Обложка Выгодский М.Я. Дифференциальное исчисление: Учебный комплекс «Теоретический курс. Задачник», специально разработанный для самостоятельного изучения предмета по программе высших технических учебных заведений
Id: 275991
879 руб.

Дифференциальное исчисление:
Учебный комплекс «Теоретический курс. Задачник», специально разработанный для самостоятельного изучения предмета по программе высших технических учебных заведений Изд. 2

URSS. 2021. 600 с. ISBN 978-5-9710-9058-8.

Аннотация

Вниманию читателей предлагается руководство по высшей математике, написанное выдающимся математиком и педагогом М.Я.Выгодским. Книга была составлена применительно к программе по основному курсу высшей математики для студентов высших технических учебных заведений, обучающихся заочно, и поэтому особое внимание в ней было уделено примерам, поясняющим теоретические выводы, а зачастую и предваряющим последние. По той же причине учебник содержит ...(Подробнее)многочисленные задачи для самостоятельного решения, сопровождаемые необходимыми пояснениями и указаниями. В конце книги помещены ответы, а для более трудных задач также и решения.

Настоящая книга посвящена дифференциальному исчислению; в ней даются основные понятия математического анализа и некоторые важные применения дифференциального исчисления. Первая книга серии, в которой содержится материал по аналитической геометрии, выходит одновременно со второй в нашем издательстве.

Книга рекомендуется прежде всего студентам физико-математических и технических вузов. Она также будет полезна преподавателям и научным работникам.


Оглавление
Из предисловия к первому изданию9
Советы учащимся11
Глава I. Основные понятия математического анализа13
§ 1. Вводные замечания13
§ 2. Действительные (вещественные) числа14
§ 3. Числовая ось16
§ 4. Сравнение действительных чисел17
§ 5. Десятичные приближения действительного числа17
§ 6. Разложение действительного числа в бесконечную десятичную дробь20
§ 7. Сравнение действительных чисел при помощи их разложений22
§ 8. О действиях над действительными числами22
§ 9. О приближенных вычислениях23
§ 10. Переменные и постоянные величины24
§ 11. Область изменения переменной величины; промежуток25
§ Па. Вопросы к §§ 10—1127
§ 12. Функциональная зависимость28
§ 13. Функция29
§ 13а. Вопросы к §§ 12—1334
§ 14. Способы представления функции34
§ 14а. Задачи и вопросы к § 1439
§ 15. Область существования аналитически заданной функции40
§ 15а. Задачи к § 1543
§ 16. Обозначение функции44
§ 16а. Задачи к § 1646
§ 17. Однозначные и многозначные функции47
§ 18. Возрастающие и убывающие (монотонные) функции49
§ 19. Обратная функция51
§ 20. Функция от функции (сложная функция)55
§ 20а. Задачи и вопросы к §§ 17—2056
§ 21. Некоторые важнейшие функции57
§ 22. Степенная функция60
§ 22а. Задачи и вопросы к §§ 21—2263
§ 23. Показательная функция64
§ 24. Логарифмическая функция65
§ 24а. Задачи и .опросы к §§ 23—2466
§ 25. Тригонометрические функции66
§ 26. Обратные тригонометрические функции70
§ 27. Построение графиков с помощью изменения масштабов и параллельного переноса72
§ 28. Дробно-линейная функция77
§ 28а. Задачи к §§ 25—2880
§ 29. Элементарные функции80
Глава II. Предел82
§ 30. Вводные замечания82
§ 31. Последовательность82
§ 32. Предел последовательности85
§ 32а. Вопросы и задачи к §§ 31—3291
§ 33. Предварительное понятие о пределе функции92
§ 34. Определение предела функции94
§ 34а. Задачи к §§ 33—3496
§ 35. Односторонний предел97
§ 36. Расширение понятия предела последовательности98
§ 37. Расширение понятия предела функции100
§ 38. Непрерывность функции в точке105
§ 39. Непрерывность функции в промежутке112
§ 40. Бесконечно малая величина117
§ 41. Бесконечно малая величина и предел118
§ 42. Бесконечно большая величина119
§ 42а. Вопросы к §§ 40—42120
§ 43. Основные свойства бесконечно малых величин121
§ 44. Свойства конечных пределов124
§ 44а. Задачи к § 44129
§ 45. Операции над непрерывными функциями130
§ 46. Леммы о пределах131
§ 47. Признак существования предела133
§ 48. Число е134
§ 49. Предел (1+а)1/а при бесконечно малом а138
§ 50. Предел log(1+а)/a при а → 0; натуральные логарифмы139
§ 50а. Задачи к §§ 48—50142
§ 51. Предел sina/a при бесконечно малом а142
§ 52. Эквивалентные бесконечно малые величины144
§ 52а. Задачи к §§ 51—52147
§ 53. Сравнение бесконечно малых величин148
§ 53а. Задачи к § 53151
Глава III. Производная функция и дифференциал152
§ 54. Вводные замечания152
§ 55. Приращение переменной величины153
§ 56. Приращение непрерывной функции154
§ 57. Скорость155
§ 58. Скорость изменения функции157
§ 59. Производная160
§ 60. Касательная163
§ 61. Односторонняя производная; односторонняя касательная168
§ 62. Производные некоторых простейших функций171
§ 63. Свойства производной173
§ 63а. Задачи к §§ 57—63174
§ 64. Производная степенной функции175
§ 64а. Задачи к § 64177
§ 65. Главная линейная часть приращения177
§ 66. Дифференциал178
§ 67. Эквивалентность дифференциала и приращения181
§ 68. Механическое истолкование дифференциала182
§ 69. Геометрическое истолкование дифференциала183
§ 70. Дифференцируемые функции183
§ 71. Дифференциалы некоторых простейших функций185
§ 72. Свойства дифференциала186
§ 72а. Задачи к §§ 65—72187
§ 73. Инвариантная форма дифференциала187
§ 74. Выражение производной через дифференциалы190
§ 75. Дифференцирование сложной функции191
§ 75а. Задачи к §§ 73—75195
§ 76. Дифференцирование произведения195
§ 77. Дифференцирование частного (дроби)198
§ 77а. Задачи к §§ 76—77199
§ 78. Формулы дифференцирования тригонометрических функций200
§ 78а. Задачи к § 78201
§ 79. Дифференцирование логарифмической функции202
§ 79а. Задачи к § 79204
§ 80. Логарифмическое дифференцирование204
§ 80а. Задачи к § 80205
§ 81. Дифференцирование показательной функции206
§ 81а. Задачи к § 81207
§ 82. Производная обратной функции207
§ 83. Дифференцирование обратных тригонометрических функций209
§ 83а. Задачи к § 83212
§ 84. Параметрическое задание линии213
§ 85. Касательная к параметризованной линии220
§ 86. О параметрическом представлении функции223
§ 86а. Задачи к §§ 84—86224
§ 87. Производная неявной функции225
§ 87а. Задачи к § 87228
§ 88. Вторая производная228
§ 89. Вторая производная функции, заданной параметрически230
§ 90. Второй дифференциал232
§ 91. Выражение второй производной через дифференциалы234
§ 92. Примеры применения второго дифференциала236
§ 93. Производные и дифференциалы высших порядков239
§ 93а. Задачи к §§ 88—93241
Глава IV. Некоторые применения дифференциального исчисления к исследованию функций243
§ 94. Вводные замечания243
§ 95. Теорема о наименьшем и наибольшем значениях функции243
§ 96. Правило для разыскания наибольших и наименьших значений245
§ 97. Наибольшее и наименьшее значения физических и геометрических величин249
§ 97а. Задачи к §§ 96-97252
§ 98. Теорема Ролля253
§ 99. Теорема Лагранжа (о среднем значении)255
§ 100. Формула конечных приращений258
§ 100а. Вопросы и задачи к §§ 98—100259
§ 101. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции260
§ 102. Экстремум функции265
§ 103. Достаточные признаки наличия и отсутствия экстремума266
§ 104. Правило для разыскания экстремумов268
§ 104а. Вопросы и задачи к §§ 101—104274
§ 105. Второй достаточный признак экстремума275
§ 105а. Задачи к § 105280
§ 106. Характер вогнутости280
§ 107. Точка перегиба283
§ 107а. Задачи к §§ 106—107289
§ 108. Четные и нечетные функции289
§ 109. Асимптоты290
§ ПО. Вертикальные асимптоты291
§ 111. Невертикальные асимптоты293
§ 111а. Задачи к §§ 108—111299
§ 112. О построении графиков299
§ 112а. Задачи к § 112306
Глава V. Дальнейшие приложения дифференциального исчисления (раскрытие неопределенностей, некоторые приближенные вычисления)307
§ 113. Теорема Коши (о среднем значении)307
§ 114. Раскрытие неопределенностей вида 0/0 Правило Лапиталя311
§ 114а. Задачи к § 114314
§ 115. Раскрытие неопределенности вида ∞/∞315
§ 116. Неопределенные выражения других видав316
§ 116а. Задачи к §§ 115—116319
§ 117. Формула Тейлора (простейшие случаи)319
§ 118. Формула Тейлора (общий случай)326
§ 119. Вычисление логарифмов с помощью формулы Тейлора331
§ 120. Вычисление значений показательной функции336
§ 121. Вычисление значений sin x, cos х341
§ 121а. Задачи к §§ 117—121345
§ 122. Численное решение уравнений (постановка вопроса)346
§ 123. Отделение корней347
§ 124. Уточнение корня. Способ проб349
§ 124а. Задачи к §§ 122—124351
§ 125. Уточнения корня. Правило пропорциональных частей (способ хорд)351
§ 125а. Задачи к § 125357
§ 126. Уточнение корня. Правило Ньютона (способ касательных)357
§ 126а. Задачи к § 126362
§ 127. Комбинированный способ хорд и касательных362
§ 127а. Задачи к § 127365
Глава VI. Некоторые геометрические приложения дифференциального исчисления366
§ 128. Уравнение касательной к линии y = f(x)366
§ 129. Уравнение касательной к параметризованной линии367
§ 129а. Задачи к §§ 128—129369
§ 130. Нормаль к плоской линии369
§ 130а. Задачи к § 130371
§ 131. Центр, радиус и круг кривизны372
§ 131а. Задачи к § 131382
§ 132. Эволюта плоской линии383
§ 133. Эвольвента плоской линии385
§ 133а. Задачи к §§ 132—133387
§ 134. Кривизна387
§ 135. Другое определение кривизны390
§ 135а. Задачи к §§ 134—135391
§ 136. Параметрическое задание пространственной линии392
§ 137. Винтовая линия394
§ 138. Касательная к пространственной линии398
§ 139. Вектор-функция скалярного аргумента400
§ 140. Предел вектор-функции402
§ 141. Производная вектор-функции скалярного аргумента406
§ 142. Дифференциал вектор-функции скалярного аргумента409
§ 143. Правила дифференцирования вектор-функций410
§ 143а. Задачи к §§ 136—143413
Глава VII. Дифференцирование функций нескольких переменных415
§ 144. Функция двух переменных415
§ 145. Геометрическое представление аргументов функции двух пе¬ременных418
§ 146. Функция точки420
§ 147. Способы представления функции двух переменных422
§ 148. Функция трех и большего числа переменных429
§ 149. Способы представления функции трех переменных431
§ 149а. Вопросы и задачи к §§ 144—149433
§ 150. Последовательность точек и ее предел434
§ 151. Предел функции нескольких переменных437
§ 151а. Задачи к §§ 150—151439
§ 152. Непрерывность функции нескольких переменных440
§ 153. Бесконечно малые величины440
§ 153а. Задачи к § 153443
§ 154. Частные производные444
§ 155. Геометрическое истолкование частных производных от функций двух переменных446
§ 155а. Задачи к §§ 154—155447
§ 156. Частные приращения и частные дифференциалы447
§ 157. О выражении частной производной через дифференциалы450
§ 158. Полное приращение и полный дифференциал451
§ 159. Достаточное условие дифференцируемости455
§ 160. Дифференциал линейной функции458
§ 161. Сложная функция459
§ 162. Инвариантная форма полного дифференциала461
§ 163. Техника дифференцирования функций нескольких переменных464
§ 163а. Задачи к §§ 156—163467
§ 164. Полная производная468
§ 164а. Задачи к § 164471
§ 165. Полный дифференциал в приближенных вычислениях471
§ 165а. Задачи к § 165473
§ 166. Касательная плоскость и нормаль к поверхности474
§ 167. Геометрическое истолкование полного дифференциала функции двух переменных476
§ 168. Дифференцирование неявной функции одной переменной478
§ 169. Дифференцирование неявной функции нескольких переменных483
§ 169а. Задачи к § 169486
§ 170. Общий вид уравнений касательной и нормали486
§ 170а. Задачи к § 170490
§ 171. Общий вид уравнений касательной плоскости и нормали к по¬верхности490
§ 171а. Задачи к § 171493
§ 172. Производная по направлению493
§ 173. Градиент497
§ 173а. Задачи к §§ 172—173503
§ 174. Частные производные высших порядков504
§ 175. Полные дифференциалы высших порядков506
§ 176, Техника повторного дифференцирования509
§ 176а. Задачи к §§ 174—176511
§ 177. Экстремум функции нескольких переменных512
§ 178. Достаточное условие экстремума (случай двух аргументов)515
§ 179. Разыскание наибольшего и наименьшего значений функции нескольких переменных517
§ 179а. Задачи к § 179523
Ответы и решения524
ПРИЛОЖЕНИЯ577
1. Таблица натуральных логарифмов577
2. Таблица для перехода от натуральных логарифмов к десятичным581
3. Таблица для перехода от десятичных логарифмов к натуральным581
4. Показательная функция еx582
5. Перевод градусной меры в радианную583
6. Перевод радианной меры в градусную584
7. Греческий алфавит584
Алфавитный указатель585

Об авторе
Выгодский Марк Яковлевич
Советский историк математики и педагог, доктор физико-математических наук (1938), профессор (1942). Окончил физико-математический факультет Московского университета в 1923 г. Профессор механико-математического факультета МГУ в 1933–1941 и 1945–1948 гг. С 1952 г. — профессор Тульского педагогического института (ныне — Тульский государственный педагогический университет).

Область научных интересов М. Я. Выгодского — история математики Древнего мира, дифференциальная геометрия. Он автор целого ряда учебников и справочников по математике, один из основателей Советской историко-математической школы, переводчик сочинений И. Кеплера, Г. Монжа, Л. Эйлера. Вместе с С. А. Яновской организовал в МГУ семинар по истории математики. Основные труды: «Галилей и инквизиция» (1934), «Арифметика и алгебра в Древнем мире» (1941), учебник «Основание исчисления бесконечно малых» (1931), учебное пособие «Справочник по элементарной математике» (1941).