Шиханович Ю.А.

Группы.
Кольца. Решетки: Для нематематиков Изд. 2

Содержание

Предисловие

«ОБЩАЯ АЛГЕБРА представляет coбoй одну из больших и интенсивно развивающихся ветвей современной математики. В ее задачи входят изучение алгебраических операций, заданных в множествах произвольной природы, и описание строения тех множеств, в которых заданы алгебраические операции с некоторыми определенными свойствами.

К числу основных типов алгебраических образований, изучаемых общей алгеброй, принадлежат группы и кольца; модули и линейные алгебры; телá и поля; группоиды и полугруппы; структуры и категории; универсальные алгебры и модели…» ([9]) ).

ЭТА КНИГА имеет целью познакомить читателя с некоторыми из перечисленных в предыдущем абзаце понятий: с понятиями группоида, полугруппы, группы, кольца, тела, поля, решетки ) (в частности, булевой решетки, или булевой алгебры), а также некоторыми другими понятиями того же рода. Изложение (за несколькими исключениями) не выходит за пределы простейших свойств вводимых в книгe понятий. Необходимо заметить, что общая алгебра имеет многочисленные приложения в других разделах математики (например, в геометрии, функциональном анализе, топологии, теории автоматов), в физике и ряде других наук, о чем в книге почти ничего не говорится.

Книга рассчитана в первую очередь на нематематиков.

Поэтому она – за одним исключением – не предполагает никаких знаний по алгебре, не содержащихся в школьных учебниках. С другой стороны, от читателя этой книги требуется владение материалом моей книги «Введение в математику» ([18]). Термины, обозначения и теоремы из «Введения в математику» используются в данной книге широко и постоянно, причем чаще всего без специальных ссылок.

Упомянутое исключение – комплексные числа. С одной стороны, комплексные числа и простейшие операции над ними определяются в II.2.18 ), а в дополнении 2 развивается небольшой кусок теории этих чисел, необходимый для примеров. С другой стороны, примеры, использующие комплексные числа, рассматриваются, начиная с I.3.2. По-видимому, читатель, не знакомый с комплексными числами, будет вынужден пропустить эти примеры при первом чтении и вернуться к ним после II.2.18; впрочем, можно попробовать, дойдя до примера 2 в I.3.2, сразу заглянуть в II.2.18 и дополнение 2.

К ситуации с комплексными числами близка кажущаяся логическая несообразность, сознательно допущенная мною в книге.

С одной стороны, с самого начала предполагается, что читатель знает натуральные, целые, рациональные и действительные числа и простейшие законы арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) над ними. Поэтому перечисленные числовые множества с самого начала и систематически используются для построения примеров, причем упомянутые выше «простейшие законы» как бы постулируются, предполагаются известными, данными; доказательства их не приводятся и от читателя не требуется умения их доказывать ).

С другой стороны, в II.2.17 определяются рациональные числа (через целые числа) и правила операций над ними. В этом месте требуется умение, исходя из известных свойств целых чисел, доказывать соответствующие свойства рациональных чисел ).

§ 1 второй главы не зависит от §§ 2, 3 первой главы. §§ 1, 2 третьей главы не зависят даже от введения. §§ 3, 4 и п.п. 1, 2, 4 § 5 третьей главы не зависят от § 3 первой главы и от § 2 второй главы.

В конце почти каждого пункта имеются задачи; на некоторые из них я ссылаюсь в дальнейшем изложении. Более трудные задачи отмечены звездочкой. Задачи чаще всего формулируются там, где их естественнее сформулировать, а не там, где их легче решить. Поэтому идеи для решения некоторых задач будут приходить к читателю по мере дальнейшего чтения книги.

Приложение «Программа» является фактически подробным оглав¬лением книги, подробным указателем содержания и может оказаться полезным для самопроверки усвоения.

В книге имеются примечания двух видов – подстрочные примечания, или сноски, и примечания в конце книги. Сноски нумеруются знакамиi), ii), и т. д., примечания, помещенные в конце книги, – арабскими цифрами1, 2, 3 и т. д. Примечания, помещенные в конце книги, содержат материал, игнорирование которого не помешает чтению дальнейшего текста.

Ссылка I.2.3 означает: глава первая, § 2, п. 3. Ссылка ВМ.III.4 означает: «Введение в математику», глава III, § 4.

Курс, содержание которого приблизительно совпадает с содержанием этой книги (книга «больше» курса на один пункт – I.3.16), я в 1961–1968 гг. читал студентам Отделения структурной и прикладной лингвистики филологического факультета Московского университета имени М. В. Ломоносова ). Поскольку объем книги, в которой поставлены указанные выше цели, по существу сверху не ограничен, я постарался не выходить за объем упомянутого курса.

Мне приятно поблагодарить бывших студентов 2 курса Отделения структурной и прикладной лингвистики филологического факультета МГУ В. М. Алпатова и Н. В. Браккер (1964/65 уч. г.), В. С. Иванова, Г. Е. Крейдлина и К. А. Ладыженскую (1965/66 уч. г.), которым принадлежат дотоле мне не известные решения некоторых задач, помещенных в книге, и одно доказательство из II.2.11. Благодарю также И. Е. Бурмистровича, А. В. Кузнецова ) и А. Л. Онищика за некоторые доказательства из I.3.16, II.2.8 и III.5.2 и некоторые примеры из I.3.15.

Я закончил писать эту книгу в 1966 г., но не сумел ее тогда напечатать. Учтя критику одного из рецензентов, я в 1967 г. добавил к книге I.3.16. В 2005–2006 гг. я книгу немного дополнил и обновил список упомянутой литературы.

Об авторе

Шиханович Юрий Александрович

Кандидат педагогических наук. В 1955 г. окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. В 1955–1957 гг. преподавал в Московском авиационном институте (МАИ) и Московском энергетическом институте (МЭИ), работал в Лаборатории электромоделирования АН СССР. В 1960–1968 гг. преподавал математику на Отделении структурной и прикладной лингвистики филологического факультета МГУ. В 1968–1972 гг. работал инженером в Специальном конструкторском бюро биофизической аппаратуры и электронных машин, в 1975–1983 гг. — редактором в журнале «Квант». С 1995 по 2011 гг. преподавал в Российском государственном гуманитарном университете (РГГУ) математику студентам-лингвистам.

Ю. А. Шиханович стал одним из тех, кто вел в СССР пропаганду и преподавание современной математики. Он был редактором книги В. А. Успенского «Лекции о вычислимых функциях», изданной в серии «Математическая логика и основания математики», и, по свидетельству автора, «без его помощи эта книга, вероятно, не была бы написана». Вместе с Г. Н. Поваровым он перевел на русский язык книгу коллектива французских математиков, объединившихся под псевдонимом Н. Бурбаки: «Начала математики: Основные структуры анализа». В 1965 г. им была опубликована книга «Введение в современную математику: Начальные понятия» (в 1967 г. книга была издана в Японии). В 2005 г. вышла книга «Введение в математику» — переработанное и дополненное переиздание книги 1965 г. Он также опубликовал следующие книги: «Группы, кольца, решетки» (книга по алгебре) (2006), «Минимум по теории алгоритмов для нематематиков» (2009), «Начальные главы математического анализа в полуформальном изложении» (2010), «Логические и математические исчисления» (2011).