Обложка Шиханович Ю.А. Группы. Кольца. Решетки: Для нематематиков
Id: 272921
629 руб.

Группы.
Кольца. Решетки: Для нематематиков Изд. 2

URSS. 2021. 360 с. ISBN 978-5-9710-8948-3.

Аннотация

Современная алгебра разработала язык, удобный для изложения других разделов математики. Сегодня она является также основой для понимания компьютерных инструментальных систем, объектно-ориентированного программирования и баз данных, практически необходимой всем пользователям компьютеров. Она изучает, в частности, операции, заданные в множествах произвольной природы, и описывает строение тех множеств, в которых заданы операции с определенными ...(Подробнее)свойствами.

В книге подробно изучаются некоторые важнейшие комбинации таких свойств. Множества с этими комбинациями и называются «группа», «кольцо», «решетка».

Книга предназначена для нематематиков, и для ее чтения не требуется никаких предварительных знаний по математике, кроме разве что школьных. С другой стороны, читать ее будет легче тем, кто предварительно ознакомится с книгой автора «Введение в математику», также вышедшей в нашем издательстве.


Содержание
Оглавление3
Предисловие9
Введение. Алгебраическая  операция13
1. s-местная операция13
2. Двухместная операция15
3. Нульместная операция18
Глава первая. Группоиды.  Группы19
§ 1. Группоиды19
1. Группоид19
2. Основные свойства операций19
3. Единичные и обратные элементы24
4. Подгруппоид26
5. Гомоморфизм29
6. Изоморфизм30
7. Мономорфизм32
8. Эпиморфизм33
9. Конгруэнция35
10. Группоиды вычетов40
11. Прямое произведение43
§ 2. Полугруппы45
1. Полугруппа45
2. Степень с натуральным показателем46
3. Обратные элементы47
4. Полугруппа отображений48
§ 3. Группы51
1. Группа51
2. Подгруппа55
3. Центр группы60
4. Группа преобразований61
5. Гомоморфизм64
6. Эпиморфизм65
7. Прямое произведение66
8. Степень с целым показателем70
9. Порядок элемента73
10. Характеристика группы78
11. Подгруппа, порожденная данным множеством79
12. Циклическая группа85
13. Произведение множеств89
14. Нормальный делитель97
15. Конгруэнции и нормальные делители103
16. Конечные абелевы группы114
Глава вторая. Кольцоиды.  Кольца125
§ 1. Кольцоиды125
1. Кольцоид125
2. Дистрибутивность126
3. Подкольцоид127
4. Гомоморфизм128
5. Изоморфизм129
6. Мономорфизм130
7. Эпиморфизм131
8. Конгруэнция131
9. Прямое произведение134
§ 2. Кольца137
1. Кольцо137
2. Подкольцо143
3. Гомоморфизм147
4. Эпиморфизм148
5. Прямое произведение149
6. Делители нуля150
7. Кольца с единицей153
8. Тела156
9. Кольца матриц164
10. Кольца многочленов178
11. Булевы кольца190
12. Характеристика кольца195
13. Идеал198
14. Конгруэнции и двухсторонние идеалы204
15. Деление и дроби в полях211
16. Поле отношений212
17. Вложение кольца в тело214
18. Поле комплексных чисел223
19. Наименьшее унитарное подкольцо228
20. Наименьшее подтело230
Глава третья. Упорядоченные множества. Решетки233
§ 1. Упорядоченные множества233
1. Упорядоченное множество233
2. Крайние элементы241
3. Изоморфизм247
4. Мономорфизм252
5. Произведение254
6. Границы255
§ 2. Решеточно-упорядоченные множества259
§ 3. Решетки265
1. Решетка265
2. Подрешетка274
3. Идеал276
4. Мономорфизм280
5. Эпиморфизм284
6. Прямое произведение285
§ 4. Дистрибутивные решетки287
§ 5. Булевы решетки293
1. Булева решетка293
2. Теоремы о представлении решеток300
3. Булевы решетки и булевы кольца308
4. Конгруэнции и идеалы311
Дополнения317
1. Делимость целых чисел317
А. Остатки от деления317
Б. Сравнения по модулю319
В. Наибольший общий делитель320
2. Корень из комплексного числа322
А. Тригонометрическая форма322
Б. Корни из единицы323
3. Альтернативное построение кольца многочленов325
Приложение. Программа329
Примечания339
Упомянутая литература342
Указатель терминов343
Указатель обозначений352

Предисловие

«ОБЩАЯ АЛГЕБРА представляет coбoй одну из больших и интенсивно развивающихся ветвей современной математики. В ее задачи входят изучение алгебраических операций, заданных в множествах произвольной природы, и описание строения тех множеств, в которых заданы алгебраические операции с некоторыми определенными свойствами.

К числу основных типов алгебраических образований, изучаемых общей алгеброй, принадлежат группы и кольца; модули и линейные алгебры; телá и поля; группоиды и полугруппы; структуры и категории; универсальные алгебры и модели…» ([9]) ).

ЭТА КНИГА имеет целью познакомить читателя с некоторыми из перечисленных в предыдущем абзаце понятий: с понятиями группоида, полугруппы, группы, кольца, тела, поля, решетки ) (в частности, булевой решетки, или булевой алгебры), а также некоторыми другими понятиями того же рода. Изложение (за несколькими исключениями) не выходит за пределы простейших свойств вводимых в книгe понятий. Необходимо заметить, что общая алгебра имеет многочисленные приложения в других разделах математики (например, в геометрии, функциональном анализе, топологии, теории автоматов), в физике и ряде других наук, о чем в книге почти ничего не говорится.

Книга рассчитана в первую очередь на нематематиков.

Поэтому она – за одним исключением – не предполагает никаких знаний по алгебре, не содержащихся в школьных учебниках. С другой стороны, от читателя этой книги требуется владение материалом моей книги «Введение в математику» ([18]). Термины, обозначения и теоремы из «Введения в математику» используются в данной книге широко и постоянно, причем чаще всего без специальных ссылок.

Упомянутое исключение – комплексные числа. С одной стороны, комплексные числа и простейшие операции над ними определяются в II.2.18 ), а в дополнении 2 развивается небольшой кусок теории этих чисел, необходимый для примеров. С другой стороны, примеры, использующие комплексные числа, рассматриваются, начиная с I.3.2. По-видимому, читатель, не знакомый с комплексными числами, будет вынужден пропустить эти примеры при первом чтении и вернуться к ним после II.2.18; впрочем, можно попробовать, дойдя до примера 2 в I.3.2, сразу заглянуть в II.2.18 и дополнение 2.

К ситуации с комплексными числами близка кажущаяся логическая несообразность, сознательно допущенная мною в книге.

С одной стороны, с самого начала предполагается, что читатель знает натуральные, целые, рациональные и действительные числа и простейшие законы арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) над ними. Поэтому перечисленные числовые множества с самого начала и систематически используются для построения примеров, причем упомянутые выше «простейшие законы» как бы постулируются, предполагаются известными, данными; доказательства их не приводятся и от читателя не требуется умения их доказывать ).

С другой стороны, в II.2.17 определяются рациональные числа (через целые числа) и правила операций над ними. В этом месте требуется умение, исходя из известных свойств целых чисел, доказывать соответствующие свойства рациональных чисел ).

§ 1 второй главы не зависит от §§ 2, 3 первой главы. §§ 1, 2 третьей главы не зависят даже от введения. §§ 3, 4 и п.п. 1, 2, 4 § 5 третьей главы не зависят от § 3 первой главы и от § 2 второй главы.

В конце почти каждого пункта имеются задачи; на некоторые из них я ссылаюсь в дальнейшем изложении. Более трудные задачи отмечены звездочкой. Задачи чаще всего формулируются там, где их естественнее сформулировать, а не там, где их легче решить. Поэтому идеи для решения некоторых задач будут приходить к читателю по мере дальнейшего чтения книги.

Приложение «Программа» является фактически подробным оглав¬лением книги, подробным указателем содержания и может оказаться полезным для самопроверки усвоения.

В книге имеются примечания двух видов – подстрочные примечания, или сноски, и примечания в конце книги. Сноски нумеруются знакамиi), ii), и т. д., примечания, помещенные в конце книги, – арабскими цифрами1, 2, 3 и т. д. Примечания, помещенные в конце книги, содержат материал, игнорирование которого не помешает чтению дальнейшего текста.

Ссылка I.2.3 означает: глава первая, § 2, п. 3. Ссылка ВМ.III.4 означает: «Введение в математику», глава III, § 4.

Курс, содержание которого приблизительно совпадает с содержанием этой книги (книга «больше» курса на один пункт – I.3.16), я в 1961–1968 гг. читал студентам Отделения структурной и прикладной лингвистики филологического факультета Московского университета имени М. В. Ломоносова ). Поскольку объем книги, в которой поставлены указанные выше цели, по существу сверху не ограничен, я постарался не выходить за объем упомянутого курса.

Мне приятно поблагодарить бывших студентов 2 курса Отделения структурной и прикладной лингвистики филологического факультета МГУ В. М. Алпатова и Н. В. Браккер (1964/65 уч. г.), В. С. Иванова, Г. Е. Крейдлина и К. А. Ладыженскую (1965/66 уч. г.), которым принадлежат дотоле мне не известные решения некоторых задач, помещенных в книге, и одно доказательство из II.2.11. Благодарю также И. Е. Бурмистровича, А. В. Кузнецова ) и А. Л. Онищика за некоторые доказательства из I.3.16, II.2.8 и III.5.2 и некоторые примеры из I.3.15.

Я закончил писать эту книгу в 1966 г., но не сумел ее тогда напечатать. Учтя критику одного из рецензентов, я в 1967 г. добавил к книге I.3.16. В 2005–2006 гг. я книгу немного дополнил и обновил список упомянутой литературы.


Об авторе
Шиханович Юрий Александрович
Кандидат педагогических наук. В 1955 г. окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. В 1955–1957 гг. преподавал в Московском авиационном институте (МАИ) и Московском энергетическом институте (МЭИ), работал в Лаборатории электромоделирования АН СССР. В 1960–1968 гг. преподавал математику на Отделении структурной и прикладной лингвистики филологического факультета МГУ. В 1968–1972 гг. работал инженером в Специальном конструкторском бюро биофизической аппаратуры и электронных машин, в 1975–1983 гг. — редактором в журнале «Квант». С 1995 по 2011 гг. преподавал в Российском государственном гуманитарном университете (РГГУ) математику студентам-лингвистам.

Ю. А. Шиханович стал одним из тех, кто вел в СССР пропаганду и преподавание современной математики. Он был редактором книги В. А. Успенского «Лекции о вычислимых функциях», изданной в серии «Математическая логика и основания математики», и, по свидетельству автора, «без его помощи эта книга, вероятно, не была бы написана». Вместе с Г. Н. Поваровым он перевел на русский язык книгу коллектива французских математиков, объединившихся под псевдонимом Н. Бурбаки: «Начала математики: Основные структуры анализа». В 1965 г. им была опубликована книга «Введение в современную математику: Начальные понятия» (в 1967 г. книга была издана в Японии). В 2005 г. вышла книга «Введение в математику» — переработанное и дополненное переиздание книги 1965 г. Он также опубликовал следующие книги: «Группы, кольца, решетки» (книга по алгебре) (2006), «Минимум по теории алгоритмов для нематематиков» (2009), «Начальные главы математического анализа в полуформальном изложении» (2010), «Логические и математические исчисления» (2011).