Обложка Алексеев Д.В. Общий курс математики: Для начинающих пользователей математики
Id: 272229
699 руб.

ОБЩИЙ курс математики:
Для НАЧИНАЮЩИХ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕЙ математики. НЕФОРМАЛЬНЫЙ ПОДХОД
Общий курс математики: Для начинающих пользователей математики

URSS. 2021. 304 с. ISBN 978-5-9710-8857-8.
  • Твердый переплет
•Функции, задаваемые формулами.
•Элементарные функции.
•Вычисление производных и интегралов.
•Линейные пространства и геометрия.
•Функции нескольких переменных.
•Обыкновенные дифференциальные уравнения.
•Функции комплексной переменной.
•Вероятность и статистика.

Аннотация

В книге неформально излагаются сведения по разделам математики, необходимым достаточно широкому кругу ее пользователей: анализу функций одной и нескольких переменных; линейной алгебре и аналитической геометрии; обыкновенным дифференциальным уравнениям; функциям комплексной переменной; теории вероятностей и математической статистике.

В первой главе рассматриваются понятия бесконечно малых и бесконечно больших функций, производной, первообразной,...(Подробнее) определенного интеграла, степенного ряда. Вторая глава — аналог «таблицы умножения», снабжающая пользователя начальным запасом конкретных функций, о которых он должен знать если не всё, то достаточно много, чтобы свободно обращаться с формулами, содержащими эти функции. Первые разделы третьей главы посвящены «элементарной» технике дифференцирования и интегрирования, которой должен владеть каждый пользователь математики, далее рассматриваются несобственные интегралы и техника вычисления определенных и несобственных интегралов. Четвертая глава посвящена линейным пространствам, их преобразованиям, а также необходимому для дальнейшего «геометрическому минимуму». Пятая глава содержит основные сведения, связанные с функциями нескольких переменных: дифференцирование; экстремумы (включая условные); двойные, тройные, криволинейные и поверхностные интегралы; дифференцирование и интегрирование векторных полей. В шестой главе излагаются начальные сведения об обыкновенных дифференциальных уравнениях, с акцентом на геометрическую трактовку, рассматриваются уравнения, интегрируемых в квадратурах, и техника их интегрирования заменами переменных, а также линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Перевод пользователя в комплексную плоскость в седьмой главе в существенно расширяет его возможности, как в технике вычисления интегралов и решения дифференциальных уравнений, так и в способности схватывать новые структуры (поэтому в ней также рассматриваются преобразования Фурье и начальные сведения об обобщенных функциях). В восьмой главе на конкретных всё усложняющихся примерах излагаются начальные понятия теории вероятностей и математической статистики.

Книга адресована широкому кругу пользователей математики, начиная от школьников старших классов, и заканчивая теми, кто давно получил «формальное» образование.


Содержание
Оглавление3
Предисловие11
Как читать эту книгу12
Глава 1. Функции, задаваемые формулами13
1. Бесконечно малые и бесконечно большие функции13
1.1. Функции. Основные определения13
1.2. Бесконечно малые функции15
1.3. Непрерывные функции16
1.4. Бесконечно большие и ограниченные функции16
1.5. Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых18
1.6. Степенной порядок малости и степенной порядок роста18
1.7. Неопределенности19
2. Производная, первообразная и неопределенный интеграл20
2.1. Дифференцируемые функции, дифференциал и производная20
2.2. Геометрический смысл дифференцирования22
2.3. Первообразная и неопределенный интеграл23
3. Правила дифференцирования и интегрирования24
3.1. Дифференцирование и интегрирование линейной комбинации функций24
3.2. Дифференцирование произведения и формула интегрирования произведения25
3.3. Дифференцирование композиции и интегрирование подстановкой26
4. Определенный интеграл28
4.1. Определенный интеграл как площадь28
4.2. Определенный интеграл как функция границы интервала интегрирования30
4.3. Формула Ньютона—Лейбница30
5. Представление функций степенными рядами32
5.1. Производные высших порядков32
5.2. Формулы Тейлора и Маклорена33
5.3. Ряды Тейлора и Маклорена35
6. Числовые ряды36
6.1. Сумма числового ряда37
6.2. Признаки сходимости числовых рядов37
7. Степенные ряды39
7.1. Интервал сходимости степенного ряда39
7.2. Операции над степенными рядами40
7.3. Экспонента и экспоненциальный рост функций42
8. Дополнение. Число как предел фундаментальной последовательности Коши43
Глава 2. Элементарные функции47
1. Степени с целыми и дробными показателями47
1.1. Степени с целым показателем47
1.2. Степени с дробным показателем48
2. Многочлены50
2.1. Поведение многочлена вблизи его нулей и при больших значениях переменной51
3. Рациональные функции52
3.1. Поведение рациональной функции вблизи нулей, точек разрыва и при больших значениях переменной53
4. Логарифмические и показательные функции54
4.1. Натуральный логарифм54
4.2. Логарифмические и показательные функции с произвольным основанием56
4.4. Степени с произвольным показателем57
5. Тригонометрические функции58
5.1. Синус, косинус, тангенс и котангенс58
5.2. Обратные тригонометрические функции61
6. Гиперболические функции64
6.1. Гиперболические синус, косинус, тангенс и котангенс64
6.2. Обратные гиперболические функции65
7. Формула Эйлера68
8. Работаем с формулами функций69
Глава 3. Вычисление производных и интегралов74
1. Вычисление производных74
1.1. Логарифмическое дифференцирование76
1.2. Вычисление производных высших порядков76
2. Интегрирование78
2.1. Элементарное интегрирование79
2.2. Использование линейности81
2.3. Применение формулы интегрирования произведения82
2.4. Преобразование интегралов заменами переменной85
3. Интегрирование некоторых классов функций88
3.1. Интегрирование рациональных дробей88
3.2. Сведение к интегрированию рациональных дробей92
3.3. О таблицах интегралов93
4. Обобщение понятия определенного интеграла94
4.1. Определенный интеграл от функций с конечными разрывами94
4.2. Определенный интеграл от функций с бесконечными разрывами (несобственный интеграл первого рода)95
4.4. Определенный интеграл от непрерывной функции по бесконечному интервалу (несобственный интеграл второго рода)96
5. Вычисление определенных и несобственных интегралов97
5.1. Замена переменной в определенных и несобственных интегралах97
5.2. Исследование сходимости несобственных интегралов98
5.3. Оценки определенных интегралов100
5.4. Вычисление интегралов по их смысловому значению102
Глава 4. Линейные пространства и геометрия106
1. Линейные пространства106
1.1. Линейная независимость векторов и размерность пространства107
1.2. Евклидовы пространства108
2. Матрицы и системы линейных уравнений109
2.1. Матрицы как элементы линейного пространства109
2.2. Умножение матриц111
2.3. Определители квадратных матриц113
2.4. Обратная матрица и ортогональные матрицы114
2.5. Системы линейных уравнений116
2.6. Матрицы как представления линейных отображений120
2.7. Собственные векторы и собственные значения121
3. Геометрия на плоскости и в трехмерном пространстве123
3.1. Декартовы координаты123
3.2. Векторы как геометрические объекты125
3.3. Линейные операции и скалярное произведение126
3.4. Векторное произведение и смешанное произведение127
3.5. Линейные геометрические объекты129
3.6. Кривые и поверхности второго порядка135
4. Векторные функции скалярного аргумента138
4.1. Область определения и область значений вектор-функции138
4.2. Дифференцирование и интегрирование вектор-функции140
Глава 5. Функции нескольких переменных143
1. Дифференцируемые функции нескольких переменных143
1.1. Основные определения и непрерывность143
1.2. Дифференциал, частные производные и градиент144
1.3. Геометрический смысл дифференцирования147
2. Формула Тейлора и экстремумы гладких функций148
2.1. Условия экстремума гладкой функции150
2.2. Экстремумы функций двух переменных152
2.3. Условные экстремумы154
3. Двойной интеграл155
3.1. Площадь выпуклой плоской фигуры как повторный интеграл155
3.2. Площадь выпуклой плоской фигуры как двойной интеграл157
3.3. Основные свойства двойного интеграла158
3.4. Замена переменных в двойном интеграле159
4. Тройной интеграл162
4.1. Объем как повторный и тройной интеграл162
4.2. Линейность и аддитивность тройного интеграла164
4.3. Тройной интеграл в криволинейных координатах165
5. Интегралы по геометрическим множествам167
5.1. Криволинейный интеграл167
5.2. Площадь гладкой поверхности и поверхностный интеграл168
5.3. Общая конструкция интеграла по геометрическому множеству170
5.4. Несобственные двойные и тройные интегралы172
6. Дифференцирование скалярных и векторных полей175
6.1. Потенциальное векторное поле175
6.2. Дифференцирование векторных полей176
6.3. Дифференциальные операции второго порядка177
7. Интегрирование векторных полей180
7.1. Циркуляция векторного поля180
7.2. Поток векторного поля181
7.3. Теорема Остроградского—Гаусса183
7.4. Теорема Грина—Стокса184
7.5. Вычисление скалярного потенциала186
Глава 6. Обыкновенные дифференциальные уравнения189
1. Геометрическая трактовка дифференциальных уравнений190
1.1. Фазовые траектории и интегральные кривые191
1.2. О численном решении дифференциальных уравнений194
1.3. Понятие о теоремах существования и единственности решений196
2. Уравнения, интегрируемые в квадратурах198
2.1. Стандартные типы уравнений первого порядка199
2.2. Интегрирование заменами переменных202
3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами206
3.1. Базисные функции дифференциального оператора207
3.2. Решение неоднородных уравнений с квазимногочленом209
3.3. Решение неоднородных уравнений вариацией постоянных210
3.4. Линейный осциллятор211
Глава 7. Функции комплексной переменной216
1. Комплексные числа216
1.1. Алгебраическая форма комплексных чисел216
1.2. Тригонометрическая форма комплексных чисел218
1.3. Комплексные степенные ряды219
1.4. Показательная форма комплексных чисел221
1.5. Решение алгебраических уравнений в комплексных числах222
1.6. Кривые и области на комплексной плоскости224
2. Интеграл от функции комплексной переменной225
2.1. Интегральная теорема Коши и условия Коши—Римана227
2.2. Интегральная формула Коши и ряд Тейлора230
2.3. Аналитическое продолжение и теорема единственности232
3. Изолированные особые точки и ряд Лорана234
3.1. Теоремы о вычетах237
3.2. Формулы для вычисления вычетов241
4. Вычисление интегралов вычетами241
4.1. Лемма Жордана242
4.2. Формулы суммирования243
4.3. Примеры вычисления интегралов244
5. Преобразование Лапласа247
5.1. Теоремы разложения248
5.2. Свойства преобразований Лапласа249
6. Преобразование Фурье252
6.1. Тригонометрические ряды Фурье254
7. Начальные сведения об обобщенных функциях255
Глава 8. Вероятность и статистика258
1. Пространства событий и вероятности258
1.1. Конечные пространства событий259
1.2. Бесконечные дискретные и непрерывные пространства событий260
1.3. Формальная алгебра событий и вероятностей262
2. Последовательности событий264
2.1. Условная вероятность и статистическая независимость264
2.2. Примеры последовательностей событий265
2.3. Формула полной вероятности и формула Байеса268
3. Случайные величины269
3.1. Функции распределения и плотности вероятностей270
3.2. Моменты и характеристические функции271
3.3. Примеры характеристических функций273
4. От теории вероятностей к математической статистике277
4.1. Выборки, распределенные по нормальному закону279
5. Понятие о непараметрических методах статистики288
5.1. Критерии, основанные на эмпирической функции распределения289
5.2. Критерии, основанные на порядковых статистиках290
6. Дополнение. Распределение хи-квадрат и t-распределение292
Вместо послесловия295
Кое-что для дальнейшего чтения301
Книги издательства URSS для дальнейшего чтения302

Предисловие

Существует много книг под названием «Общий курс физики», но почему-то нет ни одной под названием «Общий курс математики». Причин тому множество, и одна из них в том, что достаточно трудно рассказать на едином уровне при сохранении разумного объема книги, такие разные разделы, как основы анализа, линейная алгебра, дифференциальные уравнения, функции комплексной переменной, вероятность, статистика, и …Кроме того, всегда достаточно спорным является и состав материала, который следует включить в «Общий курс». Однако, существует разумный компромисс для определения содержимого пособия под названием «Общий курс математики». Он состоит в том, чтобы исключить из его начальных глав максимальное количество материала, который не используется в дальнейших главах.

Другие ветви бескрайнего дерева по имени «Математика» читатель найдет во множестве уже имеющихся замечательных книг, а «Общий курс» должен лишь снабдить его навыками, предоставляющими возможность самостоятельно лазать по ветвям этого великого дерева. Поэтому «Общий курс» сориентирован, главным образом, на взаимосвязь понятий и «перекличку» технических приемов. Аксиомы встречаются лишь там, где без них нельзя обойтись, а за доказательствами читатель отсылается к литературе, указанной в подстрочных ссылках.


Как читать эту книгу

Эта книга не учебник и не решебник, а книга для чтения. Читать ее надо «в приятном обществе карандаша и бумаги», «производя простые вычисления»( ), умышленно опущенные автором, а также создавая рисунки (можно иногда в Microsoft Excel), которых, по мнению читателя, явно недостает (и в этом умысел автора!). При этом упор на активную работу читателя нарастает по мере продвижения вперед. На первый взгляд, в книге мало примеров и задач. Однако это не совсем так. Довольно часто в формулах, при переходе через знак равенства, имеются пропуски «простых вычислений», которые читатель должен воспроизвести самостоятельно.

Содержание книги видно из оглавления. Следует ли читать книгу последовательно? Ответить на этот вопрос может только читатель в зависимости от своих интересов и уровня подготовки, но две первые главы следует прочесть обязательно. Далее можно попробовать читать по выбору. Однако, при этом можно наткнуться на нечто незнакомое, и тогда придется откатить назад. Поскольку в книге отсутствуют перекрестные ссылки и нумерация формул (что также сделано умышленно, дабы почаще активизировать память читателя), лучше вначале ознакомиться с четырьмя-пятью главами по порядку, опуская технические детали, а уже затем определиться со своим подходом к дальнейшему чтению. Можно даже попробовать читать две-три главы параллельно.


Об авторе
Алексеев Дмитрий Валентинович
Доктор технических наук, профессор, автор более 60 научных статей, монографий и учебных пособий, в том числе в таких ведущих изданиях, как «Доклады РАН», «Физика твердого тела», «Advanced Material Research».

По окончании в 1971 году физического факультета Томского государственного университета в течение 10 лет работал научным и старшим научным сотрудником лаборатории молекулярной спектроскопии Кемеровского государственного университета. В 1981 году ему была присуждена ученая степень кандидата физико-математических наук.

В 1985 году перешел на преподавательскую работу и более тридцати лет преподавал математику, программирование и компьютерное моделирование в вузах г. Кемерово, продолжая научную работу в области физики твердого тела и ее приложений.

В 1994 году присуждена ученая степень доктора технических наук, в 1995 году присвоено ученое звание профессора по кафедре высшей математики.