Обложка Целищев В.В. Алгоритмизация мышления: Гёделевский аргумент
Id: 275515
789 руб.

Алгоритмизация мышления:
Гёделевский аргумент № 37. Изд. 2, испр.

URSS. 2021. 304 с. ISBN 978-5-9519-2130-7.
  • Твердый переплет
Перед Вами — единственная в своем роде книга. В ней содержится полная хроника споров менталистов и механицистов вокруг вопроса: кого же вторая теорема Гёделя считает умнее — человека или машину? И на чьей стороне оказался сам Гёдель? • Математика и мышление.
• Человек, машина и гёделево предложение.
• Трансфинитный аргумент и принципы рефлексии.
• Компьютер, истина и доказуемость.
• Алгоритмическая версия ментализма.
• Непротиворечивость и полнота.
• Истинность гёделева предложения.
• Человеческая математика.
• «Сознание» машины.

Аннотация

В 1961 г. профессор Дж. Лукас из Оксфорда открыл ящик Пандоры, показав, что согласно знаменитой Второй теореме Гёделя человеческий ум принципиально превосходит возможности искусственного интеллекта. К нему присоединился ныне лауреат Нобелевской премии сэр Р. Пенроуз. Началась драматическая дискуссия, в ходе которой многочисленные ревнители строгого мышления обвиняли их в нарушении канонов математической логики. Всё внезапно поменялось,... (Подробнее)


Содержание
Оглавление3
Предисловие8
Глава 1. Математика и мышление14
1. Математическая логика, мозг и компьютеры14
2. Генезис и постановка проблемы17
3. Методология философских заключений из математических результатов19
4. Гедель: философия и математика22
5. Дилемма Геделя25
6. Анализ дилеммы29
7. Машины, математики и математические предложения32
8. Лукас, Пенроуз и Гедель34
Глава 2. Человек, машина и геделево предложение37
1. Математические результаты и метафизика37
2. Аргумент Лукаса40
3. Экспликация менталистского аргумента41
4. Критика Бенацеррафом аргумента Лукаса45
5. Следует ли формализовать аргумент Лукаса?51
6. Возражение в стиле Дж. Мура55
7. Диалектика первого и третьего лица56
8. Бремя доказательства непротиворечивости60
9. Нормативное постулирование непротиворечивости62
10. Эмпирическая природа установления непротиворечивости63
11. Металингвистические соображения относительно непротиворечивости65
Глава 3. Трансфинитный аргумент и принципы рефлексии69
1. Трансфинитное расширение системы69
2. Игра человека с компьютером70
3. Расширение системы и понимание72
4. Теорема Клини—Черча74
5. Антропоцентризм и человеческие возможности75
6. Геделево предложение как принцип рефлексии78
7. Непротиворечивость как принцип рефлексии79
8. Сильные принципы рефлексии и неестественное расширение системы82
9. Алгоритмы и геделизация83
10. Формализация и «скачки» в мышлении88
11. Принцип рефлексии для рекурсивных ординальных чисел90
12. Рационалистический оптимизм Геделя94
Глава 4. Компьютер, истина и доказуемость96
1. «Видение» истины96
2. «Видение» истины геделева предложения машиной Тьюринга и человеком101
3. Расхождение истины и доказательства102
4. Ничья в игре между человеком и машиной108
5. Синтаксические и семантические характеристики формальных систем110
6. Оператор доказуемости112
7. «Знание» машины114
8. Оператор истины117
9. Con(T) как дополнительная аксиома и принцип рефлексии118
10. Более мощные логические системы122
Глава 5. Алгоритмическая версия ментализма128
1. Вычисления и алгоритмы128
2. Диагональный аргумент Пенроуза132
3. Истина и алгоритм137
4. Платонизм и истинность геделева предложения140
5. Обоснованность формальной системы и мышление143
6. Неосознаваемый факт эквивалентности алгоритма и мышления144
7. Сводка аргумента Пенроуза о неосознаваемости эквивалентности ума машине146
8. Как следует понимать формальную систему, симулирующую ум?147
9. Неопровержимость математических истин151
10. Новый аргумент Пенроуза152
11. Еще одна версия «нового» аргумента Пенроуза157
Глава 6. Непротиворечивость и полнота164
1. Логика и мышление164
2. Теоремы Геделя о неполноте165
3. Интермедия: короткое доказательство Булоса167
4. Сфера и причина ограничений в «ограничительных» теоремах Геделя170
5. Локальная и глобальная непротиворечивость172
6. Судьбы непротиворечивости арифметики176
7. Относительность обоснованности177
8. Эмпирические и дедуктивные факторы в обнаружении непротиворечивости180
9. Неопровержимость знания о собственной непротиворечивости181
10. Противоречиво ли человеческое мышление184
11. Полнота формальной системы187
12. Различные виды полноты189
13. Какого рода неполнота имеется в виду в теоремах Геделя191
Глава 7. Истинность геделева предложения195
1. Три взгляда на причину истинности геделева предложения195
2. Истинность и непротиворечивость196
3. Стандартная интерпретация198
4. Нестандартные модели200
5. Структура геделева предложения202
6. «Семантический» аргумент204
7. «Дефляционная» теория истины207
8. Неразрешимость и семантический аргумент210
9. Истина и выразительные возможности языка212
10. Предикат истины и консервативность расширения системы215
11. Принципы рефлексии и истина216
12. Аналитические и синтетические математические истины219
13. Познаваемость математических истин221
Глава 8. Человеческая математика227
1. Геделево предложение и платонизм227
2. Объективная и субъективная математика228
3. Дедуктивный базис человеческой математики231
4. Некомпьютерных характер мышления235
5. Эффективность рационального мышления238
6. Окончательные правила241
7. Прямой доступ к истине244
8. Математическое мышление и рекурсивные функции248
9. Неполнота и кодирование252
10. Роль Принципа Рефлексивности в постижении бесконечного256
11. Самореференция и кодирование258
12. Теорема Гудстейна и человеческая математика260
13. Геделево предложение и человеческая математика266
Приложение. Глава 9. «Сознание» машины268
1. Эпистемическая и теоретико-доказательная интерпретации268
2. Самосознание машины271
3. Стадии самоосознания276
4. Регулярность, нормальность и непротиворечивость279
5. Сводка результатов282
6. Рефлексивность283
7. Неподвижные точки286
8. Стабильная система287
9. Логические машины290
Литература295

Предисловие
Настоящая книга представляет собой итоги исследования по проблеме алгоритмизации мышления. Основная проблема, стоявшая перед автором, заключалась в трех аспектах. Во-первых, алгоритмизация мышления часто увязывается с очень широким вопросом, который романтически формулируется как вопрос о том, «может ли машина мыслить». В такой формулировке проблема приобретает столь большую неопределенность и метафоричность, что практически уходит из сферы рационального. Правда, известный тест Тьюринга ставит проблему в определенные рамки, но и в этом случае она приобретает в значительной степени скорее психологический характер. Наше же исследование планировалось в русле философии логики и математики, и по этой причине нужно было выделить более формальный аспект проблемы, который бы имел ярко выраженный философский интерес.

Во-вторых, широкий спектр так называемых когнитивных исследований, посвященных созданию компьютерных моделей мозга, прибегает к использованию ряда теорий и концепций из математики, физиологии, теории сложности, компьютерных исследований и пр., другими словами, всего, что еще пару десятилетий уже неохотно, но все еще пытались объединить под названием «кибернетика». Это практически необъятное поле действия, в значительной степени связанное с программами построения систем искусственного интеллекта. Предлагаемое же нами исследование должно было бы быть исследованием скорее принципиальных возможностей алгоритмизации мышления, чем исследованием практических попыток такой алгоритмизации.

Наконец, коль скоро речь идет о принципиальных возможностях алгоритмизации мышления, следовало опереться на такой результат, который был бы достаточно значим, и одновременно заслуживал бы тщательного философского анализа. В этом отношении на ум сразу приходит теоремы Геделя о неполноте, которые, с одной стороны, представляют один из самых известных и значительных результатов в математической логике, а с другой — предмет множества самых разнообразных философских спекуляций, которые никак не хотелось повторять.

В результате был выбрано направление, которое соединяет в себе как философский интерес, так сложные технические детали. Речь идет о споре двух направлений, дающих противоположные ответы на вопрос, возможна ли алгоритмизация мышления. Специфика спора состоит в обращении к интерпретациям теорем Геделя о неполноте. Любопытной особенностью дискуссий является полный разброс в стиле и методах аргументации, и отсутствие желаемой заключительности этой аргументации. Само по себе это неудивительно, поскольку теоремы Геделя о неполноте являются апофеозом сложности не только для философов, и до сих пор являются предметом самых разных интерпретаций помимо описываемой проблематики. Однако удивление вызывает то обстоятельство, что одни и те же математические факты могут трактоваться столь разнообразно. В этом отношении это прекрасный пример возможности философского анализа, с одной стороны, не ограниченного богатством использования философских концепций, и с другой стороны, ограниченного использованием строгих логико-математических конструкций.

Среди источников интереса к исследуемой проблематике следует упомянуть весьма интересные книги известного математика Р. Пенроуза «Новый ум короля» и «Тени разума». В них автор с полемической остротой использовал теоремы Геделя о неполноте для защиты тезиса о неалгоритмичности человеческого мышления. Весьма резкий отклик со стороны многочисленных специалистов в области математической логики и философов не заставил себя долго ждать, и дискуссия развернувшаяся в 1990-е гг., показала, сколь сложна интерпретация результатов математической логики в применении к понятию человеческого мышления. Однако сам спор в той форме, какую он принял в упомянутое время, возник ранее, еще в 1960-е гг., когда Дж. Лукас, профессор из Оксфорда, опубликовал полемическую статью о превосходстве человеческого ума над машиной под «романтическим» названием «Умы, механизмы и Гедель». Вообще-то, сторонников взгляда, которого придерживается Дж. Лукас, было не так уж много. Как язвительно высказался один из философов, Лукас сумел убедить в своей правоте лишь одного человека, а именно, Пенроуза. Помимо малочисленности, эта группа, представляющая направление под названием «менталистов», имела очевидные слабости с точки зрения внешних регалий. Лукас больше упирал на философские детали, не обращаясь к техническим деталям, да и мотивация у него была больше «идеологической», — он рассматривал свою аргументацию как вклад в борьбу против материализма, который был представлен доктриной редукционизма, то есть, доктриной сведения мышления к физическим процессам. Что касается Р. Пенроуза, то несмотря на свои знаменитые труды в области математической физики, в математической логике он был «посторонним», что не преминули отметить многие его критики. Редукционизм в отношении проблемы мышления стал известен под названием «Механизма», а его сторонники, по вполне понятным причинам, — механицистами. Вряд ли можно было бы при такой малочисленности одной из сторон, даже при всей сложности исследуемых проблем, считать спор серьезным, если бы не одно обстоятельство, которое произвело эффект взорванной бомбы. От Хао Вана, известного математика и философа, особо близко общавшегося с К. Геделем в последние годы его жизни, стало известно, что сам Гедель был противником «Механизма», а в 1995 г. при публикации третьего тома рукописей Геделя стало ясно, что Гедель действительно пополнил компанию Лукаса и Пенроуза, в результате чего «менталисты» стали чрезвычайно респектабельной компанией. Т. Тимошко отмечает, что многие исследователи, резко критиковавшие Лукаса и Пенроуза, узнав о позиции Геделя, молчаливо сняли свои возражения .

Таков фон проблемы, которая, конечно же, выходит за рамки конфликта нескольких менталистов с остальным миром. На самом деле, менталистская позиция ныне время от времени проявляется в работах философских логиков, особенно тех, кто вовлечен в философскую интерпретацию математических достижений К. Геделя. Неоднозначность критики механицистами своих противников говорит о том, что проблема весьма сложна. Сам Дж. Лукас говорил, что ему в высшей степени подозрительно то обстоятельство, что все говорят, что он, Лукас, неправ, но никто из критиков не соглашается друг с другом, в чем он собственно неправ. Тем не менее, дело вовсе не в позиции нескольких человек. Дело скорее в том, что аргументация от технических результатов к философским заключениям действительно очень сложна.

Основной интерес, конечно, представляют не прямолинейные вердикты типа «менталисты не правы», или же «механицисты ошибаются». Как и в чистой математике, в философии, использующей аппарат математической логики, часто интерес представляет не сам доказанный результат, сколько используемые при доказательстве методы. Аргументация в споре менталистов и механицистов представляет чрезвычайный интерес, но она является лишь источником исследований, результаты которых многое говорят собственно по поводу возможности алгоритмизации мышления. Именно такого рода исследования является предметом данной книги.

Следует добавить, что проблемы, обсуждаемые в этой книге, разделены достаточно искусственно, так что иногда одни и те же вопросы обсуждаются с разных углов зрения в нескольких главах. Это, например, принципы рефлексии, играющие важнейшую роль в понимании природы математического мышления, или же проблема истинности геделевого предложения, которые обсуждаются практически по ходу всей книги. Вообще, в подобного рода исследованиях, которые не систематизированы и носят крайне дискуссионный характер, практически невозможно избежать повторений при попытках той самой систематизации, которая является одной из целей книги. Далее, одна из сторон описываемой философской дискуссии названа «менталистами». Это не совсем точно в отношении всех сторонников превосходства человеческого ума над машиной: действительно, Р. Пенроуз придерживается научной трактовки в более общей проблеме соотношения ума и машины, но поскольку в данной книге обсуждается лишь проблемы соотношения формализма и человеческого ума, другие стороны антиредукционистской позиции Пенроуза здесь не рассматриваются. По этой причине он зачислен в «менталисты».

Представляется, что сама проблематика алгоритмизация мышления, как она описана выше, состоит из двух больших разделов. Первый связан с интерпретацией теорем о неполноте К. Геделя, а второй — с концепцией механизации мыслительных операций, которая связана в первую очередь с именами А. Тьюринга и А. Черча.

В книге представлены не только собственно проблемы соотношения человеческого ума и машины в отношении математического мышления, но и обсуждение некоторых важнейших категорий и вопросов относительно характера самого математического мышления. Поэтому вполне уместным показалось включение в нее крайне интересных вопросов о сфере применения теорем о неполноте Геделя. Возможно, что проблема обоснованности математического мышления лежит несколько в иной плоскости, чем это традиционно считается подавляющим большинством исследователей.

Эта работа является исследованием в области философской логики, которая становится все менее популярной, поскольку многие считают, что стала слишком «заформализованной» и отдаленной от философских вопросов. Но философия не может состоять из одних лишь прикладных исследований и быть источником готовых ответов на сложные вопросы. В недрах философии должны зреть, по выражению американского философа МакДжинна «замысловатые, чистые и строгие вопросы, работа над которыми представляет огромное удовольствие». Помимо этого, следует помнить, что именно в высшей степени абстрактные и далекие от повседневной жизни философские программы в основаниях математики в первой половине XX века привели в конечном счете к рождению тех дисциплин, которые стали основой фантастического технологического прогресса в вычислительной технике.

Основанная трудность при проведении исследований и написании книги состояла в том, чтобы соединить в целое значительное разнообразие точек зрения на столь сложный предмет как использование теорем Геделя о неполноте в философии. Автор надеется на то, что ему удалось передать атмосферу этой сложности, не поступившись при этом максимой, которая выражена метафорой П. Бенацеррафа о «посылке принцессы Маргарет» . Технические результаты, как бы они ни были важны сами по себе, должны еще убедить философов в том, что эти результаты действительно важны уже для философии.

Многие вопросы, рассмотренные в данной книге, были предметом обсуждения на совместном постоянном семинаре математических логиков и философов, проходившим в 2002–2004 гг. в Институте математики Сибирского отделения. Исследования, нашедшие отражение в этой книге, были поддержаны Российским гуманитарным научным фондом (грант 04–03–00337) и Междисциплинарным интеграционным проектом Сибирского отделения 125


Об авторе
Целищев Виталий Валентинович
Доктор философских наук, профессор. Научный руководитель Института философии и права Сибирского отделения РАН. Профессор Новосибирского государственного университета.

Специалист в области философии логики и математики, аналитической философии. Автор двух десятков монографий и трех сотен статей. Переводчик с английского двух десятков важнейших философских работ известных исследователей, таких как Б. Рассел, Дж. Ролз, Р. Рорти, А. Макинтайр, Я. Хинтикка, Р. Смаллиан, А. Коффа, А. Стролл, Я. Хакинг, М. Фридман и др.