| От редакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
|
| Удивительный мир систем с запаздыванием (Г. Г. Малинецкий) . . . . 13
|
| От автора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
|
| Глава 1. Локальная и глобальная устойчивость.
|
| Бифуркационный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
|
| Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
|
| 1.1. Оценка области глобальной устойчивости состояния равновесия логистического уравнения с запаздыванием . . . 41
|
| 1.1.1. Основная конструкция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
|
| 1.1.2. Случай m = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
|
| 1.1.3. Случай m = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
|
| 1.1.4. Случай m = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
|
| 1.2. Бифуркация Андронова—Хопфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
|
| 1.2.1. Бифуркация Андронова—Хопфа в логистическом уравнении с запаздыванием . . . . . . . . . . 61
|
| 1.2.2. Бифуркация Андронова—Хопфа в логистическом уравнении с запаздыванием и с малым возмущением . . . . . . . . . . . . 62
|
| 1.3. Бифуркация в окрестности состояния равновесия в случае, когда малые возмущения содержат большое запаздывание . . 63
|
| 1.3.1. Построение нормальной формы в окрестности состояния равновесия . . . . . . . . . . . . . . . 64
|
| 1.3.2. О локальной динамике уравнения (1.52) в случае сверхбольших значений h . . . . . . . . . . . . . . . . 65
|
| 1.3.3. Малые возмущения в окрестности цикла . . . . . . . . . . . . . 69
|
| 1.3.4. Пример. Комплексное логистическое уравнение с запаздыванием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
|
| 1.4. Параметрический резонанс при двухчастотном возмущении в логистическом уравнении с запаздыванием . . . . . . . . . . . 74
|
| 1.4.1. Алгоритмическая часть . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
|
| 1.4.2. Результаты численного исследования . . . . . . . . . . . . . . . 79
|
| Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
|
| Глава 2. Динамика в случае медленно осциллирующих и быстро осциллирующих коэффициентов . . . . . . . 87
|
| 2.1. Динамика логистического уравнения с запаздыванием и медленно меняющимися коэффициентами . . . . . . . . . . . 87
|
| 2.1.1. Построение почти периодического решения, близкого к a−1 (τ) и исследование его устойчивости . . . . . . . . . . . . 89
|
| 2.1.2. Исследование устойчивости решения u 0 (τ, ε) в критическом случае . . . 90
|
| 2.1.3. Бифуркация Андронова—Хопфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
|
| 2.1.4. Алгоритм построения регулярных почти периодичных решений при условии r(τ)T(τ) ≡ const . . . . . . . . . . . . . 95
|
| 2.1.5. Асимптотика релаксационных решений в случае больших значений мальтузианского коэффициента . . . . . . 98
|
| 2.1.6. Асимптотика решений уравнения (2.1) при условии, когда достаточно большим является коэффициент запаздывания . . 101
|
| 2.2. Применение принципа усреднения к исследованию динамики логистического уравнения с запаздыванием . . . . 104
|
| 2.2.1. Усреднение при постоянном запаздывании . . . . . . . . . . . 106
|
| 2.2.2. Линейный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
|
| 2.2.3. Нелинейный анализ. Бифуркация Андронова—Хопфа . . . . . 108
|
| 2.2.4. Усреднение в случае переменного запаздывания . . . . . . . . 110
|
| Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
|
| Глава 3. Релаксационные колебания в логистическом уравнении с запаздыванием . . . . . 123
|
| Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
|
| 3.1. Асимптотика периодического решения обобщенного логистического уравнения с запаздыванием . . . . . . . . . . . . 124
|
| 3.1.1. Постановка задачи и основные результаты . . . . . . . . . . . 124
|
| 3.1.2. Доказательство существования периодического решения . . . 128
|
| 3.1.3. Доказательство теорем 3.2–3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
|
| 3.1.4. Завершение обоснования теоремы 3.1 . . . . . . . . . . . . . . 136
|
| 3.1.5. Случай, когда большим параметром является коэффициент запаздывания . . . .. 142
|
| 3.1.6. Об асимптотическом разложении периодического логистического уравнения с запаздыванием . . 143
|
| 3.1.7. О некоторых выводах биологического характера . . . . . . . . 145
|
| 3.2. Логистическое уравнение с запаздыванием и с малой миграцией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
|
| 3.2.1. Быстро осциллирующие решения уравнения с малой миграцией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
|
| 3.2.2. Особенности логистического уравнения с двумя запаздываниями и с малой миграцией . . . . . . . . . 149
|
| 3.3. Управление периодом релаксационных колебаний с помощью малых воздействий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
|
| 3.4. Оптимизация процесса охоты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
|
| Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
|
| Глава 4. Локальный и нелокальный анализ динамики уравнения с двумя запаздываниями . . . . . . . . . . . . 161
|
| Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
|
| 4.1. Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона . . . . . . . . . 162
|
| 4.1.1. Локальный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
|
| 4.1.2. Исследование характеристического квазимногочлена . . . . . 163
|
| 4.1.3. Построение нормальной формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
|
| 4.1.4. Численный анализ исследуемой системы . . . . . . . . . . . . . 172
|
| 4.2. Динамика логистического уравнения, содержащего запаздывание . . . . . . . .. . . 181
|
| 4.2.1. Бифуркация Андронова—Хопфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
|
| 4.2.2. Построение квазинормальных форм при больших значениях параметра λ . . .. 186
|
| 4.2.3. Медленно осциллирующие решения . . . . . . . . . . . . . . . 186
|
| 4.2.4. О решении краевой задачи (4.64), (4.65) . . . . . . . . . . . . . 188
|
| 4.2.5. Быстро осциллирующие решения . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
|
| 4.2.6. Более сложная конструкция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
|
| 4.2.7. Асимптотика релаксационного цикла при больших λ . . . . . 194
|
| 4.3. Динамика логистического уравнения с двумя запаздываниями . . . . . . . . . . . . . 199
|
| 4.3.1. Асимптотика релаксационного цикла . . . . . . . . . . . . . . . 200
|
| 4.3.2. Асимптотика релаксационного цикла при малых значениях параметра σ . . . .. 203
|
| 4.3.3. Асимптотика медленно осциллирующих структур в малой окрестности состояния равновесия уравнения (4.88) . . 205
|
| 4.3.4. Асимптотика быстро осциллирующих структур в малой окрестности состояния равновесия уравнения (4.88) . . 210
|
| 4.4. О локальной динамике нелинейных дифференциальных уравнений с двумя запаздываниями . . . 212
|
| Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
|
| Глава 5. Уравнения и системы логистических уравнений с запаздыванием и запаздывающим управлением . . 217
|
| Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
|
| 5.1. Динамика логистического уравнения с запаздыванием и запаздывающим управлением. . . . . . . . . 218
|
| 5.1.1. Уравнение с малым коэффициентом запаздывающего управления . . . . . . . . . 218
|
| 5.1.2. Сосуществование близких циклов . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
|
| 5.1.3. Локальный анализ уравнения (5.1) при малых γ . . . . . . . . 225
|
| 5.1.4. Уравнение с большим коэффициентом запаздывающего управления . . . . . . . . . 226
|
| 5.1.5. Управление динамикой (5.1) с помощью малых значений h . . . . . . . . . .227
|
| 5.1.6. Основная конструкция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
|
| 5.1.7. Бифуркационное значение параметра запаздывания T . . . . 229
|
| 5.1.8. Критический случай. Построение квазинормальных форм . . 230
|
| 5.1.9. Динамика при малом мальтузианском коэффициенте и большом запаздывании в управляющем воздействии . . . . 232
|
| 5.1.10. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
|
| 5.2. Корпоративная динамика систем логистических уравнений с запаздыванием и с большим запаздывающим управлением . . . . . . . . . . . . 233
|
| 5.2.1. Динамика системы из двух связанных логистических уравнений с запаздыванием . . . . 234
|
| 5.2.2. Более общая конструкция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
|
| 5.2.3. Численное исследование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
|
| 5.2.4. О корпоративной динамике системы из трех логистических уравнений с запаздыванием . . . . . . 247
|
| 5.2.5. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
|
| Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
|
| Глава 6. Модифицированные логистические уравнения с запаздыванием . . . . . . . . 255
|
| Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
|
| 6.1. Периодические решения нелинейных уравнений, обобщающих логистическое уравнение с запаздыванием . . . 255
|
| 6.1.1. Основные результаты для логистического уравнения с запаздыванием . . . . . 257
|
| 6.1.2. Периодические решения уравнения (6.10) . . . . . . . . . . . . 259
|
| 6.1.3. Применение результатов раздела 6.1.2 к уравнению (6.6) . . . 265
|
| 6.1.4. Релаксационные циклы при условии λ 1 . . . . . . . . . . . 267
|
| 6.2. Релаксационные колебания в логистическом уравнении с запаздыванием и модифицированными нелинейностями . . . 271
|
| 6.2.1. Бифуркация Андронова—Хопфа в уравнениях с одним запаздыванием . . . . . . . . . . . . . . 273
|
| 6.2.2. Ступенчатые решения логистического уравнения с запаздываниями и ограничением нелинейной функции . . . 276
|
| 6.2.3. Ступенчатые решения уравнения с двумя запаздываниями . . 281
|
| 6.2.4. Асимптотика периодического решения уравнения (6.43) . . . 287
|
| 6.2.5. Асимптотика периодического решения уравнений (6.46) и (6.47) . . . . . . . . . . . . . . . 289
|
| Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
|
| Глава 7. Логистическое уравнение с запаздыванием, зависящим от искомой функции . . . . .. . . 297
|
| 7.1. Локальная динамика обобщенного логистического уравнения с запаздыванием, зависящим от искомой функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
|
| 7.1.1. Линейный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
|
| 7.1.2. Основные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
|
| 7.1.3. Транскритическая и вилообразная бифуркации . . . . . . . . . 303
|
| 7.1.4. Бифуркация Андронова—Хопфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
|
| 7.1.5. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
|
| 7.2. Бифуркационные явления в логистическом уравнении с запаздываниями, зависящими от искомой функции . . . . . 311
|
| 7.2.1. Линейный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
|
| 7.2.2. Бифуркации медленно осциллирующих решений . . . . . . . . 316
|
| 7.2.3. Бифуркации быстро осциллирующих решений . . . . . . . . . 318
|
| 7.2.4. Бифуркации в случае α ≈ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
|
| 7.3. Релаксационные колебания в уравнении с непостоянным запаздыванием . . . . . . . . . 325
|
| 7.3.1. Основные утверждения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
|
| 7.3.2. Доказательство существования периодического решения . . . 328
|
| 7.3.3. Свойства периодического решения . . . . . . . . . . . . . . . . 337
|
| 7.3.4. Свойства решения при конкретизации запаздывания . . . . . 339
|
| Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
|
| Глава 8. Динамические свойства в модели популяции насекомых . . . . . . . . . . . . . . . . 347
|
| Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
|
| 8.1. Математическая модель эксперимента Николсона . . . . . . . . 348
|
| 8.1.1. Локальный анализ модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
|
| 8.1.2. Анализ нелинейного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
|
| 8.1.3. Некоторые свойства двух уравнений . . . . . . . . . . . . . . . 360
|
| 8.1.4. Теоретическое объяснение экспериментального результата Николсона . . . . . . . . . . . 362
|
| 8.1.5. Численный анализ одного уравнения . . . . . . . . . . . . . . . 363
|
| 8.1.6. Численный анализ двух уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . 367
|
| 8.2. Динамика логистического уравнения с двумя запаздываниями, моделирующего изменение численностей популяции . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
|
| 8.2.1. Линейный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
|
| 8.2.2. Нелинейный анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
|
| 8.2.3. Случай a 0 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
|
| 8.2.4. Динамика решений при условии |a 0 | = 1 . . . . . . . . . . . . 381
|
| 8.2.5. Случай h 0 = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
|
| 8.3. Исследование стационарных режимов дифференциально-разностного уравнения динамики популяции насекомых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
|
| 8.3.1. Основные результаты о режимах с одной генерацией в год . . 386
|
| 8.3.2. О доказательстве теорем 8.7–8.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
|
| 8.3.3. Режимы с m > 1 генерациями в год . . . . . . . . . . . . . . . . 396
|
| 8.3.4. О зависимости стационарных режимов от параметров h и λ . . . . . . . . . . .. . . . . 400
|
| Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
|
| Глава 9. Динамика системы из двух логистических уравнений с запаздыванием, описывающих задачи
|
| «хищник — жертва» и «паразит — хозяин» . . . . . . . . 405
|
| Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
|
| 9.1. Сложные колебания в задаче «хищник — жертва» . . . . . . . . 405
|
| 9.1.1. Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
|
| 9.1.2. Результаты для случая λ 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
|
| 9.1.3. Вспомогательные утверждения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
|
| 9.1.4. Обоснование теорем 9.1–9.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
|
| 9.1.5. Построение асимптотики решений . . . . . . . . . . . . . . . . 429
|
| 9.1.6. Исследование устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
|
| 9.1.7. О задаче «хищник — жертва» с учетом возрастной структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
|
| 9.1.8. Обсуждение результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
|
| 9.2. Стационарные режимы в задаче «паразит — хозяин» . . . . . . 450
|
| 9.2.1. Постановка задачи и результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
|
| 9.2.2. О некоторых выводах биологического характера . . . . . . . . 453
|
| 9.2.3. О зависимости стационарных режимов от коэффициента «давления» . . . . . . . .. . . 454
|
| 9.2.4. О влиянии возрастной структуры на динамику изменения численностей . . . . . 455
|
| 9.2.5. Обсуждение результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
|
| Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
|
| Глава 10. Релаксационные колебания в системах взаимодействующих популяций . . . . . .459
|
| 10.1. Релаксационные колебания в моделях многовидовых сообществ . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
|
| 10.1.1. Вычисление инвариантов экологических уравнений . . . . . . 462
|
| 10.1.2. Сложные колебания в задаче о конкуренции видов . . . . . . 465
|
| 10.1.3. Динамика экосистем при наличии «хищника» . . . . . . . . . . 470
|
| 10.2. Асимптотика установившихся режимов конечно-разностных аппроксимаций логистического уравнения с запаздыванием и с малой диффузией . . . . . . . 479
|
| 10.2.1. Колебания в одномерной области типа отрезка . . . . . . . . . 481
|
| 10.2.2. О колебаниях на «окружности» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
|
| 10.2.3. О доказательстве результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
|
| 10.2.4. О колебаниях в двумерной области . . . . . . . . . . . . . . . . 491
|
| Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
|
| Глава 11. Динамика конечномерных логистических отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
|
| Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
|
| 11.1. Конечномерные отображения, описывающие динамику логистического уравнения с запаздыванием . . . . . . . . . . . . 501
|
| 11.1.1. Простейшие свойства логистического уравнения с запаздыванием. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . 501
|
| 11.1.2. Вывод дискретного аналога логистического уравнения с запаздыванием . . . .. 504
|
| 11.2. Область существования неотрицательного решения . . . . . . 505
|
| 11.3. Локальные свойства дискретного аналога логистического уравнения. Бифуркация Андронова—Хопфа . . 513
|
| 11.4. Нелокальные устойчивые решения дискретного аналога логистического уравнения .. 518
|
| 11.5. Некоторые другие дискретные модели . . . . . . . . . . . . . . . 522
|
| 11.6. О локальной динамике уравнений вида (11.39) с непрерывным временем . . . . . . .524
|
| 11.7. О динамике дифференциально-разностного уравнения, «близкого» к разностному уравнению (11.56) . . . . . . . . . . . 525
|
| Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
|
| Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
|
| Глава 12. Обзор результатов, полученных с помощью метода большого параметра . . . . . . . . 531
|
| Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
|
| 12.1. Асимптотика аттракторов в простейших классах математических моделей с запаздыванием . . . 531
|
| 12.1.1. Асимптотика периодического решения системы (12.2) . . . . . 533
|
| 12.1.2. Асимптотика решений системы (12.5) . . . . . . . . . . . . . . . 535
|
| 12.2. Колебания в системе уравнений, моделирующих иммунный отклик организма . . . . . . . . . . . 538
|
| 12.3. Асимптотика колебаний в математической модели реакции Белоусова . . . . . . . . 539
|
| 12.4. Динамика системы уравнений, описывающих работу ядерного реактора . . . . . . . . . . . . . . 541
|
| 12.5. Сложные колебания в автогенераторе с инерционным запаздыванием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
|
| 12.6. Релаксационные колебания в простейших моделяхс запаздыванием . . . . . . . . . . . . . . . 546
|
| 12.7. О релаксационных колебаниях в моделях динамики лазеров . . . . . . . .. 552
|
| 12.8. Обзор результатов о динамике нейронных сетей . . . . . . . . . 565
|
| Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
|
Эту книгу автор посвятил уравнениям с запаздыванием, играющим важную роль в моделировании многих процессов и явлений. В качестве базового уравнения выбрано логистическое уравнение с запаздыванием.
Это сделано по нескольким причинам. Во-первых, это уравнение является естественным обобщением классического логистического обыкновенного дифференциального уравнения. Во-вторых, оно часто возникает во многих прикладных задачах. В-третьих, внешне оно является довольно простым уравнением. А самое интересное — на базе этого уравнения удается проиллюстрировать все многообразие идей и подходов при моделировании многих задач. По внешнему виду уравнения с запаздыванием мало отличаются от обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако они существенно сложнее по структуре и по динамическим свойствам решений. В связи с этим при учете запаздывания в соответствующих уравнениях могут возникать новые и интересные эффекты.
В книге основное внимание уделено исследованиям аналитического характера. Дело в том, что проведение численных расчетов для многих уравнений с запаздыванием часто бывает затруднительным даже при использовании современных компьютерных средств. Аналитические методы анализа позволяют определить тенденции изменений динамических свойств для различных совокупностей решений при том или ином изменении параметров. Для изучения уравнений с запаздыванием возникла необходимость разработки новых специальных аналитических методов исследования, при этом важно отметить, что разработанные в этой монографии методы и приемы исследований допускают их распространение и на другие классы уравнений с запаздыванием.
Во-первых, при исследовании локального поведения решений, например, в малой окрестности состояния равновесия или цикла, для многих уравнений с запаздыванием критические случаи в задачах об устойчивости оказались бесконечномерными. Для таких случаев разработан и проиллюстрирован метод сведения исходных уравнений к квазинормальным формам — специальным нелинейным пространственно распределенным краевым задачам с частными производными. Их нелокальная динамика определяет поведение всех решений из малой окрестности состояния равновесия (цикла) исходного уравнения с запаздыванием. Во-вторых, при изучении нелокальной динамики в сингулярно возмущенных уравнениях с запаздыванием разработан специальный метод большого параметра.
Коротко суть его заключается в следующем. В фазовом (бесконечномерном) пространстве уравнения с запаздыванием выделяем специальное множество начальных условий. Затем исследуем асимптотику одновременно всех решений с начальными условиями из этого множества. В ряде важных задач по решениям удается определить некоторый оператор последования, итерации которого описываются некоторым конечномерным отображением. Затем показываем, что аттракторы исходного уравнения определяются аттракторами этого отображения. Указанные два подхода являются следствием бесконечномерности фазового пространства рассматриваемых уравнений с запаздыванием. Кроме того, в них не удается по формальным уравнениям первого приближения получить какую-либо информацию о решениях исходного уравнения.
(и систем уравнений) с запаздыванием. Изучены модернизированные и обобщенные, с медленно и с быстро меняющимися во времени коэффициентами, с нелинейностями более общего вида, с несколькими сосредоточенными запаздываниями, с распределенным запаздыванием, с нелинейно либо неавтономно зависящими коэффициентами и т. д.
Исследованы некоторые модели математической экологии, основанные на логистическом уравнении с запаздыванием. В их числе и ряд моделей
Автор выражает свою благодарность Сергею Глызину, Вячеславу Голубенцу, Елене Григорьевой, Надежде Елисеевой, Илье Кащенко и Дмитрию Логинову за использование полученных ими научных результатов. Кроме того, автор признателен Алле Аладьевой, Игорю Минькову, Дмитрию Морозову, Наталии Трубниковой и Джону Шеперду за большую помощь при подготовке книги к публикации.
Кащенко Сергей Александрович