Амелькин В.В.

Дифференциальные уравнения в приложениях. № 224. Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие

Дифференциальное уравнение является одним из основных математических понятий. Дифференциальное уравнение -- это уравнение для отыскания функций, производные которых (или дифференциалы) удовлетворяют некоторым наперед заданным условиям. Дифференциальное уравнение, полученное в результате исследования какого-либо реального явления или процесса, называют дифференциальной моделью этого явления или процесса.

Понятно, что дифференциальные модели -- это частный случай того множества математических моделей, которые могут быть построены при изучении окружающего нас мира. При этом необходимо отметить, что существуют и различные типы самих дифференциальных моделей. Мы будем рассматривать лишь модели, описываемые так называемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями, одной из характерных особенностей которых является то, что неизвестные функции в этих уравнениях зависят только от одной переменной.

В процессе построения обыкновенных дифференциальных моделей (да и не только их) важное, а подчас и первенствующее значение имеет знание законов той области науки, с которой связана природа изучаемой задачи. Так, например, в механике это могут быть законы Ньютона, в теории электрических цепей -- законы Кирхгофа, в теории скоростей химических реакций -- закон действия масс и т.д.

Конечно, на практике приходится иметь дело и с такими случаями, когда неизвестны законы, позволяющие составить дифференциальное уравнение, и поэтому необходимо прибегать к различным предположениям (гипотезам), касающимся протекания процесса при малых изменениях параметров -- переменных. К дифференциальному уравнению тогда приводит предельный переход. При этом, если окажется, что результаты исследования полученного дифференциального уравнения как математической модели согласуются с опытными данными, то это и будет означать, что высказанная гипотеза правильно отражает истинное положение вещей.

Работая над книгой, автор ставил перед собой две цели. Первая из них заключалась в том, чтобы на примерах (в основном содержательных, а не чисто иллюстративных) из различных областей знаний показать возможности использования обыкновенных дифференциальных уравнений в процессе познания окружающей нас действительности.

Конечно, рассмотренные примеры далеко не охватывают тот круг вопросов, которые могут быть решены с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений. Но, во-первых, "никто не обнимет необъятного", а во-вторых, уже и приведенные примеры дают представление о той роли, которую играют обыкновенные дифференциальные уравнения при решении практических задач.

Вторая цель -- познакомить читателя с простейшими приемами и методами исследования обыкновенных дифференциальных уравнений, характерными для качественной теории дифференциальных уравнений. Дело в том, что лишь в редких случаях удается решить дифференциальное уравнение в так называемой замкнутой форме, т.е. представить решение в виде аналитической формулы, использующей конечное число простейших операций над элементарными функциями. И это тогда, когда известно, что дифференциальное уравнение решение имеет!

Другими словами, оказывается, что решения дифференциальных уравнений в своем многообразии таковы, что для их представления в замкнутой форме конечного числа аналитических операций недостаточно. Такая ситуация схожа с имеющей место в теории алгебраических уравнений: в случае алгебраических уравнений первой и второй степеней их решения могут быть легко получены в радикалах; если обратиться к уравнениям третьей и четвертой степеней, то решения в радикалах еще могут быть получены, но формулы становятся весьма сложными; что же касается алгебраического уравнения общего вида степени выше четвертой, то решение такого уравнения в радикалах, вообще говоря, уже не может быть получено.

Возвращаясь к дифференциальным уравнениям, отметим, что если для представления их решений пользоваться бесконечными рядами того или иного вида, то удается решить значительно больше уравнений, чем в замкнутой форме. Но, к сожалению, часто бывает так, что наиболее существенные и интересные свойства решений никак нельзя выявить из вида полученных рядов. Более того, даже если удается решить дифференциальное уравнение и в замкнутой форме, то далеко не всегда такое решение можно проанализировать, ибо полученная зависимость между различными параметрами часто оказывается весьма и весьма сложной.

Таким образом, становится очевидной необходимость в приемах и методах, которые позволяли бы, не решая самих дифференциальных уравнений, все же получать необходимые сведения о тех или иных свойствах решений. Так вот, такие приемы и методы существуют, и они и составляют содержание качественной теории дифференциальных уравнений, в основе которой лежат общие теоремы о существовании и единственности решений, о непрерывной зависимости решений от начальных данных и параметров.

Частичное обсуждение роли теорем существования и единственности решений проводится в параграфе "Зачем инженеру знать теоремы существования и единственности?". Что же касается качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений вообще, то, начиная с работ А.Пуанкаре и А.М.Ляпунова (конец XIX-го века), в которых были заложены ее основы, она интенсивно развивается и ее методы широко используются в процессе познания окружающей нас действительности.

Автор благодарен профессорам Ю.С.Богданову и М.В.Федорюку за полезные советы и замечания, высказанные в процессе работы над книгой.

Об авторе

Амелькин Владимир Васильевич

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений Белорусского государственного университета. Специалист в области теории дифференциальных уравнений, научные интересы которого связаны с такими интенсивно развивающимися в настоящее время направлениями, как качественная теория дифференциальных уравнений, теория колебаний, теория устойчивости движения. Автор и соавтор более 200 печатных работ, среди которых 20 книг — монографий, учебных и справочных пособий, научно-популярных изданий.