Борзых Д.А. Элементарное введение в ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ:
Теория, примеры и задачи с решениями. Более 200 подробно разобранных примеров и задач. Изд. 2, испр.

Содержание

Предисловие

Дело в том, что в отечественной литературе наблюдается существенный разрыв между уровнем подробности изложения, на котором написаны стандартные учебники по математическому анализу ([14, 17, 22]), и уровнем подробности, который принят в стандартных курсах функционального анализа. Данная книга написана с тем замыслом, чтобы частично заполнить этот разрыв и помочь студентам приобрести необходимую подготовку для изучения более полных руководств по функциональному анализу.

Для достижения поставленной цели было решено ограничиться изложением функционального анализа в нормированных пространствах, но при этом существенно повысить как подробность изложения материала, так и количество разбираемых примеров и задач.

Всего в пособии разобрано порядка 50 примеров и решено немногим менее 150 задач. Часть из этих задач взята из сборников задач, учебников и учебных пособий, приведенных в списке литературы. Другая часть — придумана автором специально для данного пособия. Как правило, это простые примеры и задачи, которые носят разъяснительный характер, а также примеры и задачи среднего уровня сложности, не требующие слишком долгих раздумий, но при этом способствующие осознанному восприятию материала.

Перейдем теперь к содержанию пособия.

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней собраны предварительные сведения, которые необходимы для понимания оставшейся части книги. В частности, в первой главе даются понятия: множества, операций над множествами, бинарного отношения, отображения, отношения эквивалентности, упорядоченного множества и мощности множеств. Формулируются аксиома выбора и равносильная ей лемма Цорна. В дополнении к главе доказывается известная теорема Кантора–Бернштейна о равномощности двух множеств.

Вторая глава посвящена линейным нормированным пространствам. Вводятся такие основные понятия, как: норма, нормированное пространство, открытое и замкнутое множество (топология нормированного пространства), сходимость, полнота пространства, сепарабельность пространства. Доказываются теоремы: критерий полноты нормированного пространства в терминах абсолютно сходящихся рядов, теорема о вложенных шарах и теорема Бэра о категориях. В качестве примеров нормированных пространств рассматриваются пространства: Rⁿ, l₂, C([a; b]) и L₂ ([a; b]).

В третьей главе изучаются непрерывные отображения в нормированных пространствах. Доказываются основные теоремы о непрерывных отображениях. В частности, дается критерий непрерывности отображения в терминах прообразов множеств. Также обсуждаются два типа сходимости отображений: поточечная и равномерная. Даются определения равномерно непрерывного и липшицева отображений.

Четвертая глава представляет собой подробное изложение теории, связанной с компактными множествами. При этом компактное множество вводится как такое множество, из всякого открытого покрытия которого можно выделить конечное подпокрытие. Другие критерии компактности множеств даются в виде соответствующей теоремы. Доказываются теорема Кантора о равномерной непрерывности и теорема Вейерштрасса о достижимости непрерывной функцией своего наибольшего и наименьшего значений. Вводятся определения вполне ограниченного и предкомпактного множеств, а также доказывается теорема Хаусдорфа об эквивалентности этих понятий. В дополнении к четвертой главе через последовательность задач (с решениями) обсуждаются утверждения: об эквивалентности норм в конечномерных пространствах, о полноте конечномерных пространств, о компактности единичной сферы и лемма о почти перпендикуляре.

Пятая глава посвящена теории ограниченных линейных операторов. Доказываются важнейшие теоремы линейного функционального анализа: теорема об открытом отображении, теорема

Банаха об обратном операторе, теорема о замкнутом графике, теорема Банаха–Штейнгауза и принцип равномерной ограниченности.

Заключительная шестая глава посвящена ограниченным линейным функционалам. В этой главе, в частности, доказываются две фундаментальные теоремы — теорема Хана–Банаха и ее комплексный вариант — теорема Сухомлинова.

Автор полагает, что книга окажет незаменимую помощь при самостоятельном изучении предмета ввиду высочайшей подробности изложения и огромного количества разобранных примеров и задач.

Автор считает, что при достаточном упорстве и мотивации данная книга может оказаться доступной студентам экономических и технических направлений, желающим познакомиться с основными положениями функционального анализа.

Национальный исследовательский университет Борзых Д. А.

«Высшая школа экономики» 09.10.2015

Об авторе

Борзых Дмитрий Александрович

Кандидат физико-математических наук. Доцент департамента прикладной экономики факультета экономических наук Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» (НИУ ВШЭ). Научный сотрудник международной лаборатории стохастического анализа и его приложений НИУ ВШЭ. Научные интересы лежат в области теории вероятностей, случайных процессов и финансовой математики.