Хаусдорф Ф. Теория множеств.
Пер. с нем. Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие к русскому изданию

"Теория множеств" Хаусдорфа принадлежит к тем, исчисляющимся единицами, классическим произведениям математической литературы, которые не только подводят итоги целому периоду в развитии данной дисциплины, но и намечают пути дальнейшего исследования.

Когда говорят о "Теории множеств" Хаусдорфа, то, собственно, имеют в виду две книги: первое издание, вышедшее в 1914 г. под названием "Grundz\"uge der Mengenlehre", и второе издание, вышедшее в 1927 г. и озаглавленное просто "Mengenlehre". Эти две книги настолько отличаются друг от друга по своему содержанию, что должны быть рассматриваемы как два произведения математической литературы, а не как два издания одной и той же книги. Наиболее существенными отличиями этих двух книг являются следующие: 1) теория топологических пространств, являющаяся основой изложения в первом издании и впервые систематически построенная Хаусдорфом, во втором издании представлена лишь одним параграфом: все изложение теории точечных множеств ведется во втором издании для метрических пространств; 2) во втором издании отсутствует теория меры и лебеговского интеграла, а также топология эвклидовой плоскости и n-мерного пространства; 3) во втором издании прибавлена – и при том в мастерском изложении – теория A-множеств Суслина [в настоящем переводе эти множества в соответствии с терминологией, принятой Хаусдорфом, называются по имени открывшего их М.Я.Суслина (род. в 1894 г., ум. в 1919 г.) суслинскими множествами].

Причины, приведшие автора к отказу, во втором издании, от столь обширного материала, входившего в первое издание, изложены им в предисловии ко второму изданию: они в основном состоят в требовании сокращения объема, которое автору было предъявлено его издателем. Несомненно, что отказ от топологического построения теории точечных множеств, составлявшего одно из наиболее блестящих достижений первого издания книги Хаусдорфа, является большим ущербом: сам автор говорит в своем предисловии с явным сожалением о необходимости пойти на это.

Редакторы русского перевода решили восстановить этот ущерб, нанесенный книге соображениями внешнего характера: поддержанные в этом отношении ОНТИ, они решили вернуться к топологической точке зрения, создавшей по справедливости такую большую славу первому изданию книги. Таким образом мы сделали попытку соединить большие достоинства второго издания – достоинства, заключающиеся прежде всего в окончательной логической отделке и отшлифовке всего материала, – с преимуществами первого издания. Однако невозможно было достичь поставленной цели, механически воспользовавшись текстом первого издания: как раз это первое издание было стимулом настолько мощного развития теории топологических пространств, что теория эта теперь выглядит совершенно не так, как выглядела она в 1914 г., когда появилось в свет первое издание книги Хаусдорфа. Переделывая таким образом главы второго издания, посвященные общей (топологической) теории множеств, мы должны были их привести к уровню современной теории топологических пространств. Соответствующее этому требованию изложение этой теории только что было сделано одним из нас в книге Alexandroff und Hopf, Topologie I (главы I и II). Этим изложением (с некоторыми сокращениями) и естественно было воспользоваться. Трудную задачу согласования этого материала со всем остальным материалом книги Хаусдорфа, разнесения его по уже данной схеме этой книги, слияния его с оставшимися главами Хаусдорфа в одно целое – взял на себя и, как нам кажется, превосходно разрешил Н.Б.Веденисов. Вся эта работа, далеко выходящая, конечно, за рамки обычного труда переводчика, проведена Н.Б.Веденисовым при нашем постоянном редакционном участии и, естественно, всецело под нашей и только нашей ответственностью.

Кроме того, в соответствии с новейшими исследованиями самого Хаусдорфа, А.Н.Колмогорова, Л.В.Канторовича и Е.М.Ливенсона, переработаны параграфы, относящиеся к операциям над множествами и их применениям. Нам кажется, что эта переработка сделана в духе общих устремлений книги Хаусдорфа.

Наконец, в виде особого приложения мы сочли целесообразным дать перевод статьи самого Хаусдорфа о линейных пространствах. В последний момент мы узнали, что Хаусдорф в третьем немецком издании также решил ввести главу, посвященную этому предмету. Таким образом, несмотря на то, что – как следует из сказанного – книга Хаусдорфа подверглась в наших руках значительной переработке, мы надеемся на то, что остались в полной мере верны духу подлинника. Наша задача была – дать в руки советскому читателю книгу, во всем основном и существенном заменяющую и первое и второе издания книги Хаусдорфа, и сохранить при этом весь тот текст подлинника, который можно было сохранить, оставаясь на уровне сегодняшнего дня в теории множеств. Если эта задача решена нами сколько-нибудь удовлетворительно, то читатель получит в руки действительно капитальное руководство по теории множеств, изучив которое, он окажется вполне подготовленным для чтения сколь угодно специальной литературы по этой дисциплине и для посильного участия в ее дальнейшей разработке.

Болшево-Комаровка 7 августа 1936 г.

Предисловие автора

Предлагаемая книга ставит своей целью изложить важнейшие теоремы теории множеств так, чтобы ее прочтение не требовало обращения к посторонним источникам и, наоборот, могло служить более глубокому проникновению в обширную литературу вопроса. Она не предполагает в читателе никаких математических познаний более высоких, чем знакомство с элементами диференциального и интегрального исчислений, но требует некоторой остроты абстрактного мышления и может быть с пользой прочитана студентами средних семестров. Более трудные вопросы, помещенные в конце отдельных глав, могут быть опущены в первом чтении. Читатель, желающий ознакомиться только с простейшими фактами теории точечных множеств, может после беглого ознакомления с первыми двумя главами обратиться прямо к шестой. Для специалистов я надеюсь дать нечто новое, хотя бы с формальной точки зрения, особенно в уточнении предложений, упрощении доказательств и в устранении ненужных ограничений.

Выбор материала в такой обширной, еще и в настоящее время развивающейся области по необходимости должен носить несколько субъективный характер и оставить невыполненными пожелания многих (в том числе и автора): учебник не может стремиться к полноте реферата. К этому еще присоединяется то обстоятельство, что внешние рамки, в которых появляется снова эта книга, требовали сильного уменьшения размера против первого издания (Grundzuge der Mengenlehre, Leipzig 1914), что сделало необходимыми частные изменения, от которых я перешел к полной переработке. Мне показалось, что из рассматривавшихся раньше вопросов я легче всего могу пожертвовать теорией упорядоченных множеств, несколько изолированно стоящей (сохранив, однако, небольшое извлечение из нее), и, далее, введением в лебеговскую теорию меры и интегрирования, в изложениях которой нет недостатка. Может быть, больше, чем об этих сокращениях, следует сожалеть о том, что в целях дальнейшей экономии объема я пожертвовал топологической точкой зрения в теории множеств, невидимому, доставившей так много друзей первому изданию, и ограничился более простой теорией метрических пространств; беглый обзор теории топологических пространств не может служить достаточной заменой. Наконец, я ограничил общность не только сверху, но и снизу и опустил специальную теорию эвклидовских пространств (например теорему Жордана о плоских кривых), т.е. почти все, что основано на аппроксимирующих полигонах и полиэдрах; в книге можно найти некоторое количество теорем об эвклидовском пространстве, но только таких, которые имеют в нем место как в частном случае метрических или полных или локально связных и т.п. пространств. Этим сокращениям противопоставляется более полное рассмотрение борелевских и открытых в 1917 г. суслинских множеств, а также бэровских функций; подробнее, чем раньше, рассмотрены также непрерывные отображения и гомеоморфия. Так же, как и раньше, я не вдавался в обсуждение антиномий и критику основ. Между старой и новой книгами имеется некоторое различие в терминах и обозначениях, в которых по большей части и до сих пор господствует несогласованность, порой приводящая к недоразумениям; там, где я нашел это уместным, я принял во внимание предложения других авторов, но часто не видел никаких причин отклоняться от своих привычек.

Г-н Н. Hahn взял на себя большой труд полностью прочесть корректуру и оказал мне помощь многими критическими замечаниями и ценными улучшениями. За многие советы и указания я благодарю П.С.Александрова. Г-ну Серпинскому я обязан за письменные сообщения и посылку корректур вновь появляющихся работ. Рисунки выполнил г-н Е. A.Weiss. Всем этим коллегам я высказываю сердечную благодарность.

Об авторе

Хаусдорф Феликс

Известный немецкий математик. В 1891 г. окончил Лейпцигский университет. С 1895 г. преподавал там же (профессор с 1902 г.). Позже был профессором университета в Грейфсвальде, а с 1921 г. — в Бонне.

Ф. Хаусдорф считается одним из основоположников современной топологии. Он ввел и впервые исследовал важные в топологии понятия хаусдорфова пространства (1914), топологического предела, частично упорядоченного множества, а также хаусдорфовой размерности (1919). В теории множеств Хаусдорф полностью решил (одновременно с П. С. Александровым и независимо от него) проблему мощности борелевых множеств, построил теорию меры (мера Хаусдорфа) в пространствах многих измерений, разработал теорию упорядоченных множеств, в частности впервые доказал лемму Цорна. Его труд «Теория множеств» (1914) оказал влияние на развитие всех отраслей математики, опирающихся на теорию множеств. Хаусдорф также внес большой вклад в функциональный анализ, теорию топологических групп и теорию чисел.