URSS.ru Магазин научной книги
URSS.ru Магазин научной книги
Обложка Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения: Геометрия и топология многообразий Обложка Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения: Геометрия и топология многообразий
Id: 275415
1339 р.

Современная геометрия:
Методы и приложения: Геометрия и топология многообразий. Т.2. Изд. 7

2021. 304 с.
Серия: Классический университетский учебник
Белая офсетная бумага

Аннотация

Настоящая книга включает изложение геометрии и топологии многообразий, в том числе основ теории гомотопий и расслоений, некоторых их приложений, в частности к теории калибровочных полей.

Книга рассчитана на студентов старших курсов, аспирантов и научных работников --- математиков, механиков и физиков-теоретиков. (Подробнее)

Оглавление
top
1Примеры многообразий
 § 1. Понятие многообразия
  1.Определение многообразия.
  2.Отображения многообразий; тензоры на многообразии.
  3.Вложения и погружения многообразий. Многообразия с краем.
 § 2. Простейшие примеры многообразий
  1.Поверхности в евклидовом пространстве. Группы преобразований как многообразия.
  2.Проективные пространства.
 § 3. Необходимые сведения из теории групп Ли
  1.Строение окрестности единицы группы Ли. Алгебра Ли группы. Полупростота.
  2.Понятие (линейного) представления. Пример нематричной группы Ли.
 § 4. Комплексные многообразия
  1.Определения и примеры.
  2.Римановы поверхности как многообразия.
 § 5. Простейшие однородные пространства
  1.Действие группы на многообразии.
  2.Примеры однородных пространств.
 § 6. Пространства постоянной кривизны (симметрические пространства)
  1.Понятие симметрического пространства.
  2.Группа изометрий. Свойства ее алгебры Ли.
  3.Симметрические пространства 1-го и 2-го типов.
  4.Группы Ли как симметрические пространства.
  5.Построение симметрических пространств. Примеры.
 § 7. Линейные элементы и связанные с ними многообразия
  1.Конструкции, связанные с касательными векторами.
  2.Нормальное расслоение к подмногообразию.
2Вопросы обоснования. Необходимые сведения из теории функций. Типичные гладкие отображения
 § 8. Разбиение единицы и его применения
  1.Разбиение единицы.
  2.Простейшие применения разбиения единицы. Интеграл по многообразию и формула Стокса.
  3.Инвариантные метрики.
 § 9. Реализация компактных многообразий как поверхностей в ${\pmsbm R}^N$
 § 10. Некоторые свойства гладких отображений многообразий
  1.Аппроксимация непрерывных отображений гладкими.
  2.Теорема Сарда.
  3.Трансверсальная регулярность.
  4.Функции Морса.
 § 11. Применения теоремы Сарда
  1.Существование вложений и погружений.
  2.Построение функций Морса как функций высоты.
  3.Фокальные точки.
3Степень отображения. Индекс пересечения. Их приложения
 § 12. Понятие гомотопии
  1.Определение гомотопии. Аппроксимация отображений и гомотопий гладкими.
  2.Относительные гомотопии.
 § 13. Степень отображения
  1.Определение степени.
  2.Обобщения основного определения.
  3.Гомотопическая классификация отображений многообразия в сферу.
  4.Простейшие примеры.
 § 14. Некоторые применения степени
  1.Степень и интеграл.
  2.Степень векторного поля на гиперповерхности.
  3.Число Уитни. Формула Гаусса–Бонне.
  4.Индекс особой точки векторного поля.
  5. Трансверсальная поверхность векторного поля. Теорема Пуанкаре–Бендиксона.
 § 15. Индекс пересечения и его применения
  1.Определение индекса пересечения.
  2.Суммарная особенность векторного поля.
  3.Алгебраическое число неподвижных точек. Теорема Брауэра.
  4.Коэффициент зацепления.
4Ориентируемость многообразий. Фундаментальная группа. Накрытия (расслоенные пространства с дискретным слоем)
 § 16. Ориентируемость и гомотопия замкнутых путей
  1.Перенос ориентации вдоль пути.
  2.Примеры неориентируемых многообразий.
 § 17. Фундаментальная группа
  1.Определение фундаментальной группы.
  2.Зависимость от начальной точки.
  3.Свободные гомотопические классы отображений окружности.
  4.Гомотопическая эквивалентность.
  5.Примеры.
  6.Фундаментальная группа и ориентируемость.
 § 18. Накрытие и накрывающая гомотопия
  1.Определение и фундаментальные свойства накрытий.
  2.Простейшие примеры. Универсальное накрытие.
  3.Разветвленные накрытия. Римановы поверхности.
  4.Накрытия и дискретные группы преобразований.
 § 19. Накрытия и фундаментальная группа. Вычисление фундаментальной группы некоторых многообразий
  1.Монодромия.
  2.Вычисление фундаментальной группы с помощью накрытий.
  3.Простейшая гомологическая группа.
 § 20. Дискретные группы движений плоскости Лобачевского
5Гомотопические группы
 § 21. Определение абсолютных и относительных гомотопических групп. Примеры
  1.Основные определения.
  2.Относительные гомотопические группы. Точная последовательность пары.
 § 22. Накрывающая гомотопия. Гомотопические группы накрытий и пространств петель
  1.Понятие расслоения.
  2.Точная последовательность расслоения.
  3.Зависимость гомотопических групп от начальной точки.
  4.Случай групп Ли.
  5.Умножение Уайтхеда.
 § 23. Сведения о гомотопических группах сфер. Оснащенные многообразия. Инвариант Хопфа
  1.Оснащенные многообразия и гомотопические группы сфер.
  2.Надстройка.
  3. Вычисление групп $\pi _{n+1 (S^{n})$.
  4. Группы $\pi _{n+2 (S^{n})$.
6Гладкие расслоения (косые произведения)
 § 24. Гомотопическая теория косых произведений
  1.Понятие гладкого расслоения.
  2.Связность.
  3.Вычисление гомотопических групп с помощью расслоений.
  4.Классификация расслоений.
  5.Векторные расслоения и операции над ними.
  6.Мероморфные функции.
  7.Формула Пикара–Лефшеца.
 § 25. Дифференциальная геометрия расслоений
  1.$G$-связности в главных расслоениях.
  2.$G$-связности в ассоциированных расслоениях. Примеры.
  3.Кривизна.
  4.Характеристические классы. Конструкции.
  5.Характеристические классы. Перечисление.
 § 26. Узлы и зацепления. Косы
  1.Группа узла.
  2.Полином Александера.
  3.Расслоение, связанное с узлом.
  4.Зацепления.
  5.Косы.
7Некоторые примеры динамических систем и слоений на многообразиях
 § 27. Простейшие понятия качественной теории динамических систем. Двумерные многообразия
  1.Основные определения.
  2.Динамические системы на торе.
 § 28. Гамильтоновы системы на многообразиях. Теорема Лиувилля. Примеры
  1.Гамильтоновы системы в кокасательном расслоении.
  2.Гамильтоновы системы на многообразиях. Примеры.
  3.Геодезические потоки.
  4.Теорема Лиувилля.
  5.Примеры.
 § 29. Слоения
  1.Основные определения.
  2.Примеры слоений коразмерности 1.
 § 30. Вариационные задачи с высшими производными. Гамильтоновы полевые системы
  1.Гамильтонов формализм задач с высшими производными.
  2.Примеры.
  3.Гамильтонов формализм полевых систем.
8Глобальная структура решений многомерных вариационных задач
 § 31. Некоторые многообразия общей теории относительности (ОТО)
  1.Постановка задачи.
  2.Сферически симметричные решения.
  3.Аксиально симметричные решения.
  4.Космологические модели.
  5.Модели Фридмана.
  6.Анизотропные вакуумные модели.
  7.Более общие модели.
 § 32. Некоторые примеры глобальных решений уравнений Янга–Миллса. Киральные поля
  1.Общие замечания. Решения типа монополей.
  2.Уравнение дуальности.
  3.Киральные поля. Интеграл Дирихле.
 § 33. Минимальность комплексных подмногообразий
Список литературы
Предметный указатель
Об авторах
top
photoДубровин Борис Анатольевич
Доктор физико-математических наук. Специалист по геометрическим методам математической физики. Профессор кафедры высшей геометрии и топологии мехмата МГУ (1988–1993), профессор математики в международном институте SISSA, г. Триест (1993–2019). Область научных интересов — теория интегрируемых систем в геометрии и физике: фробениусовы многообразия, инварианты Громова—Виттена, теория особенностей, нормальные формы интегрируемых уравнений в частных производных, гамильтоновы возмущения гиперболических систем, геометрия изомонодромных деформаций, тэта-функции на римановых поверхностях и нелинейные волны.
photoНовиков Сергей Петрович
Академик РАН. Доктор физико-математических наук. Заведующий кафедрой высшей геометрии и топологии механико-математического факультета МГУ. Заведующий отделом геометрии и топологии Математического института им. В. А. Стеклова РАН. Лауреат Ленинской премии (1967), премии Филдса (1970), премии Лобачевского (1980) и многих других научных наград. Область научных интересов: топология, симплектическая геометрия и аналитическая механика, общая теория относительности, квантовая теория поля, физика твердого тела, а также теория интегрируемых систем и другие разделы математической физики. Автор более 160 научных и научно-популярных статей и монографий по математике и математической физике.
photoФоменко Анатолий Тимофеевич
Академик Российской академии наук, действительный член академий: МАН ВШ (Международной академии наук высшей школы), МАТН (Международной академии технологических наук). Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Решил известную проблему Плато в теории спектральных минимальных поверхностей, создал теорию инвариантов и тонкой классификации интегрируемых гамильтоновых динамических систем. Лауреат Государственной премии Российской Федерации 1996 г. (в области математики) за цикл работ по теории инвариантов многообразий и гамильтоновых динамических систем. Лауреат премии Отделения математики и Президиума АН СССР (1987), лауреат премии Московского математического общества (1974). Специалист в области геометрии и топологии, вариационного исчисления, теории минимальных поверхностей, симплектической топологии, гамильтоновой геометрии и механики, компьютерной геометрии. Автор более 300 научных работ, 40 математических монографий и учебников. Автор нескольких книг по разработке и применению новых эмпирико-статистических методов к анализу исторических летописей, хронологии Древности и Средневековья.