Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. КУРС СОВРЕМЕННОГО АНАЛИЗА.
В двух частях : Часть I: Основные операции анализа. Часть II: Трансцендентные функции. Пер. с англ. (Или КАК ОБРАЩАТЬСЯ СО СПЕЦИАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ТАК ЖЕ СВОБОДНО, КАК С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ). Ч.I–II. Изд. стереотип.

Курс современного анализа. В двух частях : Часть I: Основные операции анализа. Часть II: Трансцендентные функции. Пер. с англ. (Или как обращаться со специальными функциями так же свободно, как с элементарными функциями)

E.T.Whittaker, G.N.Watson. A course of modern analysis

2021. 864 с.

Мелованная бумага

Типографская бумага

Твердый переплет
Твердый переплет 2 варианта от 869 р. ››

Аннотация

Вниманию читателя предлагается труд известных английских математиков Э.Т.Уиттекера и Дж.Н.Ватсона, представляющий собой курс современного анализа. Книга включает в себя две части: первая содержит изложение основных вопросов комплексного анализа, вторая посвящена главным образом изучению различных классов специальных функций.

Основная цель книги в целом --- научить читателя обращаться со специальными функциями так же свободно, как он обращается... (Подробнее)

Содержание первой части

Предисловие ко второму русскому изданию
Глава 1.	Комплексные числа
	1.1	Рациональные числа
	1.2	Теория иррациональных чисел Дедекинда
	1.3	Комплексные числа
	1.4	Модуль комплексного числа
	1.5	Диаграмма Аргана
Литература
Примеры
Глава 2.	Теория сходимости
	2.1	Определение предела последовательности
	2.11	Определение термина "порядок величины"
	2.2	Предел возрастающей последовательности
	2.21	Предельные точки и теорема Больцано–Вейерштрасса
	2.211	Определение "наибольшего из пределов"
	2.22	Теорема Коши о необходимом и достаточном условии существования предела
	2.3	Сходимость бесконечных рядов
	2.301	Неравенство Абеля
	2.31	Признак сходимости Дирихле
	2.32	Абсолютная и условная сходимость
	2.33	Геометрический ряд и ряд sum_n=11/n_s
	2.34	Теорема сравнения
	2.35	Признак абсолютной сходимости Коши
	2.36	Признак абсолютной сходимости Даламбера
	2.37	Общая теорема о рядах, для которых lim_n->u_n+1/u_n=1
	2.38	Сходимость гипергеометрического ряда
	2.4	Влияние изменения порядка членов ряда
	2.41	Основные свойства абсолютно сходящихся рядов
	2.5	Двойные ряды
	2.51	Методы нахождения сумм двойных рядов
	2.52	Абсолютная сходимость двойных рядов
	2.53	Теорема Коши об умножении абсолютно сходящихся рядов
	2.6	Степенные ряды
	2.61	Сходимость рядов, получаемых дифференцированием степенного ряда
	2.7	Бесконечные произведения
	2.71	Примеры бесконечных произведений
	2.8	Бесконечные определители
	2.81	Сходимость бесконечного определителя
	2.82	Теорема об изменении элементов в сходящихся бесконечных определителях
Литература
Примеры
Глава 3.	Непрерывные функции и равномерная сходимость
	3.1	Зависимость одного комплексного числа от другого
	3.2	Непрерывность функций вещественных переменных
	3.21	Простые кривые. Континуумы
	3.22	Непрерывные функции комплексных переменных
	3.3	Ряды с переменными членами. Равномерная сходимость
	3.31	Об условии равномерной сходимости
	3.32	Связь разрывности с неравномерной сходимостью
	3.33	Различие между абсолютной и равномерной сходимостью
	3.34	Признак равномерной сходимости Вейерштрасса
	3.341	Равномерная сходимость бесконечных произведений
	3.35	Признак равномерной сходимости Харди
	3.4	Исследование некоторых двойных рядов
	3.5	Общее понятие равномерности
	3.6	Видоизмененная теорема Гейне–Бореля
	3.61	Равномерная непрерывность
	3.62	Вещественная функция вещественной переменной, непрерывная в замкнутом интервале, достигает своей верхней границы
	3.63	Вещественная функция вещественной переменной, непрерывная в замкнутой области, принимает все значения между верхней и нижней границами
	3.64	Полная вариация функции вещественной переменной
	3.7	Равномерная сходимость степенных рядов
	3.71	Теорема Абеля о непрерывности вплоть до границы круга сходимости
	3.72	Теорема Абеля об умножении рядов
	3.73	Степенные ряды, тождественно равные нулю
Литература
Примеры
Глава 4.	Теория интеграла Римана
	4.1	Понятие интегрирования
	4.11	Верхний и нижний интегралы
	4.12	Условие интегрируемости в смысле Римана
	4.13	Одна общая теорема об интеграле Римана
	4.14	Теоремы о среднем значении
	4.2	Дифференцирование интегралов, содержащих параметр
	4.3	Двойные и повторные интегралы
	4.4	Интегралы с бесконечными пределами
	4.41	Интегралы с бесконечными пределами от непрерывных функций. Необходимое и достаточное условие сходимости
	4.42	Равномерная сходимость интеграла с бесконечными пределами
	4.43	Признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами
	4.431	Признаки равномерной сходимости интегралов с бесконечными пределами
	4.44	Теоремы, относящиеся к равномерно сходящимся интегралам с бесконечными пределами
	4.5	Несобственные интегралы. Главные значения
	4.51	Изменение порядка интегрирования в некоторых повторных интегралах
	4.6	Интегрирование комплексных функций
	4.61	Основная теорема для интегралов в комплексной области
	4.62	Верхняя граница модуля интеграла в комплексной области
	4.7	Интегрирование бесконечных рядов
Литература
Примеры
Глава 5.	Основные свойства аналитических функций, теоремы Тейлора, Лорана и Лиувилля
	5.1	Свойства элементарных функций
	5.11	Отступления от рассматриваемого свойства
	5.12	Определение аналитической функции комплексного переменного по Коши
	5.13	Приложение видоизмененной теоремы Гейне–Бореля
	5.2	Теорема Коши об интеграле по контуру
	5.21	Выражение значения аналитической функции в точке через интеграл, взятый по контуру, окружающему эту точку
	5.22	Производные аналитической функции f(z)
	5.23	Неравенство Коши f(n)(а)
	5.3	Аналитические функции, представляемые равномерно сходящимися рядами
	5.31	Аналитические функции, представляемые интегралами
	5.32	Аналитические функции, представляемые интегралами с бесконечными пределами
	5.4	Теорема Тейлора
	5.41	Формы остаточного члена в ряде Тейлора
	5.5	Процесс аналитического продолжения
	5.501	О функциях, к которым не может быть применен процесс аналитического продолжения
	5.51	Тождественность двух функций
	5.6	Теорема Лорана
	5.61	Природа особенностей однозначных функций
	5.62	"Бесконечно удаленная точка"
	5.63	Теорема Лиувилля
	5.64	Функции без существенно особых точек
	5.7	Многозначные функции
Литература
Примеры
Глава 6.	Теория вычетов и приложение ее к вычислению определенных интегралов
	6.1	Вычеты
	6.2	Вычисление определенных интегралов
	6.21	Вычисление интегралов некоторых периодических функций, взятых между пределами 0 и 2pi.
	6.22	Вычисление определенных интегралов, взятых между пределами -бесконечность и +бесконечность
	6.221	Некоторые интегралы с бесконечными пределами, содержащие синусы и косинусы
	6.222	Лемма Жордана
	6.23	Главные значения интегралов
	6.24	Вычисление интегралов вида int₀ x^a-tQ(x)dx
	6.3	Интегралы Коши
	6.31	Число корней уравнения, содержащихся внутри контура
	6.4	Связь между нулями функции и нулями ее производной
Литература
Примеры
Глава 7.	Разложение функций в бесконечные ряды
	7.1	Формула Дарбу
	7.2	Числа и полиномы Берцуллй
	7.21	Разложение Эйлера–Маклорена
	7.3	Теорема Вюрмана
	7.31	Обобщение теоремы Бюрмана, данное Тейшейра
	7.32	Теорема Лагранжа
	7.4	Разложение функций некоторого класса на простейшие дроби
	7.5	Разложение функций некоторого класса в бесконечные произведения
	7.6	Теорема Вейерштрасса о бесконечных произведениях
	7.7	Разложение периодических функций некоторого класса в ряд по котангенсам
	7.8	Теорема Бореля
	7.81	Интеграл Бореля и аналитическое продолжение
	7.82	Разложение в ряд обратных факториалов.
Литература
Примеры
Глава 8.	Асимптотические разложения и суммируемые ряды
	8.1	Простой пример асимптотического разложения
	8.2	Определение асимптотического разложения
	8.21	Другой пример асимптотического разложения
	8.3	Умножение асимптотических разложений
	8.31	Интегрирование асимптотических разложений
	8.32	Единственность асимптотического разложения
	8.4.	Методы "суммирования" рядов
	8.41	Метод суммирования Бореля
	8.42	Метод суммирования Эйлера
	8.43	Метод суммирования Чезаро
	8.431	Общий метод суммирования Чезаро
	8.44	Метод суммирования Рисса
	8.5	Теорема Харди
Литература
Примеры
Глава 9.	Ряды Фурье и тригонометрические ряды
	9.1	Определение ряда Фурье
	9.11	Область внутри которой тригонометрический ряд сходится
	9.12	Выражение коэффициентов через сумму тригонометрического ряда
	9.2	Об условиях Дирихле и теореме Фурье
	9.21	Представление функции рядом Фурье на произвольном отрезке
	9.22	Ряды косинусов и ряды синусов
	9.3	Свойства коэффициентов ряда Фурье
	9.31	Дифференцирование рядов Фурье
	9.32	Определение точек разрыва
	9.4	Теорема Фейера
	9.41	Леммы Римана–Лебега
	9.42	Доказательство теоремы Фурье
	9.43	Доказательство Дирихле - Бонне теоремы Фурье
	9.44	Равномерная сходимость рядов Фурье
	9.5	Теорема Гурвица - Ляпунова о коэффициентах Фурье
	9.6	Риманова теория тригонометрических рядов
	9.61	Ассоциированная функция Римана
	9.62	Свойства ассодиированной функции Римана; первая лемма Римана
	9.621	Вторая лемма Римана
	9.63	Теорема Римана о тригонометрических рядах
	9.631	Лемма Шварца
	9.632	Доказательство теоремы "Римана
	9.7	Представление функции интегралом Фурье
Литература
Примеры
Глава 10.	Линейные дифференциальные уравнения
	10.1	Линейные дифференциальные уравнения. Обыкновенные и особые точки
	10.2	Решение дифференциального уравнения в окрестности обыкновенной точки
	10.21	Единственность решения
	10.3	Правильные точки дифференциального уравнения
	10.31	Сходимость разложения из § 10.3
	10.32	Нахождение второго решения в случае, когда разность показателей будет целым числом или нулем
	10.4	Решения, годные для больших значений \|x\|
	10.5	Неправильные особые точки и слияние
	10.6	Дифференциальные уравнения математической физики
	10.7	Линейные дифференциальные уравнения с тремя особыми точками
	10.71	Преобразования Р-уравнения Римана
	10.72	Связь Ауравнения Римана с гипергеометрическим уравнением
	10.8	Линейные дифференциальные уравнения с двумя особыми точками
Литература.
Примеры
Глава 11.	Интегральные уравнения
	11.1	Определение интегрального уравнения
	11.11	Алгебраическая лемма
	11.2	Уравнение Фредгольма и его предполагаемое решение
	11.21	Исследование решения Фредгольма
	11.22	Взаимные функции Вольтерра
	11.23	Однородные интегральные уравнения
	11.3	Интегральные уравнения первого и второго рода
	11.31	Уравнение Вольтерра
	11.4	Метод последовательных подстановок Лиувилля-Неймана
	11.5	Симметричные ядра
	11.51	Теорема Шмидта: если ядро симметрично, то уравнение D (lambda) = 0 имеет по меньшей мере один корень
	11.6	Ортогональные функции
	11.61	Связь ортогональных функций с однородными интегральными уравнениями
	11.7	Разложение симметричного ядра
	11.71	Решение уравнения Фредгольма при помощи рядов
	11.8	Решение интегрального уравнения Абеля
	11.81	Интегральное уравнение Шлемильха
Литература
Примеры
Приложение. Элементарные трансцендентные функции
	A.1.	О некоторых допущениях, принятых в главах 1-4
	A.11.	Содержание настоящего приложения
	A.12.	Логический порядок развития элементов анализа
	A.2.	Показательная функция ехр z
	A.21.	Теорема сложения для показательной функции и ее следствия
	A.22.	Различные свойства показательной функции
	A.3.	Логарифмы положительных чисел
	A.31.	Непрерывность логарифма
	A.32.	Дифференцирование логарифма
	A.33.	Разложение функции Ln(l+а) по степеням а
	A.4.	Определение синуса и косинуса
	A.41.	Основные свойства функций sin z и cos z
	A.42.	Теорема сложения для функций sin z и cos z
	A.5.	Периодичность показательной функции
	A.51.	Решение уравнения ехр gamma = 1
	A.52.	Решение одной системы тригонометрических уравнений
	A.521.	Главное решение системы тригонометрических уравнений
	A.522.	Непрерывность аргумента комплексного переменного
	A.6.	Логарифмы комплексных чисел
	A.7.	Аналитическое определение углов

Содержание второй части

Глава 12.	Гамма-функция
	12.1.	Определение гамма-функции. Произведение Вейерштрасса
	12.11.	Формула Эйлера для гамма-функции
	12.12.	Уравнение в конечных разностях для гамма-функции
	12.13.	Вычисление некоторых бесконечных произведений
	12.14.	Связь между гамма-функцией и тригонометрическими функциями
	12.15.	Теорема умножения Гаусса и Лежандра
	12.16.	Разложения для логарифмических производных гамма-функции
	12.2.	Интегральное представление Эйлера для Г (г)
	12.21.	Распространение интегрального представления гамма-функции на случай отрицательного аргумента
	12.22.	Представление Ханкеля функции Г (z) в виде контурного интеграла
	12.3.	Интегральное представление Гаусса для логарифмической производной от гамма-функции
	12.31.	Первое интегральное представление Бине для lg Г(z)
	12.32.	Второе интегральное представление Бине для lg Г(z)
	12.33.	Асимптотическое разложение логарифма гамма-функции (ряд Стирлинга)
	12.4.	Интеграл Эйлера первого рода
	12.41.	Выражение интеграла Эйлера первого рода через гамма-функцию
	12.42.	Выражение интегралов от тригонометрических функций через гамма-функции
	12.43.	Обобщение интеграла Эйлера первого рода (Похгаммер)
	12.5.	Интеграл Дирихле
Литература
Примеры
Глава 13.	Дзета-функция Римана
	13.1.	Определение дзета-функции
	13.11.	Обобщенная дзета-функция
	13.12.	Представление функции dzeta(s, а) в виде несобственного интеграла
	13.13.	Представление функции dzeta(s, а) в виде интеграла по контуру
	13.14.	Значение функции dzeta(s, а) для частных значений 5
	13.15.	Формула Гурвица для функции dzeta(s, а), когда а < 0
	13.151.	Соотношение Римана между dzeta(s) и dzeta(1- s)
	13.2.	Формула Эрмита для dzeta(s, а)
	13.21.	Следствия из формулы Эрмита
	13.3.	Бесконечное произведение Эйлера для dzeta(s)
	13.31.	Гипотеза Римана относительно нулей функции dzeta(s)
	13.4.	Интеграл Римана для dzeta(s)
	13.5.	Неравенства, которым удовлетворяет функция dzeta(s, а) при а>0
	13.51.	Неравенства, которым удовлетворяет функция dzeta(s, а) при а=<0
	13.6.	Асимптотическое разложение функции lg Г (z + а)
Литература
Примеры
Глава 14.	Гипергеометрическая функция
	14.1.	Гипергеометрический ряд
	14.11.	Значение функции Г (а, Ь; с; 1) при Re (с - а - Ь) > О
	14.2.	Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция F(a, b; с; z)
	14.3.	Решения Р-уравнения Римана при помощи гипергеометрических функций
	14.4.	Соотношения между частными решениями гипергеометрического уравнения
	14.5.	Контурные интегралы Барнса для гипергеометрической функции
	14.51.	Аналитическое продолжение гипергеометрического ряда
	14.52.	Лемма Барнса
	14.53.	Связь между гипергеометрическими функциями от z и от 1 - z
	14.6.	Решение уравнения Римана при помощи интеграла по контуру
	14.61.	Нахождение интеграла, представляющего Р^(alpha)
	14.7.	Соотношения между смежными гипергеометрическими функциями
Литература
Примеры
Глава 15.	Функции Лежандра
	15.1.	Определение полиномов Лежандра
	15.11.	Формула Родрига для полиномов Лежандра
	15.12.	Интеграл Шлефли для Р_n(z)
	15.13.	Дифференциальное уравнение Лежандра
	15.14.	Интегральные свойства полиномов Лежандра
	15.2.	Функции Лежандра
	15.21.	Рекуррентные формулы
	15.211.	Разложение любого полинома по полиномам Лежандра
	15.22.	Представление Мерфи функции Р_n(z) в виде гипергеометрической функции
	15.23.	Интегралы Лапласа для Р_n(z)
	15.231.	Интеграл Мелера–Дирихле для P_n(z)
	15.3.	Функции Лежандра второго рода
	15.31.	Разложение функции Q_n(z) в степенной ряд
	15.32.	Рекуррентные формулы для Q_n(z)
	15.33.	Интеграл Лапласа для функций Лежандра второго рода
	15.34.	Формула Неймана для Q_n(z), когда n – целое число
	15.4.	Разложение Гейне для функции (t-z)_-1 в ряд по полиномам Лежандра
	15.41.	Разложение Неймана для произвольной функции в ряд по полиномам Лежандра
	15.5.	Присоединенные лежандровы функции Р_n^m(г) и Q_n^m(z) Феррерса
	15.51.	Интегральные свойства присоединенных функций Лежандра
	15.6.	Определение Гобсона присоединенных функций Лежандра
	15.61.	Выражение функции РT_n^m(z) через интеграл типа Лапласа
	15.7.	Теорема сложения для полиномов Лежандра
	15.71.	Теорема сложения для функций Лежандра
	15.8.	Функция С_n^nu(z)
Литература
Примеры
Глава 16.	Вырожденная гипергеометрическая функция
	16.1.	Слияние двух особых точек уравнения Римана
	16.11.	Формулы Куммера
	16.12.	Определение функции W_k,m(z)
	16.2.	Выражение различных функций через функции типа W_k,m(z)
	16.3.	Асимптотическое разложение функции W_k,m(z) при \|z\| большом
	16.31.	Второе решение дифференциального уравнения для функции W_k,m(z)
	16.4.	Контурные интегралы типа Меллина–Барнса (Mellin–Ваrnes) для W_k,m(z)
	16.41.	Соотношения между W_k,m(z) и M_k,+-m(z)
	16.5.	Функции параболического цилиндра. Уравнение Вебера
	16.51.	Второе решение уравнения Вебера
	16.511.	Соотношение между функциями D_n(z), D_-n-1(+-z)
	16.52.	Общее асимптотическое разложение для функции D_n(z)
	16.6.	Контурный интеграл для функции D_n(z)
	16.61.	Рекуррентные формулы для функции D_n(z)
	16.7.	Свойства функции D_n(z), когда n - целое число
Литература
Примеры
Глава 17.	Функции Бесселя.
	17.1.	Коэффициенты Бесселя
	17.11.	Дифференциальное уравнение Бесселя
	17.2.	Решение уравнения Бесселя при любом комплексном n
	17.21.	Рекуррентные формулы для функций Бесселя
	17.211.	Соотношение между двумя функциями Бесселя, порядки которых отличаются на целое число
	17.212.	Связь между функциями J_n(z) и W_k,m
	17.22.	Нули функций Бесселя, порядок которых п вещественный
	17.23.	Интеграл Бесселя для коэффициентов Бесселя
	17.231.	Видоизменение интеграла Бесселя, когда n не целое число
	17.24.	Функции Бесселя, порядок которых равен половине нечетного целого числа
	17.3.	Контурный интеграл Ханкеля для функции J_n(z)
	17.4.	Связь между коэффициентами Бесселя и функциями Лежандра
	17.5.	Асимптотический ряд для функции J_n(z), когда \|z\| велик
	17.6.	Второе решение уравнения Бесселя, когда порядок - целое число
	17.61.	Ряд для функции Y_n(z) при малых z
	17.7.	Функции Бесселя с чисто мнимым аргументом
	17.71.	Модифицированные функции Бесселя второго рода
	17.8.	Разложение Неймана аналитической функции в ряд по коэффициентам Бесселя
	17.81.	Доказательство разложения Неймана
	17.82.	Разложение Шлемильха произвольной функции по функциям Бесселя нулевого порядка
	17.9.	Составление таблиц функций Бесселя
Литература
Примеры
Глава 18.	Уравнения математической физики
	18.1.	Дифференциальные уравнения математической физики
	18.2.	Граничные условия
	18.3.	Общее решение уравнения Лапласа
	18.31.	Решение уравнения Лапласа с помощью функций Лежандра
	18.4.	Решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее определенным граничным условиям на поверхности сферы
	18.5.	Решение уравнения Лапласа в бесселевых функциях целого порядка
	18.51.	Периоды колебания однородной мембраны
	18.6.	Общее решение волнового уравнения
	18.61.	Решение волнового уравнения в функциях Бесселя
	18.611.	Приложение результатов 18.61 к одной физической задаче
Литература
Примеры
Глава 19.	Функции Матье
	19.1.	Дифференциальное уравнение Матье
	19.11.	Форма решения уравнения Матье
	19.12.	Уравнение Хилла
	19.2.	Периодические решения уравнения Матье
	19.21.	Интегральное уравнение, которому удовлетворяют четные функции Матье
	19.22.	Доказательство того, что четные функции Матье удовлетворяют интегральному уравнению
	19.3.	Построение функций Матье
	19.31.	Интегральные формулы для функций Матье
	19.4.	Характер решения общего уравнения Матье; теория Флоке
	19.41.	Метод решения Хилла
	19.42.	Вычисление определителя Хилла
	19.5.	Теория Линдемана–Стилтьеса, относящаяся к общему уравнению Матье
	19.51.	Форма Линдемана теоремы Флоке
	19.52.	Определение целой функции, связанной с общим уравнением Матье
	19.53.	Решение уравнения Матье с помощью функции F(dzeta)
	19.6.	Второй метод построения функции Матье
	19.61.	Сходимость рядов, определяющих функции Матье
	19.7.	Метод замены параметра
	19.8.	Асимптотическое решение уравнения Матье
Литература
Примеры
Глава 20.	Эллиптические функции. Общие теоремы и функции Вейерштрасса
	20.1.	Двоякопериодические функции
	20.11.	Параллелограммы периодов
	20.12.	Простые свойства эллиптических функций
	20.13.	Порядок эллиптической функции
	20.14.	Соотношение между нулями и полюсами эллиптической функции
	20.2.	Построение эллиптической функции. Определение функции Gam(z)
	20.21.	Периодичность и другие свойства функции Gam(z)
	20.22.	Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция Gam(z)
	20.221.	Интегральная формула для Gam(z)
	20.222.	Иллюстрация из теории тригонометрических функций
	20.3.	Теорема сложения для функции Gam(z)
	20.31.	Другая форма теоремы сложения
	20.311.	Формула удвоения для Gam(z)
	20.312.	Метод Абеля доказательства теоремы сложения для Gam(z)
	20.32.	Постоянные e₁, е₂, е₃
	20.33.	Прибавление полупериода к аргументу функции Gam(z)
	20.4.	Квазипериодические функции. Функция dzeta(z)
	20.41.	Квазипериодичность функции dzeta(z)
	20.411.	Соотношение между eta₁ и eta₂
	20.42.	Функция sigma(z)
	20.421.	Квазипериодичность функции sigma(z)
	20.5.	Формулы, выражающие любую эллиптическую функцию через функции Цейерштрасса с теми же периодами
	20.51.	Выражение любой эллиптической функции через функции Gam(z) и Gam'(z)
	20.52.	Выражение любой эллиптической функции через линейную комбинацию от дзета-функции и ее производных
	20.53.	Выражение любой эллиптической функции в виде отношения сигма-функций
	20.54.	Связь между любыми двумя эллиптическими функциями с одинаковыми периодами
	20.6.	Об интегрировании функции {a₀x⁴+4a₁x³+6a₂x²+4a₃x+a₄}a^-1/2
	20.7.	Униформизация кривых рода единица
Литература
Примеры
Глава 21.	Тэта-функции
	21.1.	Определение тэта-функции
	21.11.	Четыре типа тэта-функций
	21.12.	Нули тэта-функций
	21.2.	Соотношения между квадратами тэта-функций
	21.21.	Формулы сложения для тэта-функций
	21.22.	Основные формулы Якоби
	21.3.	Выражения Якоби для тэта-функций через бесконечные произведения
	21.4.	Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют тэта-функции
	21.41.	Соотношение между тэта-функциями нулевого аргумента
	21.42.	Значение постоянной G
	21.43.	Связь сигма-функции с тэта-функциями
	21.5.	Выражение эллиптических функций при помощи тэта-функций
	21.51.	Мнимое преобразование Якоби
	21.52.	Преобразование типа Ландена
	21.6.	Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют отношения тэта-функций
	21.61.	Генезис эллиптической функции Якоби sn u
	21.62.	Более раннее обозначение Якоби. Тэта-функция teta(u) и эта-функция Н(и)
	21.7.	Задача обращения
	21.71.	Задача обращения для комплексных значений с. Модулярные функции f(tau), g(tau), h(tau)
	21.711.	Главное решение уравнения f(tau)-c=0.
	21.712.	Значения модулярной функции f(tau) на рассмотренном выше контуре
	21.72.	Периоды, рассматриваемые как функции модулей
	21.73.	Задача обращения, связанная с эллиптическими функциями Вейерштрасса
	21.8.	Вычисление эллиптических функций
	21.9.	Обозначения, применяемые для тэта-функций
Литература
Примеры
Глава 22.	Эллиптические функции Якоби
	22.1.	Эллиптические функции с двумя простыми полюсами
	22.11.	Эллиптические функции Якоби sn u, cn u, dn u
	22.12.	Простые свойства функций sn u, en u, dn u
	22.121.	Дополнительный модуль
	22.122.	Обозначение Глешера для отношений
	22.2.	Теорема сложения для функции sn u
	22.21.	Теоремы сложения для cn и и dn u
	22.3.	Постоянная K
	22.301.	Выражение К через k
	22.302.	Эквивалентность определений K
	22.31.	Свойства периодичности (связанные с K) эллиптических функций Якоби
	22.32.	Постоянная К1
	22.33.	Свойства периодичности (связанные с К + lK') эллиптических функций Якоби
	22.34.	Свойства периодичности (связанные с lK') эллиптических функций Якоби
	22.341.	Поведение эллиптических функций Якоби в окрестности начала координат и в окрестности lK'
	22.35.	Общее описание функций sn u, cn u, dn u
	22.351.	Связь между эллиптическими функциями Вейерштрасса и Якоби
	22.4.	Мнимое преобразование Якоби
	22.41.	Доказательство мнимого преобразования Якоби при помощи тэта-функций
	22.42.	Преобразование Ландена
	22.421.	Преобразование эллиптических функций
	22.5.	Бесконечные произведения для эллиптических функций Якоби
	22.6.	Ряды Фурье для эллиптических функций Якоби
	22.61.	Ряды Фурье для обратных величин эллиптических функций Якоби
	22.7.	Эллиптические интегралы
	22.71.	Представление полинома четвертой степени в виде произведения двух сумм квадратов
	22.72.	Три рода эллиптических интегралов
	22.73.	Эллиптический интеграл второго рода. Функция Е(u)
	22.731.	Дзета функция Z(u)
	22.732.	Формулы сложения для Е(u) и Z(u)
	22.733.	Мнимое преобразование Якоби для функции Z(u)
	22.734.	Мнимое преобразование Якоби для функции Е(u)
	22.735.	Соотношение Лежандра
	22.736.	Свойства полных эллиптических интегралов, рассматриваемых как функции модуля
	22.737.	Значения полных интегралов для малых значений k
	22.74.	Эллиптический интеграл третьего рода
	22.741.	Динамическое приложение эллиптического интеграла третьего рода
	22.8.	Лемнискатные функции
	22.81.	Значения К и K' для частных значений k
	22.82.	Геометрическое толкование функций sn u, cn u, dn u
Литература
Примеры
Глава 23.	Эллипсоидальные гармонические функции и уравнение Ламе
	23.1.	Определение эллипсоидальных гармонических функций
	23.2.	Четыре вида эллипсоидальных гармонических функций
	23.21.	Построение эллипсоидальных гармонических функций первого вида
	23.22.	Эллипсоидальные гармонические функции второго вида
	23.23.	Эллипсоидальные гармонические функции третьего вида
	23.24.	Эллипсоидальные гармонические функции четвертого вида
	23.25.	Выражения Нивена для эллипсоидальных гармонических функций через однородные гармонические функции
	23.26.	Эллипсоидальные гармонические функции степени n
	23.3.	Эллипсоидальные координаты
	23.31.	Униформизирующие переменные, связанные с эллипсоидальными координатами
	23.32.	Уравнение Лапласа в эллипсоидальных координатах
	23.33.	Эллипсоидальные гармонические функции в эллипсоидальных координатах
	23.4.	Различные формы дифференциального уравнения Ламе
	23.41.	Решения уравнения Ламе в виде рядов
	23.42.	Определение функций Ламе
	23.43.	Об отсутствии кратных корней у функций Ламе
	23.44.	Линейная независимость функций Ламе
	23.45.	Линейная независимость эллипсоидальных гармонических функций
	23.46.	Теорема Стилтьеса о нулях функций Ламе
	23.47.	Функции Ламе второго рода
	23.5.	Уравнение Ламе в связи с эллиптическими функциями Якоби
	23.6.	Интегральное уравнение, которому удовлетворяют функции Ламе первого и второго вида
	23.61.	Интегральное уравнение, которому удовлетворяют функции Ламе третьего и четвертого вида
	23.62.	Интегральные формулы для эллипсоидальных гармонических функций
	23.63.	Интегральные формулы для эллипсоидальных гармонических функций третьего и четвертого вида
	23.7.	Обобщения уравнения Ламе
	23.71.	Форма Якоби обобщенного уравнения Ламе
Литература
Примеры
Именной указатель
Предметный указатель

Предисловие ко второму русскому изданию

"Курс современного анализа" Уиттекера и Ватсона выдержал за рубежом несколько изданий. Начиная с четвертого издания (1927 г.) зарубежные издания стали стереотипными. Первое русское издание вышло в 1933–1934 гг. под редакцией Г.М.Ролузина. Второе русское издание, предлагаемое сейчас читателю, еще раз сверено с английскими изданиями. В нем устранены замеченные опечатки, произведена незначительная модернизация терминологии и добавлены некоторые ссылки. В остальном оно сохранило стиль английской школы классического комплексного анализа (Бромуич, Варне, Бэйли, Харди и Литлвуд, Титчмарш), с которой советский читатель знаком теперь по многочисленным переводам.

Книга разделена на две части. Первая из них содержит изложение основных вопросов комплексного анализа. Вторая часть посвящена главным образом изучению различных классов специальных функций. Хотя за тридцать лет, прошедшие с выхода первого русского издания, появилось много книг и справочников по специальным функциям (например, справочник Эрдейи, Магнуса, Оберхеттингера и Трикоми "Higher transcendental functions", тт. I–III), книга Уиттекера и Ватсона остается непревзойденной по широте охвата и четкости комплексной ("современной") точки зрения на специальные функции.

В книге отсутствуют, однако, такие методы теории функций комплексного переменного, как, скажем, метод конформных отображений и метод перевала, играющие важную роль в современной теорий специальных функций и в ее приложениях. В этом смысле книга не является исчерпывающей. Некоторые главы, как, например, глава о тригонометрических рядах или глава об интегральных уравнениях сейчас были бы написаны по-иному.

Основная цель книги в целом – научить читателя обращаться со специальными функциями так же свободно, как он обращается с элементарными функциями, к которым он только и приучен школой и, увы, университетом. Специальные функции в вещественном анализе обладают "жесткостью". Методами вещественного анализа можно, например, разложить котангенс в ряд элементарных дробей. Однако решение каждой такой задачи требует своего искусственного приема, Только при комплексном подходе "жесткие" функции вещественного анализа становятся "пластическими". Метод комплексного переменного позволяет (естественным способом!) преобразовать ряд в произведение, произведение превратить в ряд элементарных дробей, ряд элементарных дробей просуммировать и вновь свернуть в функцию и т.п. Этой комплексной "пластике" и учит читателя книга Уиттекера и Ватсона.

Огромную роль в книге играют примеры и задачи (их около тысячи в обеих частях). Трудные, а иногда и очень трудные выкладки влекут за собой свободное владение аналитическим аппаратом.

Квантовая механика, теория распространения радиоволн и многие другие дисциплины нуждаются в теории специальных функций; эту потребность и призвано удовлетворить (теперь уже только отчасти) новое издание "современного" анализа, ставшего ныне уже классическим.

Ф.Широков

Об авторе

Уиттекер Эдмунд Тейлор

Известный английский математик, член Лондонского королевского общества (1905). В 1891–1896 гг. учился в Кембриджском университете; в 1896 г. стал членом совета Тринити-колледжа и начал читать лекции в Кембридже. C 1906 г. — профессор астрономии в Дублинском университете. В 1912–1946 гг. — профессор Эдинбургского университета. Член Эдинбургского королевского общества; в 1939–1944 гг. был его президентом. Основные работы относятся к теории специальных функций. Автор учебников, в частности по теории интерполяции, теории оптических инструментов и др., а также книг по истории и философии естествознания. Автор широко известной монографии "Курс современного анализа" (совместно с Дж. Н. Ватсоном), содержащей сжатый обзор основных вопросов математического анализа и теорию важнейших специальных функций. В числе его учеников были выдающиеся математики и физики: Г. Г. Харди, Дж. И. Литлвуд, Дж. Н. Ватсон, Дж. X. Джинс, А. Эддингтон.