Обложка Марчук Н.Г., Широков Д.С. Теория алгебр Клиффорда и спиноров
Id: 272661
999 руб.

Теория алгебр Клиффорда и спиноров

URSS. 2021. 560 с. ISBN 978-5-396-01014-7.
  • Твердый переплет
Marchuk N.G., Shirokov D.S. «Theory of Clifford algebras and spinors». (In Russian).

Аннотация

В книге излагается ряд актуальных разделов теории алгебр Клиффорда. Алгебры Клиффорда применяются во многих разделах современной математики, физики, механики, инженерии, обработке сигналов и др. В книге подробно излагается теория представлений алгебр Клиффорда. Детально разбираются вопросы связи спинорных и ортогональных групп, теорема Паули. Развивается метод кватернионной типизации элементов алгебр Клиффорда. Рассматриваются связи с унитарными,...(Подробнее) псевдоунитарными и симплектическими группами Ли, а также теория спиноров, которая важна для математической и теоретической физики. Для специалистов в области математической и теоретической физики, аспирантов и студентов математического и физического направления.

THEORY OF CLIFFORD ALGEBRAS AND SPINORS.

The book deals with several actual branches of Clifford algebra theory. Clifford algebras are used in mathematics, physics, mechanics, engineering, signal processing, etc. We discuss in details a representation theory of Clifford algebras. Also we discuss the connection between spin and orthogonal groups, Pauli theorem. We develop a method of quaternion typification of Clifford algebra elements. We consider relations with unitary, pseudo-unitary and symplectic Lie groups. We consider theory of spinors, which is important for mathematical and theoretical physics.


Содержание
От авторов11
Предисловие13
Список обозначений21
Часть I Алгебры Клиффорда и смежные структуры25
Глава 1 Алгебра матриц Дирака29
1.1 gamma-матрицы Дирака29
1.2 Связь gamma-матриц с псевдоунитарной группой34
Глава 2 Алгебра Клиффорда CxCl_{1,3}39
2.1 Алгебры Клиффорда Cl_{1,3} и CxCl_{1,3}39
2.2 Структуры, связанные с элементами алгебры Клиффорда41
2.3 Внешнее умножение элементов алгебры Клиффорда44
2.4 Эрмитово сопряжение и скалярное произведение в CxCl_{1,3}46
2.5 Другие операции сопряжения49
2.6 Эрмитовы идемпотенты и идеалы52
2.7 Матричные представления алгебры CxCl_{1,3}55
2.8 Другие матричные представления алгебры CxCl_{1,3}58
2.9 Вторичные порождающие алгебры CxCl_{1,3}61
2.1 Простейшие операции над элементами алгебры CxCl_{1,3}62
Глава 3 Алгебры Клиффорда Cl_{p,q} и CxCl_{p,q}69
3.1 Определение алгебр Клиффорда с фиксированным базисом69
3.2 О комплексифицированных и комплексных алгебрах Клиффорда71
3.3 Примеры алгебр Клиффорда малых размерностей73
3.4 Другие определения алгебр Клиффорда75
3.5 Классификации элементов алгебр Клиффорда по рангам, четности и кватернионным типам77
3.6 Операторы сопряжения79
3.7 Структура унитарного (или евклидова) пространства на алгебре Клиффорда83
Глава 4 Матричные представления алгебр Клиффорда91
4.1 Матричные представления алгебр Клиффорда, примеры92
4.2 Эрмитовы идемпотенты, левые идеалы и смежные структуры95
4.3 Нормальные представления алгебр Клиффорда в виде комплексных матриц99
4.4 Примеры матричных представлений алгебр Клиффорда106
4.5 Рекуррентный метод построения матричного представления комплексифицированных алгебр Клиффорда109
4.6 Периодичность Картана—Ботта и матричные представления вещественных алгебр Клиффорда111
4.7 Внешняя сигнатура алгебр Клиффорда116
4.8 Рекуррентный метод построения матричного представления вещественных алгебр Клиффорда119
Часть II Метод кватернионной типизации123
Глава 5 Коммутаторы и антикоммутаторы в алгебрах Клиффорда127
5.1 Центр алгебр Клиффорда127
5.2 Формулы для коммутаторов и антикоммутаторов от элементов алгебры Клиффорда фиксированных рангов130
5.3 Некоторые частные случаи формул для коммутаторов и антикоммутаторов133
5.4 Определения подпространств фиксированных рангов алгебры Клиффорда142
5.5 Решение коммутаторных уравнений143
Глава 6 Кватернионная типизация алгебр Клиффорда153
6.1 Алгебры кватернионного типа153
6.2 Основы кватернионной типизации элементов алгебры Клиффорда158
6.3 Кватернионная типизация алгебр Клиффорда в бескоординатной форме166
6.4 Размерности подпространств кватернионных типов169
Глава 7 Развитие метода кватернионной типизации173
7.1 Подалгебры в виде подпространств из элементов фиксированных кватернионных типов173
7.2 Классификация подалгебр алгебры Ли псевдоунитарной группы алгебры Клиффорда176
7.3 Тройные коммутаторы и антикоммутаторы в алгебрах Клиффорда181
7.4 Развитие метода кватернионной типизации с помощью k-мерных коммутаторов и антикоммутаторов184
7.5 Сопряжения и метод кватернионной типизации189
Глава 8 Алгебры Грассмана и кватернионные типы199
8.1 Определение алгебры Грассмана199
8.2 Классификации элементов алгебр Грассмана по рангам, четности и кватернионным типам200
8.3 Формулы для коммутаторов и антикоммутаторов от элементов алгебры Грассмана202
8.4 Внешнее умножение элементов алгебр Клиффорда203
8.5 Клиффордово умножение элементов алгебры Грассмана205
8.6 Алгебра Грассмана как алгебра кватернионного типа206
8.7 k-мерные коммутаторы и антикоммутаторы в алгебре Грассмана207
Часть III Метод усреднения в алгебрах Клиффорда и обобщенная теорема Паули213
Глава 9 Свертки по наборам элементов базиса алгебры Клиффорда217
9.1 Теорема о свертке порождающих219
9.2 Теорема о свертке элементов базиса фиксированного ранга222
9.3 Частные случаи теоремы о свертке224
9.4 Полные свертки225
9.5 Свертки по четным или нечетным элементам базиса228
9.6 Свертки по сопряженным наборам элементов базиса229
9.7 Свертки по элементам базиса фиксированного кватернионного типа233
Глава 10 Обобщенные свертки в алгебрах Клиффорда241
10.1 Теоремы о коммутировании элементов базиса алгебры Клиффорда241
10.2 Второй базис в алгебрах Клиффорда247
10.3 Обобщенные свертки257
10.4 Обобщенные свертки по четным и нечетным индексам264
10.5 Обобщенные свертки по сопряженным наборам мультииндексов в нечетной алгебре Клиффорда266
Глава 11 Теорема Паули и ее обобщения на случай алгебр Клиффорда275
11.1 Теорема Паули в случае n=4276
11.2 Обобщенная теорема Паули в алгебрах Клиффорда с четным n в общей постановке277
11.3 Обобщенная теорема Паули в алгебрах Клиффорда с четным n для нечетных элементов282
11.4 Обобщенная теорема Паули в алгебрах Клиффорда с нечетным n для нечетных элементов285
11.5 Обобщенная теорема Паули в алгебрах Клиффорда с нечетным n в общей постановке290
11.6 Локальная обобщенная теорема Паули301
Глава 12 Связь обобщенной теоремы Паули с теорией представлений309
12.1 Основы теории представлений, лемма Шура309
12.2 Метод усреднения в теории представлений конечных групп312
12.3 Неприводимые представления алгебр Клиффорда317
12.4 Алгебраический взгляд на классификацию алгебр Клиффорда320
12.5 Обобщенная теорема Паули в терминах матриц323
12.6 Операция взятия следа от элемента алгебры Клиффорда328
12.7 Определитель от элемента комплексифицированной алгебры Клиффорда332
Часть IV Группы Ли и алгебры Ли в алгебрах Клиффорда339
Глава 13 Ортогональные группы343
13.1 Псевдоортогональная и специальная псевдоортогональная группа343
13.2 Некоторые соотношения для элементов псевдоортогональной группы346
13.3 Ортохронная, ортохорная и специальная ортохронная группы351
13.4 Ортогональные группы и алгебры Клиффорда354
13.5 Структура ортогональных групп359
Глава 14 Спинорные группы и их связь с ортогональными367
14.1 Группа обратимых элементов алгебры Клиффорда, присоединенные действия367
14.2 Применение обобщенной теоремы Паули при изучении группы Липшица и группы Клиффорда370
14.3 Спинорные группы как нормализованные подгруппы группы Липшица374
14.4 Теоремы о норме элементов спинорных групп378
14.5 Сюръективные отображения спинорных групп на ортогональные383
14.6 Вычисление элементов спинорных групп по элементам ортогональных групп389
Глава 15 Дальнейшее исследование спинорных групп393
15.1 Отражения относительно гиперплоскостей и теорема Картана—Дьедонне393
15.2 Другой подход к исследованию группы Липшица395
15.3 Явный вид элементов группы Клиффорда, группы Липшица и спинорных групп398
15.4 Случай евклидовых сигнатур400
15.5 Структура спинорных групп403
15.6 Спинорные группы в случае малых размерностей408
Глава 16 Спинорные группы как группы Ли417
16.1 Алгебры Ли спинорных групп417
16.2 Двулистные накрытия ортогональных групп спинорными, связность и односвязность спинорных групп419
16.3 Экспонента от элементов второго ранга алгебры Cl_{1,3}422
16.4 Внешние экспоненты от элементов алгебры Клиффорда425
16.5 Внешняя экспонента от элементов второго ранга алгебры CxCl_{1,3}427
16.6 Множество Cl^{{EOO}}_{1,3} и амплитуда433
Глава 17 Унитарные и псевдоунитарные группы Ли в алгебрах Клиффорда441
17.1 Унитарные группы алгебры Клиффорда441
17.2 Псевдоунитарные группы алгебры Клиффорда443
17.3 Симплектическая подгруппа псевдоунитарной группы WCl^C_{1,3}445
17.4 Унитарные подгруппы псевдоунитарных, симплектических и спинорных групп алгебры Клиффорда CxCl_{1,3}448
17.5 Алгебры Ли унитарных подгрупп псевдоунитарных групп алгебры Клиффорда CxCl_{1,n-1}453
Глава 18 Спиноры461
18.1 Спиноры Дирака и Вейля в формализме алгебр Клиффорда461
18.2 Согласованность матричных операций и операций в алгебрах Клиффорда463
18.3 Дополнительные сигнатуры алгебр Клиффорда465
18.4 Обобщение дираковского сопряжения468
18.5 Обобщение майорановского сопряжения и теорема о дополнительной сигнатуре алгебры Клиффорда469
18.6 Обобщение зарядового сопряжения, спиноры Майорана и Майорана—Вейля в формализме алгебр Клиффорда474
Приложения479
Глава 19 Некоторые основные алгебраические понятия483
19.1 Элементы теории множеств483
19.2 Отображения484
19.3 Группы486
19.4 Кольца, тела, поля488
19.5 Модули, векторные пространства489
19.6 Билинейные и квадратичные функции на векторном пространстве490
19.7 Алгебры491
Глава 20 Некоторые геометрические понятия495
20.1 Евклидово пространство495
20.2 Псевдоевклидово, унитарное и симплектическое пространства497
20.3 Метрическое пространство499
20.4 Топологическое пространство, многообразие499
20.5 Линейная связность, фундаментальная группа, односвязность501
20.6 Накрытия502
20.7 Группы Ли и алгебры Ли503
20.8 Классические матричные группы504
Глава 21 Некоторые обобщения алгебр Клиффорда513
21.1 Обобщенные алгебры Клиффорда третьего и высших порядков514
21.2 Демонстрационное представление и тензорные произведения алгебр Клиффорда516
21.2.1 Озадачивающий пример517
21.2.2 Алгебры Клиффорда как тензорные произведения алгебр Клиффорда второго и первого порядков518
21.2.3 Тензорные произведения произвольных алгебр Клиффорда526
21.3 Классификация расширенных алгебр Клиффорда528
21.3.1 Алгебры Клиффорда Cl_{p,q}, коммутативные алгебры K_{r,s} и расширенные алгебры Клиффорда Cl_{r,s|p,q}529
21.3.2 Классификация расширенных алгебр Клиффорда530
21.4 Внешние полиметрические алгебры534
Литература543
Предметный указатель549

Об авторах
Марчук Николай Гурьевич
Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва.

Доктор физико-математических наук, является ведущим научным сотрудником отдела математической физики Математического института им. В. А. Стеклова РАН. С 1992 г. реализует исследовательский проект построения теории поля на основе математического аппарата алгебры Клиффорда и алгебры генформ.

Широков Дмитрий Сергеевич
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Москва.

В 2009 г. окончил с отличием механико-математический факультет Московского государственного университета (МГУ) имени М. В. Ломоносова. В 2013 г. в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской академии наук защитил кандидатскую диссертацию на тему «Некоторые вопросы теории алгебр Клиффорда, возникающие в теории поля». В настоящее время является сотрудником НИУ ВШЭ и ИППИ РАН. Сфера научной деятельности связана с алгебро-геометрическими методами в математической физике.