Панюков А.В. Математическое МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ.
Линейные модели производства. Производственные функции. Моделирование распределения инвестиций. Экономическое равновесие. Изд. стереотип.

Оглавление

Из главы 1

1. Математическое моделирование

1.1. Математические системы и моделирование

Моделирование – специфический способ познания, при котором некоторые характерные черты одной системы воспроизводятся в другой системе.

Таким образом, теоретическая схема моделирования включает по меньшей мере две системы: исследуемуюсистему, или систему-объект, и систему-модель. Если же мы хотим использовать математику, то модель мы должны трактовать как математический объект, являющийся системой.

Реальная действительность дает огромное разнообразие систем объектов. Отношение познающего субъекта к таким системам двойственное. С одной стороны, объект вычленяется сознанием из окружающей среды как некое целостностное, внешне достаточно четко очерченное образование. С другой стороны строение объекта мыслится как неисчерпаемо-сложное. Типичными примерами таких систем могут служить конкретное сообщество людей, связанных какими-либо устойчивыми (например, экономическими связями), конкретная популяция живых организмов и т.п. Поскольку вычленение системы из окружающей среды есть мыслительный акт, то всякая система представляет собой абстрактный объект. Следовательно, разделение систем на реальные и абстрактные не вполне корректно. Тем не менее некоторые системы отождествляются сознанием с объектами реальной действительности. Такие системы естественно назвать реальными системами. Путем дальнейшей мыслительной деятельности можно образовать новые более абстрактные системы.

Например, отвлекаясь от частных особенностей организмов отдельных людей, мы создаем представление о человеческом организме как абстрактной системе.

Отправляясь от некоторой системы, можно образовывать все более абстрактные объекты, которые будут оставаться системами, если абстрагирование не заходит настолько далеко, что теряется главное условие системности – неисчерпаемая внутренняя сложность объекта. При этом неисчерпаемость носит относительный характер: она должна пониматься как невозможность адекватного отражения в сознании всей сложности внутреннего строения объекта. Такая невозможность определяется как ограниченностьюсредств отражения действительности, так и существованием объектов, сложность которых принципиально выше сложности человеческого мозга.

Более формально системное видение объекта можно противопоставить так называемому теоретико-множественному подходу, при котором объект мыслится как состоящий из определенных элементов, далее не делимых, не анализируемых. Затем фиксируются и принимаются во внимание только некоторые точно очерченные отношения между элементами. Абстрактный объект, который возникает в результате мысленного отвлечения от всего многообразия внутренних свойств, присущих системе за исключением некоторой явно фиксированной декомпозиции ее на элементы и фиксированных отношений между элементами мы назовем структурой данной системы.

На теоретико-множественном языке структура может быть представлена как объект вида (П, OMEGA), где П – множество элементов системы, OMEGA – множество фиксированных на P предикатов (т.е. свойств, отношений и т.п.) и операций. Зафиксировав некоторуюструктуру, присущую системе, мы получаем возможность описания системы на точном логико-предметном языке, содержащем переменные для обозначения произвольных элементов множества П, имена для фиксированных предикатов и операций, составляющих множество OMEGA, а также обычные логические средства. Совокупность всех предложений этого языка, истинных в структуре (П, OMEGA), называется теорией этой структуры. Эта теория является и описанием системы в том ее аспекте, который отражается данной структурой.

Хотя сущность системы как целостного объекта не сводится ни к какому конкретному представлениюее в виде структуры, при изучении систем обычно ограничиваются рассмотрением лишь некоторых ее сторон, выражаемых конкретными структурами, что позволяет получить описание системы в точных терминах. Однако в отличие от структуры, которая полностьюописываетс я своей теорией и в этом смысле тождественна ей, система как таковая не может быть описана ни на каком достаточно точном языке. В системах можно отыскивать новые структуры и получать соответствующие описания с других точек зрения.

В результате мысленного конструирования систем абстрагирование может подняться на столь высокуюступень, что в результате получится математический объект, который все еще может рассматриваться как система. Такие объекты естественно назвать математическими системами. Например, исходя из некоторой физической картины мира, мы мысленно отвлекаемся от всех свойств материальных тел, кроме их формы и взаимного расположения. В результате возникает типичный пример математической системы – геометрическое пространство.

Системный характер геометрического пространства особенно отчетливо проявляется в геометрии Евклида. Хотя евклидова геометрия представляет аксиоматическуютеорию, пространство в ней мыслится как существующее независимо от аксиом, которые выступают лишь как явно сформулированные его свойства. Здесь, в отличие от формальных аксиоматик нашего времени, геометрическое пространство как система, не подменяется совокупностьюпредст авлений о нем, зафиксированных в аксиомах. Различные аксиоматизации геометрии можно рассматривать как различные способы структуризации геометрического пространства. Таким образом, рассмотрение математических объектов как систем вытекает из общих представлений о формировании абстрактных систем, а именно: математические системы возникают на достаточно высоком уровне рассмотрения реальных систем. Но это не единственный путь образования математических систем. Подобно тому как некоторые реальные системы возникают в результате объединения и совместного функционирования отдельных элементов, так и математические объекты в совокупности могут проявлять системные свойства. В качестве примеров математических систем можно назвать систему действительных чисел, функциональные пространства, логические системы, понимаемые как системы знаний об объекте.

Таким образом, мы видим, что математические системы, существование которых неявно предполагается при рассмотрении математического моделирования занимают важное место среди математических объектов.

Об авторе

Панюков Анатолий Васильевич

Доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный работник высшей школы РФ. В 1980 г. окончил Челябинский политехнический институт (ныне ЮУрГУ) по специальности «Прикладная математика». В 1986 г. защитил кандидатскую диссертацию в Институте кибернетики АН УССР (Киев), в 1999 г. — докторскую диссертацию в области математического моделирования в ВЦ РАН им. А. А. Дородницына (Москва). С 2001 г. заведует кафедрой «Экономико-математические методы и статистика» в Южно-Уральском государственном университете. Автор более 220 публикаций. Награжден нагрудными знаками «Изобретатель СССР» и «Почетный работник высшего образования», имеет звание «Соросовский доцент». Член Ассоциации математического программирования, член диссертационных советов в ЮУрГУ и Пермском государственном университете, а также Научно-методического совета Территориального органа Федеральной службы государственной статистики по Челябинской области.