0
Обложка Мусин Ю.Р., Александров И.В. Математический аппарат гравитации, калибровочных теорий, суперсимметрии: Алгебраический язык геометрии и топологии для физиков
Id: 272084
899 руб.

Математический аппарат гравитации, калибровочных теорий, суперсимметрии:
Алгебраический язык геометрии и топологии для физиков

URSS. 2021. 512 с. ISBN 978-5-9710-8859-2.

Аннотация

Широкое внедрение алгебраических методов в теоретическую физику не является новостью. Калибровочные поля и их интерпретация на языке расслоенных пространств, суперсимметричные расширения полевых теорий, возникновение теорий Великого объединения, струнных моделей, квантовой петлевой гравитации — все это ввело в арсенал используемых физиками методов экзотические ранее разделы алгебраической топологии, алгебраической геометрии и даже теории ...(Подробнее)категорий. Большие проблемы возникают перед начинающими физиками, получившими стандартную университетскую подготовку, в которой абстрактная алгебра представлена весьма скромно. Ощущается потребность в компактном путеводителе по современной алгебре для указанной категории читателей. Такая задача не может быть решена в одной книге разумного размера. В силу научных интересов авторов, лежащих в изучении геометрической структуры суперрасширений пространства-времени, было выбрано только одно направление — алгебраические методы изучения геометрических конструкций. При этом мы старались избегать строгого формального подхода, принятого в математических учебниках, то есть цепочек: «определение — теорема — доказательство», а сосредотачивались на смысле вводимых определений, простых примерах, а также сути базовых теорем. Для удобства работы с книгой она снабжена подробным указателем определений и обширным указателем используемых обозначений. Для ориентирования в множестве алгебраических учебников прилагается путеводитель по литературе, рассчитанный на начинающих.

Для чтения книги достаточно базовой подготовки в объеме стандартного курса математики для студентов второго курса университета. Предполагается, что при усвоении содержания книги читатель получает возможность чтения статей, посвященных современным моделям пространства и времени.


Содержание

Предисловие ................................................................................................

4

Глава 1 Алгебро-геометрический дуализм…………………………...

10

1.1 Алгебраические структуры ..........................................................

11

1.2 Топологические структуры ..........................................................

18

1.3 Первый синтез: многообразия и тензоры....................................

27

1.3.1 Гладкие многообразия.........................................................

27

1.3.2 Тензоры.................................................................................

30

1.3.3 Римановы пространства и тензорные поля........................

35

1.3.4 Тензорные алгебры...............................................................

39

1.4 Физические плоды..........................................................................

44

1.4.1 Пространство-время..............................................................

44

1.4.2 Электромагнитное поле на языке форм..............................

52

Глава 2 Алгебраические методы в теории калибровочных полей

56

2.1 Первоначальные сведения по теории групп и алгебр Ли ...........

56

2.1.1 Алгебры Ли.............................................................................

56

2.1.1.1 Базовые определения..................................................

56

2.1.1.2 Классификация алгебр Ли..........................................

60

2.1.1.3 Форма Киллинга ........................................................

64

2.1.1.4 Структура алгебр Ли..................................................

66

2.1.2 Группы Ли..............................................................................

69

2.1.2.1 Производная Ли..........................................................

70

2.1.2.2 Теория Ли....................................................................

74

2.1.2.3 Классификация групп Ли...........................................

82

2.1.2.4 Локализация и накрытие групп преобразований ...

85

2.1.2.5 Линейные представления групп Ли..........................

90

2.2 Физика калибровочных полей......................................................

93

2.2.1 Калибровочные преобразования..........................................

93

2.2.2 Поля Янга--Миллса на языке теории Ли..............................

100

2.2.3 Модельные примеры.............................................................

106

2.2.4 Калибровочный подход в гравитации.................................

112

Глава 3 Расслоенные пространства…………………………………..

118

3.1 Первоначальные сведения..............................................................

118

3.1.1 Расслоения и накрытия..........................................................

118

3.1.2 Главные расслоения...............................................................

121

3.1.3 Расслоения Стинрода.............................................................

126

3.1.4 Ассоциированные расслоения..............................................

130

3.2 Связности в расслоенных пространствах ....................................

134

3.2.1 Формы связности в главном расслоении.............................

134

3.2.2 Лифты и ковариантные производные..................................

137

3.2.3 Форма кривизны и уравнение Картана................................

141

Глава 4  Элементы алгебраической топологии……………………..

149

4.1. Гомологии и комплексы................................................................

149

4.1.1 Алгебраическое построение комплекса...............................

149

4.1.2 Симплициальные гомологии.................................................

153

4.2. Гомологические свойства многообразий....................................

161

4.2.1 Когомологии и комплекс де Рама ........................................

161

4.2.2 Гомотопическая эквивалентность когомологий ................

170

4.2.3 Последовательность и принцип Майера--Вьеториса..........

174

4.2.4 Когомологии Чеха, комплекс Чеха--де Рама.......................

178

4.2.5 Сингулярные и клеточные гомологии.................................

184

4.3. Методы и приложения...................................................................

195

4.3.1 Методы: от гомологий пары к изоморфизму Пуанкаре.....

195

4.3.2 Гомотопии и гомологии -- основные связи..........................

203

4.3.3 Характеристические классы.................................................

212

4.3.4. Монополь Дирака.................................................................

217

4.3.4.1 Физическая модель.......................................................

217

4.3.4.2 Математические конструкции.....................................

220

Глава 5 Суперпространство…………………………………………...

225

5.1 Алгебра Клиффорда.......................................................................

226

5.2 Алгебра Грассмана ........................................................................

230

5.3 Элементы псевдоклассической механики...................................

236

5.4 Супервремя.....................................................................................

244

Глава 6 Элементы алгебраической геометрии……………………..

252

6.1 Вводный очерк................................................................................

252

6.2 Коммутативная алгебра.................................................................

261

6.2.1 Коммутативные кольца и условие нётеровости..................

262

6.2.2 Модули над коммутативными кольцами.............................

273

6.2.3 Алгебры над коммутативными кольцами и полями...........

283

6.3 На пути к схемам...........................................................................

291

6.3.1 Спектр кольца.........................................................................

292

6.3.2 Топология Зарисского............................................................

299

6.3.3 Пучки и окольцованные пространства.................................

315

6.3.4 Схемы и роль нильпотентов..................................................

329

6.4 Квантовые группы и некоммутативная геометрия ...................

341

Глава 7 Категорный язык геометрии………………………………..

349

7.1 Категории и функторы ..................................................................

349

7.2 Свойство универсальности и основные понятия .......................

361

7.3 Абелевы категории ........................................................................

387

7.4 Категория супермногообразий ....................................................

398

7.5 Топосы и геометрия пространства и времени.............................

409

Дополнительные главы "Там, за облаками…"……………………...

414

Д.1 Алгебраическая топология.............................................................

414

Д.1.1 Формулы универсальных коэффициентов и

когомологии с коэффициентами в пучке ...........................

414

Д.1.2 Пространства Эйленберга--Маклейна и теория

препятствий............................................................................

Д.2 Спектральные последовательности.............................................

436

Д.2.1 Гомологическая спектральная последовательность.........

436

Д.2.2 Когомологический вариант, применения к 

расслоениям и функториальность ......................................

Д.2.3 Практические примеры и метод Серра..............................

457

Библиографический список ........................................................................

466

Путеводитель по литературе.......................................................................

476

Указатель определений................................................................................

483

Указатель обозначений ...............................................................................

498

Именной указатель.……...............................................................................

507

Рекомендуемые маршруты чтения:

  • ·          Первое чтение:

Глава 1, Глава 2 (2.1.1.1, 2.1.2.1, 2.2.1), Глава 3 (3.1.1, 3.1.2, 3.2.1).

Глава 4 (4.1, 4.2.1), Глава 5 (5.1, 5.2), Глава 6 (6.1, 6.4), Глава 7 (7.1).

  • ·          Рабочий уровень практикующего физика:

Глава 1, Глава 2, Глава 3, Глава 4 (4.1, 4.2, 4.3.3, 4.3.4), Глава 5,

Глава 6 (6.1, 6.2, 6.4).

  • ·          За пределами стандартного университетского курса для физиков:

Глава 3, Глава 4, Глава 6, Глава 7, Дополнительные главы Д.1 и Д.2.

  • ·          Физические приложения:

1.4; 2.2; 4.3.4; 5.3; 5.4; 6.4; 7.5.


Об авторах
Мусин Юрат Рашитович
Кандидат физико-математических наук (1984), доцент (1991). В 1973 г. окончил МВТУ имени Н. Э. Баумана по специальности «физико-энергетические установки», в 1977 г. — механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, в 1981 г. — аспирантуру по теоретической физике при МАИ имени С. Орджоникидзе. С 1981 г. по настоящее время — преподаватель МАИ.

Области научных интересов: классическая теория гравитации, псевдоклассическая механика над алгеброй Грассмана, уравнения движения протяженных объектов и частиц со спином во внешних электромагнитных и гравитационных полях и их связи с квантово-механическими уравнениями, композитные суперсимметричные модели фундаментальных частиц.

Автор ряда учебных пособий и монографий, среди которых «Введение в суперсимметричную механику» (1988; совместно с В. В. Чередовым), «Новая школьная энциклопедия. Т. 3: Вещество и энергия» (2005; группа авторов), «Вторжение в физику» (9 книг: 2006–2010), «Геометрия пространства-времени и классическая механика» (2014; совместно с В. И. Бабецким), «Тензорный анализ» (2018). Хобби — история и культура Китая во всех видах.

Александров Игорь Витальевич
Ученик Ю. Р. Мусина. Математическое образование получил на факультете прикладной математики в Московском авиационном институте и на механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова. Научные интересы: гомологическая алгебра, геометрия супермногообразий, некоммутативная алгебра, теория пучков, теория категорий, применение математических подходов в консервативном и феноменологическом анализе философии и психиатрии. Автор книги «Расширенная психологическая среда. Философия, анализ и метод» (2014).