Оглавление
Оглавление
Введение 8
I Пространства 11
Глава I. Элементы теории множеств 12
1. Что такое множество?.............. 12
2. Про аксиому выбора и другие проблемы ... 15
3. Мощность множеств............... 21
4. Отображения множеств............. 24
Глава II. Метрические пространства 27
1. Определение метрического
пространства, примеры............. 27
2. Открытые и замкнутые множества метрического пространства........... 35
3. Сходимость в метрическом пространстве ... 40
4. Полные метрические пространства...... 44
5. Принцип сжимающих отображений...... 52
6. О применении метрических пространств
в теории информации.............. 58
Глава III. Нормированные и банаховы
пространства 61
1. Линейные пространства............. 61
2. Нормированные и банаховы пространства . . 66
5
6
Оглавление
3. Функции со значениями
в банаховом пространстве............ 70
4. О линейных операторах
в банаховых пространствах........... 72
Глава IV. Интеграл Лебега и пространства Ьр 77
1. Интеграл Лебега................. 77
2. Мера множества и интеграл Лебега по мере . . 82
3. Пространства Лебега.............. 97
Глава V. Гильбертовы пространства 103
1. Скалярное произведение............ 103
2. Примеры гильбертовых пространств..... 107
3. Геометрия гильбертова пространства..... 112
4. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве . . 119
Глава VI. Топологические пространства 131
1. Топология открытых множеств........ 131
2. Базы и пределы................. 135
3. Компактность .................. 137
4. Линейные топологические пространства ... 146
II Линейные операторы 149
Глава VII. Три принципа линейных операций 150
1. Принцип равномерной ограниченности .... 150
2. Принцип открытости отображения...... 155
3. Теорема Хана—Банаха ............. 160
Глава VIII. Линейные функционалы 169
1. Сопряженные пространства.......... 169
2. Теорема Рисса.................. 175
3. Сопряженные операторы............ 178
4. Обобщенные функции.............. 181
Оглавление 7
Глава IX. Неограниченные линейные
операторы 187
1. Замкнутые операторы.............. 187
2. Самосопряженные операторы......... 190
3. Резольвента и спектр.............. 198
4. О спектральном разложении операторов . . . 207
Глава X. Компактные операторы 209
1. Свойства компактных операторов....... 209
2. Собственные значения
компактного оператора............. 213
3. Доказательство теоремы
Гильберта—Шмидта............... 217
Глава XI. Операторные уравнения 222
1. Линейные уравнения .............. 222
2. Альтернатива Фредгольма........... 228
3. Проекционный метод.............. 232
Глава XII. Полугруппы операторов 239
1. Сильно непрерывные полугруппы....... 239
2. Генераторы полугрупп ............. 244
3. Спектральные свойства
генераторов полугрупп............. 246
4. Теорема Хилле—Иосиды
и ее обобщения.................. 248
5. Аналитические полугруппы .......... 253
6. Применение полугрупп операторов
для эволюционных уравнений......... 256
Литература 261
![]() Доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой информационных технологий и математики в Университете Правительства Москвы, действительный член Академии военных наук. Окончил Московский авиационный институт, защитил кандидатскую диссертацию в МГУ имени М. В. Ломоносова по специальности «Дифференциальные уравнения». Работал доцентом в МАИ, старшим научным сотрудником Института океанологии имени П. П. Ширшова РАН, где защитил докторскую диссертацию, посвященную волнам-убийцам. Занимал должность заместителя директора Института морской геологии и геофизики Дальневосточного отделения РАН. Работал заведующим кафедрой «Математическое моделирование и информационные технологии» РУДН, директором Института перспективных технологий и индустриального программирования в РТУ МИРЭА.
Автор более 300 научных трудов, включая несколько монографий и учебников. Область научных интересов: дифференциальные уравнения, функциональный анализ, волны-убийцы в океане, вычислительная математика, прикладная экономика, машинное обучение и искусственный интеллект. |