Грац Ю.В. Лекции по гидродинамике Изд. 3, испр. и доп.

---

Предисловие . . . . . . . .. 7

Некоторые обозначения . . .. . . . . . . . . . . . 8

1. Кинематика сплошной среды 10

1.1. Введение . . . . . . 10

1.1.1. Гипотеза сплошности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.2. Галилеева структура пространства событий . . . . . . 12

1.2. Картина Лагранжа и картина Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3. Интегральные характеристики поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1. Векторные линии и трубки, потоки . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.2. Вмороженные поля. Теорема Фридмана . . . . . . . . . . 18

1.4. Тензор скоростей деформаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Уравнения движения сплошной среды 25

2.1. Тензор локальных напряжений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2. Уравнение непрерывности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3. Закон изменения импульса сплошной среды . . . . . . . . . . . . 28

2.4. Закон изменения момента импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5. Закон изменения кинетической энергии . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6. Элементы термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3. Идеальная жидкость 37

3.1. Уравнения движения идеальной жидкости . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2. Интегралы уравнений движения идеальной жидкости . . . 40

3.2.1. Интеграл Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.2. Интегралы Коши и Бернулли – Эйлера . . . . . . . . . . 41

3.2.3. Законы изменения импульса и энергии . . . . . . . . . . . 43

3.3. Вихри в идеальной жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.1. Теоремы Томсона и Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.2. Уравнение Гельмгольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.3. Теоремы Гельмгольца и Гельмгольца – Фридмана . . . . . . . . . . . . 47

3.4. Движение тел в идеальной жидкости. Кавитация . . . . . . . 48

3.5. Истечение газа через сопло. Акустический горизонт . . . . . 53

4. Волны в идеальной жидкости 56

4.1. Звуковые волны в идеальной жидкости. . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.1.1. Уравнение линейной волны. Общее решение . . . . . . 56

4.1.2. Плоская волна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2. Распространение звука в потоке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2.1. Линейные возмущения потока. Эффективная метрика . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.2. Сферически симметричный поток. Гидро-динамическая черная дыра . .. . . . . 66

4.2.3. Гидродинамический аналог эффекта Хокинга . . . . 69

4.3. Гравитационные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3.1. Волны малой интенсивности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.3.2. Опрокидывание профиля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.4. Волны Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.5. Ударные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5. Вязкая жидкость 92

5.1. Система гидродинамических уравнений вязкой жидкости . . . . . . . . .. 92

5.2. Несжимаемая вязкая жидкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.3. Закон подобия. П–теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.4. Движение вихрей в вязкой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.5. Линейные возмущения в вязкой жидкости . . . . . . . . . . . . . . 101

5.6. Затухание гравитационных волн в вязкой жидкости . . . . . 105

5.7. Движение твердых тел в вязкой жидкости . . . . . . . . . . . . . . 108

5.7.1. Поступательное движение тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.7.2. Колебательное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6. Неустойчивость 113

6.1. Энергетический порог устойчивости стационарного потока . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.2. Возникновение неустойчивости: сценарий Ландау . . . . . . . 115

6.3. Неустойчивость Кельвина – Гельмгольца . . . . . . . . . . . . . . . 117

7. Турбулентность 120

7.1. Развитая турбулентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.1.1. Сценарий Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.1.2. Спектр Колмогорова – Обухова . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.1.3. Логарифмический профиль скоростей. Вязкий подслой . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.2. Релаксация турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.3. Развитие турбулентности: сценарий Фейгенбаума . . . . . . . 131

8. След 134

8.1. Ламинарный след . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

8.2. Турбулентный след . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9. Пограничный слой 140

9.1. Ламинарный пограничный слой. Уравнения Прандтля . . . 141

9.2. Турбулентный пограничный слой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

10. Перенос тепла в жидкости и газе 147

10.1. Уравнение теплопереноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

10.2. Линейная теплопроводность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

10.3. Нелинейная теплопроводность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

10.4. Подобие тепловых потоков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

10.5. Температурный пограничный слой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

11. Свободная конвекция 158

11.1. Достаточное условие отсутствия конвекции . . . . . . . . . . . . . 158

11.2. Уравнения свободной конвекции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

11.3. Свойства подобия уравнений свободной конвекции . . . . . . 162

11.4. Возбуждение конвекции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

12. Поверхностные явления 168

12.1. Формула Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

12.2. Движение жидкости по капиллярам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

12.3. Капиллярно-гравитационные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

12.4. Затухание капиллярных волн. Пленки на поверхности . . . 175

13. Диффузия 177

13.1. Уравнение диффузии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

13.2. Диффузия макроскопических частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

14. Магнитная гидродинамика 181

14.1. Уравнения магнитной гидродинамики идеальной жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

14.2. Магнитогидродинамический тензор напряжений . . . . . . . . 184

14.3. Законы изменения энергии и импульса замагниченной жидкости . . . . . . . . . . . . . . . 184

14.4. Вмороженность силовых линий магнитного поля . . . . . . . . 186

14.5. Магнитогидродинамические волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

14.6. Разрывные течения в магнитной гидродинамике . . . . . . . . 190

14.7. Магнитогидродинамика при конечной проводимости. . . . . 192

Задачи . . . . . . . . 195

Ответы . . . . . . . . 217

Рекомендуемая литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . 238

---

В основу книги положен курс лекций по гидродинамике, которые читались в течение ряда лет на физическом факультете Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Курс рассчитан на студентов и аспирантов, специализирующихся в различных областях физики, как теоретической, так и экспериментальной. Это определило подбор материала и стиль его изложения. Целью лекций было в относительно небольшом объеме дать представление об этом важном имеющим большое прикладное значение разделе физики, которое могло бы послужить основой для изучения специальных вопросов, рассматриваемых в гидродинамике и смежных науках. При этом автор старался сочетать достаточную строгость изложения с качественными методами исследования, умение пользоваться которыми одинаково полезно как теоретикам, так и экспериментаторам.

В конце книги приведен список задач, решение которых призвано расширить круг проблем, рассматриваемых в основном тексте. Задачи подобраны из приведенного списка рекомендуемой литературы.

Список литературы, разумеется, никоим образом не претендует на полноту. Сколь-либо полный обзор выходил бы далеко за рамки этой книги.

В тексте используются традиционные для курсов теоретической физики обозначения. Список некоторых из них приведен ниже.

Остальные по мере необходимости пояснены в тексте.

Предметный указатель призван дополнить оглавление. В него главным образом включены термины, которые не отражены в оглавлении.

Автор выражает глубокую признательность профессорам физического факультета Московского государственного университета

А. В. Борисову и Д. Д. Соколову, чьи замечания были учтены при доработке книги. Отдельная благодарность сотруднику кафедры теоретической физики П. А. Спирину, оказавшему огромную помощь на заключительном этапе подготовки рукописи.

---