Марчук Н.Г., Широков Д.С. Теория алгебр Клиффорда и спиноров

URSS. 2021. 560 с. ISBN 978-5-396-01014-7.

Белая офсетная бумага

Твердый переплет

Marchuk N.G., Shirokov D.S. «Theory of Clifford algebras and spinors». (In Russian).

Аннотация

В книге излагается ряд актуальных разделов теории алгебр Клиффорда. Алгебры Клиффорда применяются во многих разделах современной математики, физики, механики, инженерии, обработке сигналов и др. В книге подробно излагается теория представлений алгебр Клиффорда. Детально разбираются вопросы связи спинорных и ортогональных групп, теорема Паули. Развивается метод кватернионной типизации элементов алгебр Клиффорда. Рассматриваются связи с унитарными,... (Подробнее)

Содержание

От авторов				11
Предисловие				13
Список обозначений				21
Часть I Алгебры Клиффорда и смежные структуры				25
Глава 1 Алгебра матриц Дирака				29
1.1 gamma-матрицы Дирака				29
1.2 Связь gamma-матриц с псевдоунитарной группой				34
Глава 2 Алгебра Клиффорда CxCl_{1,3}				39
2.1 Алгебры Клиффорда Cl_{1,3} и CxCl_{1,3}				39
2.2 Структуры, связанные с элементами алгебры Клиффорда				41
2.3 Внешнее умножение элементов алгебры Клиффорда				44
2.4 Эрмитово сопряжение и скалярное произведение в CxCl_{1,3}				46
2.5 Другие операции сопряжения				49
2.6 Эрмитовы идемпотенты и идеалы				52
2.7 Матричные представления алгебры CxCl_{1,3}				55
2.8 Другие матричные представления алгебры CxCl_{1,3}				58
2.9 Вторичные порождающие алгебры CxCl_{1,3}				61
2.1 Простейшие операции над элементами алгебры CxCl_{1,3}				62
Глава 3 Алгебры Клиффорда Cl_{p,q} и CxCl_{p,q}				69
3.1 Определение алгебр Клиффорда с фиксированным базисом				69
3.2 О комплексифицированных и комплексных алгебрах Клиффорда				71
3.3 Примеры алгебр Клиффорда малых размерностей				73
3.4 Другие определения алгебр Клиффорда				75
3.5 Классификации элементов алгебр Клиффорда по рангам, четности и кватернионным типам				77
3.6 Операторы сопряжения				79
3.7 Структура унитарного (или евклидова) пространства на алгебре Клиффорда				83
Глава 4 Матричные представления алгебр Клиффорда				91
4.1 Матричные представления алгебр Клиффорда, примеры				92
4.2 Эрмитовы идемпотенты, левые идеалы и смежные структуры				95
4.3 Нормальные представления алгебр Клиффорда в виде комплексных матриц				99
4.4 Примеры матричных представлений алгебр Клиффорда				106
4.5 Рекуррентный метод построения матричного представления комплексифицированных алгебр Клиффорда				109
4.6 Периодичность Картана—Ботта и матричные представления вещественных алгебр Клиффорда				111
4.7 Внешняя сигнатура алгебр Клиффорда				116
4.8 Рекуррентный метод построения матричного представления вещественных алгебр Клиффорда				119
Часть II Метод кватернионной типизации				123
Глава 5 Коммутаторы и антикоммутаторы в алгебрах Клиффорда				127
5.1 Центр алгебр Клиффорда				127
5.2 Формулы для коммутаторов и антикоммутаторов от элементов алгебры Клиффорда фиксированных рангов				130
5.3 Некоторые частные случаи формул для коммутаторов и антикоммутаторов				133
5.4 Определения подпространств фиксированных рангов алгебры Клиффорда				142
5.5 Решение коммутаторных уравнений				143
Глава 6 Кватернионная типизация алгебр Клиффорда				153
6.1 Алгебры кватернионного типа				153
6.2 Основы кватернионной типизации элементов алгебры Клиффорда				158
6.3 Кватернионная типизация алгебр Клиффорда в бескоординатной форме				166
6.4 Размерности подпространств кватернионных типов				169
Глава 7 Развитие метода кватернионной типизации				173
7.1 Подалгебры в виде подпространств из элементов фиксированных кватернионных типов				173
7.2 Классификация подалгебр алгебры Ли псевдоунитарной группы алгебры Клиффорда				176
7.3 Тройные коммутаторы и антикоммутаторы в алгебрах Клиффорда				181
7.4 Развитие метода кватернионной типизации с помощью k-мерных коммутаторов и антикоммутаторов				184
7.5 Сопряжения и метод кватернионной типизации				189
Глава 8 Алгебры Грассмана и кватернионные типы				199
8.1 Определение алгебры Грассмана				199
8.2 Классификации элементов алгебр Грассмана по рангам, четности и кватернионным типам				200
8.3 Формулы для коммутаторов и антикоммутаторов от элементов алгебры Грассмана				202
8.4 Внешнее умножение элементов алгебр Клиффорда				203
8.5 Клиффордово умножение элементов алгебры Грассмана				205
8.6 Алгебра Грассмана как алгебра кватернионного типа				206
8.7 k-мерные коммутаторы и антикоммутаторы в алгебре Грассмана				207
Часть III Метод усреднения в алгебрах Клиффорда и обобщенная теорема Паули				213
Глава 9 Свертки по наборам элементов базиса алгебры Клиффорда				217
9.1 Теорема о свертке порождающих				219
9.2 Теорема о свертке элементов базиса фиксированного ранга				222
9.3 Частные случаи теоремы о свертке				224
9.4 Полные свертки				225
9.5 Свертки по четным или нечетным элементам базиса				228
9.6 Свертки по сопряженным наборам элементов базиса				229
9.7 Свертки по элементам базиса фиксированного кватернионного типа				233
Глава 10 Обобщенные свертки в алгебрах Клиффорда				241
10.1 Теоремы о коммутировании элементов базиса алгебры Клиффорда				241
10.2 Второй базис в алгебрах Клиффорда				247
10.3 Обобщенные свертки				257
10.4 Обобщенные свертки по четным и нечетным индексам				264
10.5 Обобщенные свертки по сопряженным наборам мультииндексов в нечетной алгебре Клиффорда				266
Глава 11 Теорема Паули и ее обобщения на случай алгебр Клиффорда				275
11.1 Теорема Паули в случае n=4				276
11.2 Обобщенная теорема Паули в алгебрах Клиффорда с четным n в общей постановке				277
11.3 Обобщенная теорема Паули в алгебрах Клиффорда с четным n для нечетных элементов				282
11.4 Обобщенная теорема Паули в алгебрах Клиффорда с нечетным n для нечетных элементов				285
11.5 Обобщенная теорема Паули в алгебрах Клиффорда с нечетным n в общей постановке				290
11.6 Локальная обобщенная теорема Паули				301
Глава 12 Связь обобщенной теоремы Паули с теорией представлений				309
12.1 Основы теории представлений, лемма Шура				309
12.2 Метод усреднения в теории представлений конечных групп				312
12.3 Неприводимые представления алгебр Клиффорда				317
12.4 Алгебраический взгляд на классификацию алгебр Клиффорда				320
12.5 Обобщенная теорема Паули в терминах матриц				323
12.6 Операция взятия следа от элемента алгебры Клиффорда				328
12.7 Определитель от элемента комплексифицированной алгебры Клиффорда				332
Часть IV Группы Ли и алгебры Ли в алгебрах Клиффорда				339
Глава 13 Ортогональные группы				343
13.1 Псевдоортогональная и специальная псевдоортогональная группа				343
13.2 Некоторые соотношения для элементов псевдоортогональной группы				346
13.3 Ортохронная, ортохорная и специальная ортохронная группы				351
13.4 Ортогональные группы и алгебры Клиффорда				354
13.5 Структура ортогональных групп				359
Глава 14 Спинорные группы и их связь с ортогональными				367
14.1 Группа обратимых элементов алгебры Клиффорда, присоединенные действия				367
14.2 Применение обобщенной теоремы Паули при изучении группы Липшица и группы Клиффорда				370
14.3 Спинорные группы как нормализованные подгруппы группы Липшица				374
14.4 Теоремы о норме элементов спинорных групп				378
14.5 Сюръективные отображения спинорных групп на ортогональные				383
14.6 Вычисление элементов спинорных групп по элементам ортогональных групп				389
Глава 15 Дальнейшее исследование спинорных групп				393
15.1 Отражения относительно гиперплоскостей и теорема Картана—Дьедонне				393
15.2 Другой подход к исследованию группы Липшица				395
15.3 Явный вид элементов группы Клиффорда, группы Липшица и спинорных групп				398
15.4 Случай евклидовых сигнатур				400
15.5 Структура спинорных групп				403
15.6 Спинорные группы в случае малых размерностей				408
Глава 16 Спинорные группы как группы Ли				417
16.1 Алгебры Ли спинорных групп				417
16.2 Двулистные накрытия ортогональных групп спинорными, связность и односвязность спинорных групп				419
16.3 Экспонента от элементов второго ранга алгебры Cl_{1,3}				422
16.4 Внешние экспоненты от элементов алгебры Клиффорда				425
16.5 Внешняя экспонента от элементов второго ранга алгебры CxCl_{1,3}				427
16.6 Множество Cl^{{EOO}}_{1,3} и амплитуда				433
Глава 17 Унитарные и псевдоунитарные группы Ли в алгебрах Клиффорда				441
17.1 Унитарные группы алгебры Клиффорда				441
17.2 Псевдоунитарные группы алгебры Клиффорда				443
17.3 Симплектическая подгруппа псевдоунитарной группы WCl^C_{1,3}				445
17.4 Унитарные подгруппы псевдоунитарных, симплектических и спинорных групп алгебры Клиффорда CxCl_{1,3}				448
17.5 Алгебры Ли унитарных подгрупп псевдоунитарных групп алгебры Клиффорда CxCl_{1,n-1}				453
Глава 18 Спиноры				461
18.1 Спиноры Дирака и Вейля в формализме алгебр Клиффорда				461
18.2 Согласованность матричных операций и операций в алгебрах Клиффорда				463
18.3 Дополнительные сигнатуры алгебр Клиффорда				465
18.4 Обобщение дираковского сопряжения				468
18.5 Обобщение майорановского сопряжения и теорема о дополнительной сигнатуре алгебры Клиффорда				469
18.6 Обобщение зарядового сопряжения, спиноры Майорана и Майорана—Вейля в формализме алгебр Клиффорда				474
Приложения				479
Глава 19 Некоторые основные алгебраические понятия				483
19.1 Элементы теории множеств				483
19.2 Отображения				484
19.3 Группы				486
19.4 Кольца, тела, поля				488
19.5 Модули, векторные пространства				489
19.6 Билинейные и квадратичные функции на векторном пространстве				490
19.7 Алгебры				491
Глава 20 Некоторые геометрические понятия				495
20.1 Евклидово пространство				495
20.2 Псевдоевклидово, унитарное и симплектическое пространства				497
20.3 Метрическое пространство				499
20.4 Топологическое пространство, многообразие				499
20.5 Линейная связность, фундаментальная группа, односвязность				501
20.6 Накрытия				502
20.7 Группы Ли и алгебры Ли				503
20.8 Классические матричные группы				504
Глава 21 Некоторые обобщения алгебр Клиффорда				513
21.1 Обобщенные алгебры Клиффорда третьего и высших порядков				514
21.2 Демонстрационное представление и тензорные произведения алгебр Клиффорда				516
21.2.1 Озадачивающий пример				517
21.2.2 Алгебры Клиффорда как тензорные произведения алгебр Клиффорда второго и первого порядков				518
21.2.3 Тензорные произведения произвольных алгебр Клиффорда				526
21.3 Классификация расширенных алгебр Клиффорда				528
21.3.1 Алгебры Клиффорда Cl_{p,q}, коммутативные алгебры K_{r,s} и расширенные алгебры Клиффорда Cl_{r,s\|p,q}				529
21.3.2 Классификация расширенных алгебр Клиффорда				530
21.4 Внешние полиметрические алгебры				534
Литература				543
Предметный указатель				549

Об авторах

Марчук Николай Гурьевич

Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва.

Доктор физико-математических наук, является ведущим научным сотрудником отдела математической физики Математического института им. В. А. Стеклова РАН. С 1992 г. реализует исследовательский проект построения теории поля на основе математического аппарата алгебры Клиффорда и алгебры генформ.

Широков Дмитрий Сергеевич

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Москва.

В 2009 г. окончил с отличием механико-математический факультет Московского государственного университета (МГУ) имени М. В. Ломоносова. В 2013 г. в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской академии наук защитил кандидатскую диссертацию на тему «Некоторые вопросы теории алгебр Клиффорда, возникающие в теории поля». В настоящее время является сотрудником НИУ ВШЭ и ИППИ РАН. Сфера научной деятельности связана с алгебро-геометрическими методами в математической физике.