пространственной линии | 398
|
| § 139. Вектор-функция скалярного аргумента | 400
|
| § 140. Предел вектор-функции | 402
|
| § 141. Производная вектор-функции скалярного аргумента | 406
|
| § 142. Дифференциал вектор-функции скалярного аргумента | 409
|
| § 143. Правила дифференцирования вектор-функций | 410
|
| § 143а. Задачи к §§ 136—143 | 413
|
| Глава VII. Дифференцирование функций нескольких переменных | 415
|
| § 144. Функция двух переменных | 415
|
| § 145. Геометрическое представление аргументов функции двух пе¬ременных | 418
|
| § 146. Функция точки | 420
|
| § 147. Способы представления функции двух переменных | 422
|
| § 148. Функция трех и большего числа переменных | 429
|
| § 149. Способы представления функции трех переменных | 431
|
| § 149а. Вопросы и задачи к §§ 144—149 | 433
|
| § 150. Последовательность точек и ее предел | 434
|
| § 151. Предел функции нескольких переменных | 437
|
| § 151а. Задачи к §§ 150—151 | 439
|
| § 152. Непрерывность функции нескольких переменных | 440
|
| § 153. Бесконечно малые величины | 440
|
| § 153а. Задачи к § 153 | 443
|
| § 154. Частные производные | 444
|
| § 155. Геометрическое истолкование частных производных от функций двух переменных | 446
|
| § 155а. Задачи к §§ 154—155 | 447
|
| § 156. Частные приращения и частные дифференциалы | 447
|
| § 157. О выражении частной производной через дифференциалы | 450
|
| § 158. Полное приращение и полный дифференциал | 451
|
| § 159. Достаточное условие дифференцируемости | 455
|
| § 160. Дифференциал линейной функции | 458
|
| § 161. Сложная функция | 459
|
| § 162. Инвариантная форма полного дифференциала | 461
|
| § 163. Техника дифференцирования функций нескольких переменных | 464
|
| § 163а. Задачи к §§ 156—163 | 467
|
| § 164. Полная производная | 468
|
| § 164а. Задачи к § 164 | 471
|
| § 165. Полный дифференциал в приближенных вычислениях | 471
|
| § 165а. Задачи к § 165 | 473
|
| § 166. Касательная плоскость и нормаль к поверхности | 474
|
| § 167. Геометрическое истолкование полного дифференциала функции двух переменных | 476
|
| § 168. Дифференцирование неявной функции одной переменной | 478
|
| § 169. Дифференцирование неявной функции нескольких переменных | 483
|
| § 169а. Задачи к § 169 | 486
|
| § 170. Общий вид уравнений касательной и нормали | 486
|
| § 170а. Задачи к § 170 | 490
|
| § 171. Общий вид уравнений касательной плоскости и нормали к по¬верхности | 490
|
| § 171а. Задачи к § 171 | 493
|
| § 172. Производная по направлению | 493
|
| § 173. Градиент | 497
|
| § 173а. Задачи к §§ 172—173 | 503
|
| § 174. Частные производные высших порядков | 504
|
| § 175. Полные дифференциалы высших порядков | 506
|
| § 176, Техника повторного дифференцирования | 509
|
| § 176а. Задачи к §§ 174—176 | 511
|
| § 177. Экстремум функции нескольких переменных | 512
|
| § 178. Достаточное условие экстремума (случай двух аргументов) | 515
|
| § 179. Разыскание наибольшего и наименьшего значений функции нескольких переменных | 517
|
| § 179а. Задачи к § 179 | 523
|
| Ответы и решения | 524
|
| ПРИЛОЖЕНИЯ | 577
|
| 1. Таблица натуральных логарифмов | 577
|
| 2. Таблица для перехода от натуральных логарифмов к десятичным | 581
|
| 3. Таблица для перехода от десятичных логарифмов к натуральным | 581
|
| 4. Показательная функция еx | 582
|
| 5. Перевод градусной меры в радианную | 583
|
| 6. Перевод радианной меры в градусную | 584
|
| 7. Греческий алфавит | 584
|
| Алфавитный указатель | 585
|
Выгодский Марк Яковлевич