| Оглавление | 3
|
| Предисловие | 11
|
| Как читать эту книгу | 12
|
| Глава 1. Функции, задаваемые формулами | 13
|
| 1. Бесконечно малые и бесконечно большие функции | 13
|
| 1.1. Функции. Основные определения | 13
|
| 1.2. Бесконечно малые функции | 15
|
| 1.3. Непрерывные функции | 16
|
| 1.4. Бесконечно большие и ограниченные функции | 16
|
| 1.5. Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых | 18
|
| 1.6. Степенной порядок малости и степенной порядок роста | 18
|
| 1.7. Неопределенности | 19
|
| 2. Производная, первообразная и неопределенный интеграл | 20
|
| 2.1. Дифференцируемые функции, дифференциал и производная | 20
|
| 2.2. Геометрический смысл дифференцирования | 22
|
| 2.3. Первообразная и неопределенный интеграл | 23
|
| 3. Правила дифференцирования и интегрирования | 24
|
| 3.1. Дифференцирование и интегрирование линейной комбинации функций | 24
|
| 3.2. Дифференцирование произведения и формула интегрирования произведения | 25
|
| 3.3. Дифференцирование композиции и интегрирование подстановкой | 26
|
| 4. Определенный интеграл | 28
|
| 4.1. Определенный интеграл как площадь | 28
|
| 4.2. Определенный интеграл как функция границы интервала интегрирования | 30
|
| 4.3. Формула Ньютона—Лейбница | 30
|
| 5. Представление функций степенными рядами | 32
|
| 5.1. Производные высших порядков | 32
|
| 5.2. Формулы Тейлора и Маклорена | 33
|
| 5.3. Ряды Тейлора и Маклорена | 35
|
| 6. Числовые ряды | 36
|
| 6.1. Сумма числового ряда | 37
|
| 6.2. Признаки сходимости числовых рядов | 37
|
| 7. Степенные ряды | 39
|
| 7.1. Интервал сходимости степенного ряда | 39
|
| 7.2. Операции над степенными рядами | 40
|
| 7.3. Экспонента и экспоненциальный рост функций | 42
|
| 8. Дополнение. Число как предел фундаментальной последовательности Коши | 43
|
| Глава 2. Элементарные функции | 47
|
| 1. Степени с целыми и дробными показателями | 47
|
| 1.1. Степени с целым показателем | 47
|
| 1.2. Степени с дробным показателем | 48
|
| 2. Многочлены | 50
|
| 2.1. Поведение многочлена вблизи его нулей и при больших значениях переменной | 51
|
| 3. Рациональные функции | 52
|
| 3.1. Поведение рациональной функции вблизи нулей, точек разрыва и при больших значениях переменной | 53
|
| 4. Логарифмические и показательные функции | 54
|
| 4.1. Натуральный логарифм | 54
|
| 4.2. Логарифмические и показательные функции с произвольным основанием | 56
|
| 4.4. Степени с произвольным показателем | 57
|
| 5. Тригонометрические функции | 58
|
| 5.1. Синус, косинус, тангенс и котангенс | 58
|
| 5.2. Обратные тригонометрические функции | 61
|
| 6. Гиперболические функции | 64
|
| 6.1. Гиперболические синус, косинус, тангенс и котангенс | 64
|
| 6.2. Обратные гиперболические функции | 65
|
| 7. Формула Эйлера | 68
|
| 8. Работаем с формулами функций | 69
|
| Глава 3. Вычисление производных и интегралов | 74
|
| 1. Вычисление производных | 74
|
| 1.1. Логарифмическое дифференцирование | 76
|
| 1.2. Вычисление производных высших порядков | 76
|
| 2. Интегрирование | 78
|
| 2.1. Элементарное интегрирование | 79
|
| 2.2. Использование линейности | 81
|
| 2.3. Применение формулы интегрирования произведения | 82
|
| 2.4. Преобразование интегралов заменами переменной | 85
|
| 3. Интегрирование некоторых классов функций | 88
|
| 3.1. Интегрирование рациональных дробей | 88
|
| 3.2. Сведение к интегрированию рациональных дробей | 92
|
| 3.3. О таблицах интегралов | 93
|
| 4. Обобщение понятия определенного интеграла | 94
|
| 4.1. Определенный интеграл от функций с конечными разрывами | 94
|
| 4.2. Определенный интеграл от функций с бесконечными разрывами (несобственный интеграл первого рода) | 95
|
| 4.4. Определенный интеграл от непрерывной функции по бесконечному интервалу (несобственный интеграл второго рода) | 96
|
| 5. Вычисление определенных и несобственных интегралов | 97
|
| 5.1. Замена переменной в определенных и несобственных интегралах | 97
|
| 5.2. Исследование сходимости несобственных интегралов | 98
|
| 5.3. Оценки определенных интегралов | 100
|
| 5.4. Вычисление интегралов по их смысловому значению | 102
|
| Глава 4. Линейные пространства и геометрия | 106
|
| 1. Линейные пространства | 106
|
| 1.1. Линейная независимость векторов и размерность пространства | 107
|
| 1.2. Евклидовы пространства | 108
|
| 2. Матрицы и системы линейных уравнений | 109
|
| 2.1. Матрицы как элементы линейного пространства | 109
|
| 2.2. Умножение матриц | 111
|
| 2.3. Определители квадратных матриц | 113
|
| 2.4. Обратная матрица и ортогональные матрицы | 114
|
| 2.5. Системы линейных уравнений | 116
|
| 2.6. Матрицы как представления линейных отображений | 120
|
| 2.7. Собственные векторы и собственные значения | 121
|
| 3. Геометрия на плоскости и в трехмерном пространстве | 123
|
| 3.1. Декартовы координаты | 123
|
| 3.2. Векторы как геометрические объекты | 125
|
| 3.3. Линейные операции и скалярное произведение | 126
|
| 3.4. Векторное произведение и смешанное произведение | 127
|
| 3.5. Линейные геометрические объекты | 129
|
| 3.6. Кривые и поверхности второго порядка | 135
|
| 4. Векторные функции скалярного аргумента | 138
|
| 4.1. Область определения и область значений вектор-функции | 138
|
| 4.2. Дифференцирование и интегрирование вектор-функции | 140
|
| Глава 5. Функции нескольких переменных | 143
|
| 1. Дифференцируемые функции нескольких переменных | 143
|
| 1.1. Основные определения и непрерывность | 143
|
| 1.2. Дифференциал, частные производные и градиент | 144
|
| 1.3. Геометрический смысл дифференцирования | 147
|
| 2. Формула Тейлора и экстремумы гладких функций | 148
|
| 2.1. Условия экстремума гладкой функции | 150
|
| 2.2. Экстремумы функций двух переменных | 152
|
| 2.3. Условные экстремумы | 154
|
| 3. Двойной интеграл | 155
|
| 3.1. Площадь выпуклой плоской фигуры как повторный интеграл | 155
|
| 3.2. Площадь выпуклой плоской фигуры как двойной интеграл | 157
|
| 3.3. Основные свойства двойного интеграла | 158
|
| 3.4. Замена переменных в двойном интеграле | 159
|
| 4. Тройной интеграл | 162
|
| 4.1. Объем как повторный и тройной интеграл | 162
|
| 4.2. Линейность и аддитивность тройного интеграла | 164
|
| 4.3. Тройной интеграл в криволинейных координатах | 165
|
| 5. Интегралы по геометрическим множествам | 167
|
| 5.1. Криволинейный интеграл | 167
|
| 5.2. Площадь гладкой поверхности и поверхностный интеграл | 168
|
| 5.3. Общая конструкция интеграла по геометрическому множеству | 170
|
| 5.4. Несобственные двойные и тройные интегралы | 172
|
| 6. Дифференцирование скалярных и векторных полей | 175
|
| 6.1. Потенциальное векторное поле | 175
|
| 6.2. Дифференцирование векторных полей | 176
|
| 6.3. Дифференциальные операции второго порядка | 177
|
| 7. Интегрирование векторных полей | 180
|
| 7.1. Циркуляция векторного поля | 180
|
| 7.2. Поток векторного поля | 181
|
| 7.3. Теорема Остроградского—Гаусса | 183
|
| 7.4. Теорема Грина—Стокса | 184
|
| 7.5. Вычисление скалярного потенциала | 186
|
| Глава 6. Обыкновенные дифференциальные уравнения | 189
|
| 1. Геометрическая трактовка дифференциальных уравнений | 190
|
| 1.1. Фазовые траектории и интегральные кривые | 191
|
| 1.2. О численном решении дифференциальных уравнений | 194
|
| 1.3. Понятие о теоремах существования и единственности решений | 196
|
| 2. Уравнения, интегрируемые в квадратурах | 198
|
| 2.1. Стандартные типы уравнений первого порядка | 199
|
| 2.2. Интегрирование заменами переменных | 202
|
| 3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами | 206
|
| 3.1. Базисные функции дифференциального оператора | 207
|
| 3.2. Решение неоднородных уравнений с квазимногочленом | 209
|
| 3.3. Решение неоднородных уравнений вариацией постоянных | 210
|
| 3.4. Линейный осциллятор | 211
|
| Глава 7. Функции комплексной переменной | 216
|
| 1. Комплексные числа | 216
|
| 1.1. Алгебраическая форма комплексных чисел | 216
|
| 1.2. Тригонометрическая форма комплексных чисел | 218
|
| 1.3. Комплексные степенные ряды | 219
|
| 1.4. Показательная форма комплексных чисел | 221
|
| 1.5. Решение алгебраических уравнений в комплексных числах | 222
|
| 1.6. Кривые и области на комплексной плоскости | 224
|
| 2. Интеграл от функции комплексной переменной | 225
|
| 2.1. Интегральная теорема Коши и условия Коши—Римана | 227
|
| 2.2. Интегральная формула Коши и ряд Тейлора | 230
|
| 2.3. Аналитическое продолжение и теорема единственности | 232
|
| 3. Изолированные особые точки и ряд Лорана | 234
|
| 3.1. Теоремы о вычетах | 237
|
| 3.2. Формулы для вычисления вычетов | 241
|
| 4. Вычисление интегралов вычетами | 241
|
| 4.1. Лемма Жордана | 242
|
| 4.2. Формулы суммирования | 243
|
| 4.3. Примеры вычисления интегралов | 244
|
| 5. Преобразование Лапласа | 247
|
| 5.1. Теоремы разложения | 248
|
| 5.2. Свойства преобразований Лапласа | 249
|
| 6. Преобразование Фурье | 252
|
| 6.1. Тригонометрические ряды Фурье | 254
|
| 7. Начальные сведения об обобщенных функциях | 255
|
| Глава 8. Вероятность и статистика | 258
|
| 1. Пространства событий и вероятности | 258
|
| 1.1. Конечные пространства событий | 259
|
| 1.2. Бесконечные дискретные и непрерывные пространства событий | 260
|
| 1.3. Формальная алгебра событий и вероятностей | 262
|
| 2. Последовательности событий | 264
|
| 2.1. Условная вероятность и статистическая независимость | 264
|
| 2.2. Примеры последовательностей событий | 265
|
| 2.3. Формула полной вероятности и формула Байеса | 268
|
| 3. Случайные величины | 269
|
| 3.1. Функции распределения и плотности вероятностей | 270
|
| 3.2. Моменты и характеристические функции | 271
|
| 3.3. Примеры характеристических функций | 273
|
| 4. От теории вероятностей к математической статистике | 277
|
| 4.1. Выборки, распределенные по нормальному закону | 279
|
| 5. Понятие о непараметрических методах статистики | 288
|
| 5.1. Критерии, основанные на эмпирической функции распределения | 289
|
| 5.2. Критерии, основанные на порядковых статистиках | 290
|
| 6. Дополнение. Распределение хи-квадрат и t-распределение | 292
|
| Вместо послесловия | 295
|
| Кое-что для дальнейшего чтения | 301
|
| Книги издательства URSS для дальнейшего чтения | 302
|
Существует много книг под названием «Общий курс физики», но почему-то нет ни одной под названием «Общий курс математики». Причин тому множество, и одна из них в том, что достаточно трудно рассказать на едином уровне при сохранении разумного объема книги, такие разные разделы, как основы анализа, линейная алгебра, дифференциальные уравнения, функции комплексной переменной, вероятность, статистика, и …Кроме того, всегда достаточно спорным является и состав материала, который следует включить в «Общий курс». Однако, существует разумный компромисс для определения содержимого пособия под названием «Общий курс математики». Он состоит в том, чтобы исключить из его начальных глав максимальное количество материала, который не используется в дальнейших главах.
Другие ветви бескрайнего дерева по имени «Математика» читатель найдет во множестве уже имеющихся замечательных книг, а «Общий курс» должен лишь снабдить его навыками, предоставляющими возможность самостоятельно лазать по ветвям этого великого дерева. Поэтому «Общий курс» сориентирован, главным образом, на взаимосвязь понятий и «перекличку» технических приемов. Аксиомы встречаются лишь там, где без них нельзя обойтись, а за доказательствами читатель отсылается к литературе, указанной в подстрочных ссылках.
Эта книга не учебник и не решебник, а книга для чтения. Читать ее надо «в приятном обществе карандаша и бумаги», «производя простые вычисления»( ), умышленно опущенные автором, а также создавая рисунки (можно иногда в Microsoft Excel), которых, по мнению читателя, явно недостает (и в этом умысел автора!). При этом упор на активную работу читателя нарастает по мере продвижения вперед. На первый взгляд, в книге мало примеров и задач. Однако это не совсем так. Довольно часто в формулах, при переходе через знак равенства, имеются пропуски «простых вычислений», которые читатель должен воспроизвести самостоятельно.
Содержание книги видно из оглавления. Следует ли читать книгу последовательно? Ответить на этот вопрос может только читатель в зависимости от своих интересов и уровня подготовки, но две первые главы следует прочесть обязательно. Далее можно попробовать читать по выбору. Однако, при этом можно наткнуться на нечто незнакомое, и тогда придется откатить назад. Поскольку в книге отсутствуют перекрестные ссылки и нумерация формул (что также сделано умышленно, дабы почаще активизировать память читателя), лучше вначале ознакомиться с четырьмя-пятью главами по порядку, опуская технические детали, а уже затем определиться со своим подходом к дальнейшему чтению. Можно даже попробовать читать две-три главы параллельно.
Алексеев Дмитрий Валентинович