Обложка Шамин Р.В. Концентрированный курс высшей математики. (В двух книгах)
Id: 272098
799 руб.

КОНЦЕНТРИРОВАННЫЙ КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ.
(В двух книгах). Книга 1: Дифференциальное и интегральное исчисление. Числовые и функциональные ряды. Алгебра и геометрия Кн.1-2

Концентрированный курс высшей математики. (В двух книгах)
URSS. 2020. 280 с.
  • Мягкая обложка

Аннотация

Учебник охватывает большое количество разделов высшей математики. Стиль изложения ориентирован на студентов, изучающих высшую математику впервые, поэтому многие понятия и доказательства разъясняются и подробно комментируются. При этом всем терминам даны строгие определения, а почти все теоремы снабжены полными доказательствами.

Курс включает в себя не только все основные темы высшей математики, но и более специальные разделы. Подбор тем обуславливался... (Подробнее)


Содержание "Книги 1"
Введение.................................... 10
Часть I
Дифференциальное исчисление............... 13
Глава 1 Числа и множества...................... 15
1 Множества............................. 15
2 Вещественные числа...................... 18
3 Верхние и нижние грани числовых множеств ..... 19
Глава 2 Пределы последовательностей.............. 21
1 Числовые последовательности и их пределы...... 21
2 Монотонные последовательности ............. 25
3 Подпоследовательности.................... 27
4 Критерий Коши ......................... 29
5 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности ....................... 31
Глава 3 Пределы функции....................... 33
1 Предел функции......................... 33
2 Односторонние пределы ................... 35
3 Бесконечно малые функции ................. 37
4 Сравнение функций ...................... 37
Глава 4 Непрерывные функции................... 39
1 Непрерывность и разрывы.................. 39
2 Свойства непрерывных функций .............. 41
3 Точки разрыва.......................... 44
Глава 5 Производные и дифференцируемость......... 46
1 Производная........................... 46
2 Дифференцируемость..................... 49
3 Производная сложной функции............... 51
4 Производные высшего порядка............... 51
Глава 6 Дифференцируемые функции.............. 53
1 Поведение функций ...................... 53
2 Раскрытие неопределенностей
по правилу Лопиталя...................... 57
3 Формула Тейлора........................ 59
4 Исследование на экстремум................. 61
Глава 7 Многомерный анализ.................... 64
1 Многомерные пространства................. 64
2 Предел функции многих переменных........... 65
3 Непрерывность функций многих переменных..... 67
4 Частные производные..................... 67
5 Дифференцируемость функций многих переменных...................... 68
6 Градиент и производная по направлению........ 71
Часть II
Интегральное исчисление.................... 73
Глава 1 Неопределенный интеграл................. 75
1 Первообразная.......................... 75
2 Табличные интегралы..................... 77
3 Приемы интегрирования ................... 78
4 Интегрирование рациональных выражений....... 80
5 Интегрирование тригонометрических выражений . . 82
Глава 2 Определенный интеграл.................. 83
1 Интегральные суммы и определенный интеграл ... 83
2 Суммы Дарбу........................... 85
3 Классы интегрируемых функций .............. 88
Глава 3 Свойства интеграла...................... 90
1 Аддитивность интеграла Римана.............. 90
2 Свойства интегрируемости .................. 91
3 Неравенства ............................ 93
4 Теоремы о среднем ....................... 94
5 Формула Ньютона—Лейбница................ 96
Глава 4 Несобственные уравнения.................100
1 Интегралы с бесконечными пределами .......... 100
2 Интегралы от неограниченных функций.........104
3 Интеграл в смысле главного значения..........106
Глава 5 Кратные и криволинейные интегралы........108
1 Кратные интегралы ....................... 108
2 Криволинейные интегралы .................. 112
3 Поверхностные интегралы .................. 115
4 Теория поля ............................ 118
5 Формулы Грина и Стокса...................122
Глава 6 Мера и интеграл Лебега...................127
1 Интеграл Лебега ......................... 127
2 Мера множества и интеграл Лебега по мере ...... 130
3 Нормированные пространства ................ 145
4 Пространства Лебега......................147
5 Теорема Фубини ......................... 151
Часть III
Ряды......................................155
Глава 1 Числовые ряды.........................157
1 Определение ряда........................157
2 Признаки сходимости знакопостоянных рядов.....160
3 Интегральный признак Коши................165
4 Знакопеременные ряды....................167
5 Знакочередующиеся ряды ..................169
Глава 2 Функциональные ряды...................171
1 Степенные ряды.........................171
2 Функциональные последовательности и ряды.....174
3 Равномерная сходимость...................177
4 Операции с функциональными рядами..........179
Глава 3 Гильбертовы пространства и ряды Фурье......183
1 Скалярное произведение...................183
2 Примеры гильбертовых пространств...........186
3 Геометрия гильбертова пространства...........189
4 Ряды Фурье в гильбертовом пространстве........195
Часть IV
Дифференциальные уравнения...............203
Глава 1 Постановка задачи для дифференциальных уравнений............................205
1 Примеры дифференциальных уравнений ........ 205
2 Задача Коши ........................... 208
3 Системы дифференциальных уравнений ......... 209
4 Частные случаи дифференциальных уравнений . . . .211
Глава 2 Существование и единственность решений.....214
1 Нормальная форма.......................214
2 Существование решения задачи Коши..........215
3 Единственность решения задачи Коши..........218
Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения .....221
1 Линейные системы.......................221
2 Линейная зависимость функций..............223
3 Фундаментальная система решений............225
4 Неоднородные системы....................226
Глава 4 Краевые задачи.........................228
1 Краевые условия ......................... 228
2 Функция Грина..........................230
3 Собственные функции и собственные значения .... 233
Глава 5 Динамические системы...................236
1 Автономные системы .....................236
2 Предельные множества траекторий............238
3 Динамические системы....................238
4 Устойчивость решений.....................239
Литература .................................. 242

Содержание "Книги 2"
Содержание
Введение.................................... 10
Часть I
Обыкновенные дифференциальные уравнения . . 13
Глава 1. Постановка задачи для дифференциальных уравнений........ . . 15
1. Примеры дифференциальных уравнений......... . . 15
2. Задача Коши.......................... . . 17
3. Системы дифференциальных уравнений......... . . 19
4. Частные случаи дифференциальных уравнений..... . . 20
Глава 2. Существование и единственность решений . . . . . 23
1. Нормальная форма ...................... . . 23
2. Существование решения задачи Коши........... . . 24
3. Единственность решения задачи Коши .......... . . 26
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения . . . . . 29
1. Линейные системы ...................... . . 29
2. Линейная зависимость функций .............. . . 31
3. Фундаментальная система решений............ . . 32
4. Неоднородные системы .................... . . 34
Глава 4. Краевые задачи....................... . . 36
1. Краевые условия ........................ . . 36
2. Функция Грина......................... . . 38
3. Собственные функции и собственные значения..... . . 41
Глава 5. Динамические системы................. . . 44
1. Автономные системы..................... . . 44
2. Предельные множества траекторий............. . . 46
3. Динамические системы.................... . . 46
4. Устойчивость решений.................... . . 47
Часть II
Функции комплексного переменного.......... 51
Глава 1. Функции комплексного переменного......... 53
1. Комплексные числа........................ 53
2. Топология комплексной плоскости............... 56
3. Функции комплексного переменного ............. 57
Глава 2. Аналитические функции.................. 59
1. Производные............................ 59
2. Условия Коши—Римана...................... 60
3. Связь аналитических функций с гармоническими...... 62
Глава 3. Интегралы функций комплексного переменного................ 64
1. Интеграл .............................. 64
2. Интегралы Коши.......................... 68
3. Производные высших порядков................. 70
4. Теорема Морера.......................... 71
Глава 4. Ряды Тейлора.......................... 74
1. Степенные ряды.......................... 74
2. Ряд Тейлора............................. 75
3. Единственность и продолжение................. 77
Глава 5. Ряды Лорана........................... 80
1. Ряды Лорана............................ 80
2. Особые точки............................ 83
3. Бесконечно удаленная точка................... 86
4. Теория вычетов .......................... 88
5. Логарифмический вычет..................... 91
Глава 6. Конформные отображения................. 93
1. Геометрический смысл производной.............. 93
2. Конформные отображения.................... 94
Часть III
Теория вероятностей........................ 99
Глава 1. Вероятностное пространство............... 101
1. Пространство событий...................... 101
2. Вероятность.............................103
3. Условная вероятность и теорема Байеса............104
4. Независимость ........................... 107
Глава 2. Случайные величины ....................108
1. Определение случайной величины...............108
2. Математическое ожидание и дисперсия............110
3. Дискретные случайные величины ................ 112
4. Непрерывные распределения .................. 113
Глава 3. Предельные теоремы ..................... 115
1. Неравенство Чебышева ...................... 115
2. Закон больших чисел ....................... 116
3. Центральная предельная теорема................118
4. Предельная теорема Пуассона .................. 119
Глава 4. Случайные процессы.....................121
1. Определение случайного процесса...............121
2. Сравнение случайных процессов ................ 122
3. Моменты случайных процессов ................. 123
4. Классы случайных процессов .................. 123
5. Марковские цепи ......................... 125
Глава 5. Математическая статистика................128
1. Выборочное распределение ................... 128
2. Выборочные моменты ......................130
3. Интервальные оценки.......................131
4. Линейная регрессия ........................ 132
Часть IV
Оптимизация ..............................135
Глава 1. Математическое программирование .........137
1. Общая формулировка оптимизационной задачи ....... 137
2. Минимизирующие последовательности............138
3. Многокритериальная оптимизация ............... 139
4. Локальные и глобальные минимумы .............. 140
5. Гладкая оптимизация ....................... 140
6. Условный экстремум .......................141
7. Выпуклое программирование .................. 142
Глава 2. Численные методы в экстремальных задачах . . . 144
1. Градиентные методы.......................144
2. Метод штрафных функций....................145
3. Метод отжига............................146
Глава 3. Вариационное исчисление.................148
1. Понятие функционала и функциональных пространств.................148
2. Вариация функционала......................150
3. Уравнение Эйлера.........................151
4. Примеры .............................. 153
5. Прямые методы решения вариационных задач .......155
Глава 4. Оптимальное управление .................156
1. Управляемые системы ...................... 156
2. Принцип максимума Понтрягина................157
3. Управление с обратной связью.................159
Часть V
Дискретная математика.....................161
Глава 1. Комбинаторика и вероятность..............163
1. Основные комбинаторные понятия ..............163
2. Принцип включения-исключения ................ 166
3. Применение комбинаторных методов в задачах теории вероятности ........................ 167
Глава 2. Математическая логика...................170
1. Логика высказываний.......................170
2. Правила вывода и рассуждения ................. 174
3. Логика предикатов ........................ 178
Глава 3. Теория графов .........................182
1. Основные определения теории графов ............. 182
2. Операции над графами......................184
3. Нагруженные графы........................185
4. Деревья...............................187
Глава 4. Конечные автоматы ..................... 190
1. Абстрактные конечные автоматы ................ 190
2. Конечно-автоматные языки ................... 192
3. Клеточные автоматы и другие обобщения .......... 195
Глава 5. Алгоритмы и машины....................197
1. Понятие алгоритма ........................ 197
2. Уточнения понятия алгоритма ................. 199
3. Машина Тьюринга.........................200
4. Разрешимость и перечислимость................202
5. Конструктивные действительные числа ............ 203
Глава 6. Теория игр............................205
1. Понятие игры ............................ 205
2. Антагонистичные игры ...................... 206
3. Методы решения игр ....................... 208
Литература .................................. 211

Введение

В последнее время по многим специальностям в университетах читается курс под общим названием «Математика», который по идее должен включать все необходимые темы по высшей математики. С другой стороны, при постоянно сокращающемся объеме часов на математические дисциплины, возникает потребность в компактном и концентрированном учебнике по различным математическим дисциплинам.

Настоящий учебник написан для концентрированного обучения различным разделам высшей математики. Учебник выходит в двух частях.

Первая часть включает в себя следующие разделы высшей математики:

1. Дифференциальное исчисление

2. Интегральное исчисление

3. Ряды

Вторая часть учебника включает в себя разделы:

1. Алгебра и геометрия

2. Обыкновенные дифференциальные уравнения

3. Теория функций комплексного переменного

4. Теория вероятности и математическая статистика

5. Теория оптимизации

6. Дискретная математика

Стиль изложения ориентирован на учащихся, изучающих высшую математику впервые, поэтому многие понятия и доказательства разъясняются и подробно комментируются. Однако простое изложение не является упрощенчеством, поскольку всем терминам даны строгие определения, а почти все теоремы снабжены полными доказательствами. Лишь в отдельных дисциплинах некоторые теоремы даны без доказательства.

Курс включает в себя не только все основные темы высшей математики, но и более специальные разделы такие, как алгебраические структуры, топология, методы оптимизации, интеграл Лебега и гильбертовы пространства. Подбор тем обуславливался таким образом, чтобы дать учащемуся довольно объемный «джентльменский набор» в высшей математике.

Учебник написан на основании опыта преподавания автора в различных вузах: МИРЭА — Российском технологическом университете, Московском авиационном институте (МАИ), Российском университете дружбы народов (РУДН). Опыт показывает, что объем данного курса можно уместить в четыре семестра.

Мы рекомендуем этот учебник студентам различных специальностей от экономических до инженерных и математических, а также для самообразования. Кроме того, концентрированный курс будет полезен аспирантам для быстрого вспоминания или овладения нужными разделами математики на современном уровне.

Большая часть лекций, излагаемых в учебнике, доступна в виде видеолекций, читаемых автором. Эти лекции выложены на youtube канале и на сайте shamin.ru.


Об авторе
Шамин Роман Вячеславович
Доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой информатики в МИРЭА — Российском технологическом университете, профессор Российского университета дружбы народов, действительный член Академии военных наук.

Окончил Московский авиационный институт, защитил кандидатскую диссертацию в МГУ имени М. В. Ломоносова по специальности «Дифференциальные уравнения». Работал доцентом в МАИ, старшим научным сотрудником Института океанологии имени П. П. Ширшова РАН, где защитил докторскую диссертацию, посвященную волнам-убийцам. Занимал должность заместителя директора Института морской геологии и геофизики Дальневосточного отделения РАН. Создал и возглавлял кафедру «Математическое моделирование и информационные технологии» в Институте космических технологий Российского университета дружбы народов.

Автор более 150 научных трудов, включая несколько монографий и учебников. Область научных интересов: дифференциальные уравнения, функциональный анализ, волны-убийцы в океане, вычислительная математика, прикладная экономика, машинное обучение и искусственный интеллект.