URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Лапковский А.К. Релятивистская кинематика, неевклидовы пространства и экспоненциальное отображение Обложка Лапковский А.К. Релятивистская кинематика, неевклидовы пространства и экспоненциальное отображение
Id: 275625
1448

Релятивистская кинематика, неевклидовы пространства и экспоненциальное отображение Изд. 2

2021. 264 с.
Белая офсетная бумага
Развертки в аффинном расслоении и математическая теория неголономной системы отсчета.
Обобщенные лоренцевы преобразования (бусты), неевклидова геометрия и кинематика псевдориманова пространства.
Белая офсетная бумага.

Аннотация

В книге с единой (групповой) точки зрения изложены основы континуальной релятивистской кинематики, неевклидовой и конформной геометрии. В ней получена и проанализирована полная система кинематических уравнений релятивистского континуума, позволившая вскрыть в самом общем виде природу релятивистского вращения. Дано применение этой системы к описанию локально инерциальных систем отсчета и кинематики движения релятивистской спиновой... (Подробнее)


Содержание
top
Предисловие к первому изданию3
Введение6
Список часто употребляемых обозначений и символов8
Векторные и неевклидовы пространства и их группы преобразований8
Многообразия с аффинной связностью10
Релятивистская кинематика11
Символы и общие соглашения12
Часть первая Развертки в аффинном расслоении и математическая теория неголономной системы отсчета13
Глава 1. Лифты и развертки локальных путей в аффинном расслоении дифференцируемого многообразия13
§ 1. Приближенная теория разверток в аффинном расслоении. Структура компонент параллельно переносимых тензоров13
§ 2. Сравнение горизонтальных путей и разверток в аффинном расслоении при вариации линейной связности20
Глава 2. Математическая теория неголономной системы отсчета с принудительным вращением24
§ 1. Кинематические уравнения релятивистского континуума24
§ 2. Теория развертки в 1ϥ4 и кинематический смысл дифференциальных форм релятивистского континуума30
§ 3. Тензор скоростей деформации и тензор спина среды. Малая частица среды39
§ 4. Классификации релятивистских сплошных сред45
§ 5. Относительные инфинитезимальные скорость и ускорение. Характеристика относительного вращения. Возможности экспериментального измерения50
§ 6. Законы распространения вращения, сдвига и расхождения56
§ 7. Сложение движений относительно деформируемых и вращающихся релятивистских систем отсчета59
§ 8. Локально инерциальная система отсчета для индивидуализированной спиновой частицы67
§ 9. Локально инерциальная система отсчета для окрестности точки в пространстве гравитации71
Часть вторая Обобщенные лоренцевы преобразования (бусты), неевклидова геометрия и кинематика псевдориманова пространства78
Глава 1. Бустовые вращения и аффиноры, сохраняющие изотропную q-мерную плоскость. Подмногообразия с параллельным нормальным векторным полем78
§ 1. Экспоненциальное отображение гиперсферы и глобальное параллельное перенесение реперов на ней78
§ 2. Соотношения между различными параметризациями гиперсферы lQrn92
§ 3. Стереографическое отображение гиперсферы и конформная параметризация бустов97
§ 4. Бустовое представление полной группы движений гиперсферы lQrn и связь бустов с общими вращениями в lEn+1104
§ 5. Изотропные бусты и преобразования, сохраняющие изотропную q-мерную плоскость114
§ 6. Полуканонические формы симметричных аффиноров, имеющих изотропное главное направление126
§ 7. О подмногообразиях с параллельным нормальным векторным полем, погруженных в lQrn134
Глава 2. Неевклидовы пространства lSrn и бусты140
§ 1. Способы задания расширенного неевклидова пространства141
§ 2. Расширение открытого мира Фридмана посредством перехода от сферы 1Qia3 к неевклидову пространству 1Sia3150
§ 3. Движения в lSrn и сверхсветовые вращения152
Глава 3. Полунеевклидовы пространства как предельные для неевклидовых156
§ 1. Предельный переход от неевклидова пространства к полунеевклидову156
§ 2. Экспоненциальное отображение полунеевклидова пространства и бустовое представление его группы движений160
Глава 4. Псевдоконформная геометрия166
§ 1. Расширения стереографического отображения и псевдоконформное пространство ζСn167
§ 2. Примеры псевдоконформного пространства. Топологическая структура173
§ 3. Полярное соответствие и его композиция с расширенным стереографическим отображением. Пучки гиперсфер177
§ 4. Группа псевдоконформных преобразований и ее бустовая параметризация185
§ 5. Интерпретация группы вращений гиперсферы на плоской модели ζСn195
§ 6. Вырожденное псевдоконформное пространство как абсолют полунеевклидова пространства199
Глава 5. Слоения на гиперповерхностях lEn+1 и конформно-плоские римановы пространства199
§ 1. Гиперповерхности с равными главными кривизнами и конформно-плоские гиперповерхности199
§ 2. Основная теорема о локальном изометрическом вложении класса один конформно-плоского риманова пространства201
Глава 6. Квазиэкспоненциальное и квазистереографическое отображения гиперповерхностей в lEn+1 и нёизотропные космологические метрики205
§ 1. Гиперповерхности, составленные из окружностей кривизны205
§ 2. Нормальная кривизна гиперповерхности с изотропными главными направлениями и гиперповерхности лоренцевой сигнатуры208
§ 3. Неоднородное пространство Лобачевского210
§ 4. Неизотропные космологические метрики212
§ 5. Глобальное экспоненциальное отображение и аппроксимация метрик Вселенной213
Глава 7. Линейчатая дифференциальная геометрия в lSrn и бусты214
§ 1. Дифференциальная окрестность прямой в lSrn214
§ 2. Предельный переход к плоскому пространству222
§ 3. Приложение бустовых преобразований к канонизации подвижного репера комплекса прямых223
§ 4. Группа инвариантности m-мерной плоскости в lSrn и канонизация подвижного репера комплекса плоскостей226
Глава 8. Некоторые геометрические и кинематические задачи в римановом пространстве lϥn+1, решаемые с помощью бустов230
§ 1. Полная кинематическая система уравнений конти¬нуума риманова пространства, снабженного реперной структурой230
§ 2. О кинематических аспектах перенесений реперов в римановом пространстве lϥn+1237
Заключение246
Литература249
СОДЕРЖАНИЕ261

Предисловие к первому изданию
top
Предлагаемая вниманию читателя монография А. К. Лапковского представляет собой плод длительной систематической работы автора в области геометрии, непосредственно граничащей с одним из фундаментальных разделов физики — эйнштейновой теорией относительности. Поэтому изложенный здесь материал представляет ценность для обеих наук, тем более что ему придана современная, весьма компактная и емкая форма. Конечно, с первых же страниц видно, что автор — прежде всего математик; это отражается не только на стиле изложения и подходе к выбору примеров и физических приложений, но и на требованиях, которые он предъявляет к читателю. Автор предполагает, что читатель достаточно свободно владеет математическим языком и не нуждается в напоминаниях о смысле многих понятий и определений, не столь уж элементарных. Поэтому читателю-физику иногда придется заглядывать в литературу учебного типа, чтобы освежить в памяти эти основы, и я позволю себе сразу указать соответствующие издания, не опасаясь возможных пересечений с библиографией, составленной А. К. Лапковским.

Кроме обширного курса Б. А. Дубровина, С. П, Новикова и А. Т. Фоменко [1, 2] упомяну хорошие пособия по теории многообразий, расслоений и римано-вой геометрии [3—8]. Среди книг, написанных физиками, можно отметить обширный курс [9], где изложены (возможно, слишком подробно) основы геометрического аппарата; по тетрадному формализму и системам отсчета советую читателю монографии [10—13]. Вся эта литература имеется на русском языке. Из иноязычных изданий уместно указать большой о0зор [14], посвященный проблемам калибровочных полей и гравитации, а также великолепные монографии [15, 16] (во второй из них вторая глава вполне может служить введением в современные методы римановой геометрии). Специфические свойства пространств с лоренцевой сигнатурой (но без кручения) подробно рассмотрены в работе [17], а теория подпространств (с учетом и кручения) — в [18]. Методу форм Картана посвящены книги [19, 20].

При всей современности монографии (в том числе и в терминологии) автор ограничивается тензорным методом и методом дифференциальных форм, не переходя на более глубокий язык спиноров. Вместе с тем использование двухкомпонентных спиноров (в духе Ван-дер-Вардена и Инфельда) позволяет вскрывать и просто анализировать завуалированные детали структуры пространства — времени, иногда вообще недоступные для тензорного аппарата. Лучшее из пособий по спинорному методу—книга Р. Пенроуза и В. Риндлера [21], которая запланирована в издательстве «Мир» (ранее выпустившем краткий вариант, принадлежащий перу одного из авторов — см. [22]). Второй том книги [21] будет в значительной мере посвящен теории твисторов и ее приложениям — удивительному по своей оригинальности и глубине направлению математики, стимулированному идеями релятивистской и квантовой механики (см. также [23, 24]). Дальнейшее развитие этих идей ведет отсюда в теорию супергравитации [25]. Мы видим, таким образом, что титанический труд Альберта Эйнштейна, приведший к созданию и расцвету важнейших разделов классической и квантовой физики нашего времени, плодотворно продолжается сильнейшими физиками и математиками всего мира.

Невозможно упомянуть все лучшие публикации по этому актуальному кругу проблем. Я надеюсь, что перечисление «изюминок» геометрической и релятивистской библиотеки не отвлечет читателя от главного объекта, лежащего перед ним,— книги А. К. Лапковского, которая должна занять в ней достойное место. Как математик автор прежде всего тяготеет к проблемам механики (не говоря уже собственно о геометрии). Поэтому в книге так высок удельный вес проблем теории релятивистских сплошных сред и анализа понятий и методов, связанных с системами отсчета. Результаты автора имеют самые интересные приложения — как в эксперименте и инженерии, так и в фундаментальной и поисковой областях, например в космологии, где важен синтез идей, связанных и с системами отсчета, и с подпространствами, и с конформно плоскими многообразиями (см. во II части главы 2, 5, 6). В конце книги рассматриваются пространства произвольных размерности и сигнатуры; эти идеи и результаты представляют интерес для бурно развивающихся в настоящее время многомерных теорий в физике (типа единое теории поля); см. указание на их простые варианты в [12, 26]. Одним словом, монография А. К. Лапковского должна заинтересовать и геометров, и физиков-релятивистов. Несмотря на большое число разнообразных публикаций в этой области, она отмечена оригинальностью и по содержанию, и по форме и представляет собой значительный вклад в геометрию, граничащую с эйнштейновой теорией относительности, аппарат неголономных систем отсчета и метод экспоненциального отображения, столь плодотворный в геометрии (а потому и в физике).


Об авторе
top
photoЛапковский Анатолий Кузьмич
Кандидат физико-математических наук. Родился в г. Беломорске Карельской АССР, в семье военного. В 1963 г. с отличием окончил математический факультет Белорусского государственного университета имени В. И. Ленина, аспирантуру при университете. В 1967 г. защитил кандидатскую диссертацию, в 1971 г. утвержден в ученом звании доцента. Весь трудовой путь А. К. Лапковского был связан с Могилевским педагогическим институтом (ныне Могилевский государственный университет имени А. А. Кулешова), где он проработал сначала в должности старшего преподавателя кафедры геометрии и методики математики, а с 1971 г. и до конца жизни — доцентом кафедры алгебры и геометрии, являясь в течение 10 лет ее заведующим.

А. К. Лапковский много и плодотворно занимался научными исследованиями, работал над вопросами преподавания геометрии в вузе и школе, имел обширные научные контакты с ведущими специалистами в республике Беларусь и за ее пределами. Он автор множества научных работ, среди которых две монографии: «Релятивистская кинематика, неевклидовы пространства и экспоненциальное отображение» (1985) и «Алгоритмы изображения движущихся тел при параллельном и центральном проецировании: Аксонометрия и компьютеризация изображений» (1993).