Обложка Вабищевич П.Н. Численные методы решения нестационарных задач
Id: 270310
899 руб. Новинка недели!

Численные методы решения нестационарных задач

URSS. 2021. 464 с. ISBN 978-5-9710-8959-9.
  • Твердый переплет
Белая офсетная бумага.
Аппроксимация по пространству • Двухслойные схемы • Устойчивость в банаховых пространствах • Трехслойные операторно-разностные схемы • Схемы повышенного порядка точности • Операторно-разностные схемы расщепления • Численное решение систем эволюционных уравнений.

Аннотация

Исследование прикладных задач базируется на численном решении нестационарных задач для уравнений с частными производными. После аппроксимации по пространству мы приходим к задачам с начальными данными для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В книге рассмотрены численные методы приближенного решения таких задач. Исследуются общие условия устойчивости двух- и трехслойных операторно-разностных схем, рассматриваются схемы ...(Подробнее)высокого порядка точности. С использованием представления оператора задачи в виде суммы операторов строятся схемы расщепления, когда переход на новый временной слой реализуется на основе решения более простых задач для отдельных операторных слагаемых. Выделены важные для вычислительной практики задачи для систем уравнений.

Книга рассчитана на студентов вузов, обучающихся по специальности «Прикладная математика», и специалистов по вычислительной математике и математическому моделированию.


Содержание
Предисловие7
Основные обозначения12
Глава 1. Предварительные сведения14
1.1. Линейные пространства14
1.2. Линейные операторы17
1.3. Задача Коши для уравнения первого порядка21
1.4. Уравнения второго порядка24
1.5. Замечания и библиографический комментарий25
1.6. Задачи25
Глава 2. Аппроксимация по пространству27
2.1. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка27
2.1.1. Линейное уравнение27
2.1.2. Принцип максимума29
2.1.3. Краевые задачи в гильбертовом пространстве31
2.1.4. Некоторые разностные соотношения36
2.1.5. Свойства разностных операторов39
2.1.6. Граничные условия третьего рода45
2.2. Нестационарные задачи48
2.2.1. Линейное параболическое уравнение48
2.2.2. Принцип максимума50
2.2.3. Операторная формулировка нестационарных задач52
2.2.4. Дифференциально-операторная задача54
2.2.5. Гиперболические задачи56
2.3. Нестационарные задачи конвекции-диффузии60
2.3.1. Дифференциальные задачи60
2.3.2. Свойства операторов диффузионного и конвективного переноса62
2.3.3. Априорные оценки65
2.3.4. Разностные операторы67
2.3.5. Другие параболические задачи75
2.4. Метод конечных объемов76
2.4.1. Треугольные сетки76
2.4.2. Разностные схемы на треугольных сетках79
2.4.3. Сетки81
2.4.4. Оператор диффузионного переноса82
2.4.5. Разностная лемма Фридрихса85
2.4.6. Операторы конвективного переноса88
2.4.7. Монотонные аппроксимации94
2.4.8. Дивергентные аппроксимации96
2.5. Метод конечных элементов98
2.5.1. Дифференциальная задача99
2.5.2. Конечно-элементная аппроксимация100
2.5.3. Аппроксимация по пространству102
2.5.4. Операторные формулировки105
2.6. Замечания и библиографический комментарий107
2.7. Задачи108
Глава 3. Двухслойные схемы111
3.1. Условия устойчивости операторно-разностных схем111
3.1.1. Задача Коши для дифференциально-операторного уравнения111
3.1.2. Базовые понятия теории устойчивости113
3.1.3. Критерии устойчивости120
3.1.4. Задачи с переменным оператором123
3.1.5. Несамосопряженные операторы126
3.2. Устойчивость по правой части129
3.2.1. Стандартные оценки129
3.2.2. Выделение стационарной неоднородности131
3.2.3. Более жесткие ограничения по устойчивости135
3.3. Двухслойные схемы с весами136
3.3.1. Условия устойчивости137
3.3.2. Задачи с незнакоопределенным оператором139
3.3.3. Неоднородные схемы с весами143
3.3.4. Схемы с весовыми операторами146
3.3.5. Сильная устойчивость149
3.4. Схемы метода конечных элементов154
3.4.1. Общие соображения154
3.4.2. Устойчивость схем конечных элементов156
3.4.3. Условия устойчивости158
3.4.4. -устойчивость проекционно-разностных схем161
3.4.5. Схемы с весами164
3.4.6. Устойчивость по правой части165
3.5. Замечания и библиографический комментарий167
3.6. Задачи168
Глава 4. Устойчивость в банаховых пространствах172
4.1. Задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений172
4.1.1. Постановка задачи172
4.1.2. Логарифмическая норма174
4.1.3. Оценка устойчивости176
4.2. Устойчивость двухслойных схем177
4.2.1. Общие соображения177
4.2.2. Схема с весами178
4.2.3. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения180
4.3. Разностные схемы для уравнений конвекции-диффузии181
4.3.1. Введение181
4.3.2. Уравнения конвекции-диффузии183
4.3.3. Разностные схемы для уравнений конвекции-диффузии185
4.3.4. Экспоненциальные схемы189
4.3.5. Многомерные задачи192
4.3.6. Локально-одномерные схемы195
4.3.7. Задачи конвекции-диффузии-реакции199
4.4. Замечания и библиографический комментарий203
4.5. Задачи203
Глава 5. Трехслойные операторно-разностные схемы205
5.1. Устойчивость по начальным данным205
5.1.1. Достаточные условия устойчивости205
5.1.2. Переход к двухслойной схеме207
5.1.3. -устойчивость трехслойных схем209
5.2. Другие результаты по устойчивости211
5.2.1. Оценки в более простых нормах212
5.2.2. Устойчивость по правой части213
5.2.3. Устойчивость проекционно-разностных схем214
5.2.4. Устойчивость по правой части217
5.3. Трехслойные схемы с весами218
5.3.1. Схемы с весами для уравнений первого порядка218
5.3.2. Схемы с весами для уравнений второго порядка219
5.4. Трехслойные схемы для уравнения адвекции221
5.4.1. Введение221
5.4.2. Постановка задачи222
5.4.3. Трехслойные схемы224
5.4.4. Схемы четвертого порядка точности229
5.5. Замечания и библиографический комментарий233
5.6. Задачи234
Глава 6. Схемы повышенного порядка точности236
6.1. Численное решение задачи Коши236
6.1.1. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений236
6.1.2. Методы Рунге—Кутта237
6.1.3. Многошаговые методы240
6.2. SM-устойчивые схемы243
6.2.1. Аппроксимация по времени243
6.2.2. Схемы на основе Паде-аппроксимаций246
6.2.3. Факторизованные SM-устойчивые разностные схемы250
6.2.4. Задачи с кососимметричным оператором255
6.3. Факторизованные схемы второго порядка точности257
6.3.1. SM-устойчивая схема второго порядка257
6.3.2. Трехслойная факторизованная схема259
6.3.3. SM-устойчивые факторизованные схемы261
6.4. Точные схемы для фундаментальной моды решения параболических задач263
6.4.1. Постановка задачи264
6.4.2. Нестандартные схемы с весами267
6.4.3. Схемы на основе Паде-аппроксимаций270
6.5. Замечания и библиографический комментарий272
6.6. Задачи273
Глава 7. Операторно-разностные схемы расщепления275
7.1. Факторизованные схемы275
7.1.1. Общее рассмотрение275
7.1.2. Схемы переменных направлений как факторизованные схемы277
7.1.3. Устойчивость и точность факторизованных схем278
7.1.4. Факторизованные схемы многокомпонентного расщепления280
7.2. Схемы покомпонентного расщепления282
7.2.1. Схемы покомпонентного расщепления282
7.2.2. Оценки решений промежуточных задач283
7.2.3. Устойчивость схем покомпонентного расщепления284
7.2.4. Сходимость схем покомпонентного расщепления286
7.2.5. Аддитивно-усредненные схемы287
7.3. Регуляризованные схемы расщепления290
7.3.1. Принцип регуляризации разностных схем290
7.3.2. Аддитивная и мультипликативная регуляризация291
7.3.3. Регуляризация аддитивных схем294
7.3.4. Схемы повышенного порядка точности297
7.3.5. Регуляризованные схемы для уравнений второго порядка300
7.4. Векторные аддитивные операторно-разностные схемы301
7.4.1. Векторная дифференциальная задача302
7.4.2. Устойчивость векторных аддитивных схем304
7.4.3. Устойчивость по правой части307
7.4.4. Схемы второго порядка точности308
7.5. Явные схемы для параболических и гиперболических уравнений311
7.5.1. Введение311
7.5.2. Модельная задача312
7.5.3. Схемы попеременно-треугольного метода315
7.5.4. Многослойные схемы попеременно-треугольного метода318
7.5.5. Гиперболические уравнения321
7.6. Замечания и библиографический комментарий323
7.7. Задачи323
Глава 8. Дополнительный материал327
8.1. Явно-неявные схемы для эволюционного уравнения первого порядка327
8.1.1. Введение328
8.1.2. Постановка задачи328
8.1.3. Расщепление основного оператора330
8.1.4. Схемы второго порядка аппроксимации332
8.1.5. Расщепление оператора при производной334
8.1.6. Общий случай336
8.2. Численное решение нестационарных задач с различными масштабами времени337
8.2.1. Введение337
8.2.2. Постановка задачи337
8.2.3. Схемы покомпонентного расщепления340
8.2.4. Векторные аддитивные схемы для многомасштабных задач341
8.3. Неявные итерационные схемы345
8.3.1. Введение345
8.3.2. Неявные двухслойные схемы347
8.3.3. Итерационная реализация неявных схем350
8.3.4. Неполная сходимость итерационного метода352
8.3.5. Более общие задачи356
8.4. Выбор шага по времени358
8.4.1. Проблема контроля шага по времени359
8.4.2. Постановка задачи360
8.4.3. Алгоритм оценки шага по времени362
8.4.4. Обобщения365
8.5. Схемы расщепления решения для нестационарных задач367
8.5.1. Введение367
8.5.2. Расщепление решения369
8.5.3. Схема расщепления372
8.5.4. Решение на прямой сумме подпространств378
8.6. Замечания и библиографический комментарий381
8.7. Задачи382
Глава 9. Численное решение систем эволюционных уравнений385
9.1. Некоторые классы систем эволюционных уравнений385
9.1.1. Параболические задачи в потоковых переменных386
9.1.2. Системы параболических и гиперболических уравнений388
9.1.3. Системы с попарно сопряженными операторами391
9.1.4. Дифференциально-алгебраические системы эволюционных уравнений394
9.2. Схемы покомпонентного расщепления для векторных задач397
9.2.1. Эволюционное уравнение первого порядка398
9.2.2. Схемы покомпонентного расщепления401
9.2.3. Трехслойные схемы покомпонентного расщепления403
9.2.4. Уравнения второго порядка405
9.3. Схемы расщепления для систем уравнений первого порядка407
9.3.1. Дифференциально-операторная задача407
9.3.2. Схемы с весами410
9.3.3. Явно-неявные схемы412
9.3.4. Аддитивные схемы покомпонентного расщепления417
9.3.5. Регуляризованные аддитивные схемы419
9.4. Дифференциально-алгебраические системы с одним эволюционным уравнением421
9.4.1. Постановка задачи421
9.4.2. Схемы с весами426
9.4.3. Схемы расщепления для нахождения m-й компоненты решения430
9.4.4. Аддитивные схемы для системы уравнений434
9.5. Дифференциально-алгебраические системы с одним алгебраическим уравнением439
9.5.1. Дифференциально-операторная задача439
9.5.2. Схема с весами441
9.5.3. Схемы покомпонентного расщепления443
9.5.4. Более общие задачи446
9.6. Замечания и библиографический комментарий448
9.7. Задачи448
Литература451
Предметный указатель458

Предисловие
Современное математическое моделирование прикладных проблем проводится на основе численного решения краевых задач для систем нестационарных уравнений с частными производными. В качестве базовых нестационарных задач рассматриваются параболические и гиперболические уравнения второго порядка. Отработка вычислительных алгоритмов, их теоретический анализ проводится для линейных краевых задач, хотя сами прикладные проблемы связываются, прежде всего, с нелинейными математическими моделями.

Для аппроксимации по пространству наиболее широко используются разностные методы, метод конечных элементов и метод конечных объемов. Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет две основные особенности: большое число неизвестных и жесткость системы (разномасштабность временн ´ых процессов). Систему обыкновенных дифференциальных уравнений удобно записывать в виде дифференциально-операторного уравнения, когда основные свойства задачи передаются свойствами операторов в выбранных пространствах.

Для приближенного решения задачи Коши для дифференциальнооператорного уравнения по времени чаще всего используются разностные аппроксимации. Тем самым, мы приходим к операторно-разностным схемам. При исследовании операторно-разностных схем основное внимание уделяется принципиальному вопросу устойчивости разностного решения по отношению к малым возмущениям начальных условий и правой части (корректности операторно-разностной схемы).

При рассмотрении задачи для погрешности с привлечением априорных оценок устойчивости по начальным данным и правой части формулируются соответствующие оценки для погрешности.

Основы теории устойчивости (корректности) операторно-разностных схем заложены Александром Андреевичем Самарским. Она построена на следующих методологических принципах:

• разностная схема рассматривается как самостоятельный объект исследования, формально не зависящий от исходной дифференциальной задачи;10 Предисловие

• используется унифицированная (каноническая) форма записи разностных схем, рассматриваемых в сеточных гильбертовых пространствах;

• условия устойчивости формулируются в виде операторных неравенств.

Конструктивность теории проявляется в том, что необходимые и достаточные условия (критерии) устойчивости легко проверяются.

В работах А. А. Самарского и его учеников получены общие условия устойчивости двух- и трехслойных операторно-разностных схем.

Предложен и достаточно полно проиллюстрирован на примерах общий подход к получению операторно-разностных схем заданного качества — принцип регуляризации разностных схем. Улучшение качества разностной схемы достигается за счет возмущения операторов первичной (производящей) разностной схемы с учетом общих условий устойчивости.

Во многих случаях удается упростить переход на новый временной слой за счет решения набора более простых задач, когда оператор задачи представляется в виде суммы операторов. Отдельные операторы, например, могут связываться с расщеплением по пространственным переменным, по подобластям (методы декомпозиции области), иметь различную прикладную интерпретацию (мультифизичные проблемы).

Прикладные математические модели обычно включают в качестве искомых величин векторные величины, когда компоненты векторов образуют систему связанных нестационарных уравнений. Типичной является ситуация, когда необходимо решить систему уравнений, которая включает в качестве искомых величин как скалярные, так и векторные величины. Это обуславливает интерес к построению и исследованию операторно-разностных схем для векторных задач и систем эволюционных уравнений.

Изложению классических и новых результатов теории операторноразностных схем посвящена эта книга. Коротко о содержании книги по главам.

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней приведены элементы теории операторов в конечномерных гильбертовых пространствах. Такой математический аппарат в определенном смысле является минимальным для сколько-нибудь строгого и последовательного изложения теории численных методов решения краевых задач для уравнений с частными производными.

Мы ориентируемся на численные методы решения нестационарных задач для уравнений с частными производными. Наиболее яркоПредисловие 11 особенности таких задач проявляются при рассмотрении краевых задач для параболических уравнений второго порядка. Во второй главе приведены примеры построения аппроксимаций по пространству для таких задач, которые приводят к задаче Коши для эволюционных уравнений первого порядка в соответствующих конечномерных гильбертовых пространствах. Отмечаются ключевые особенности разностных аппроксимаций при использовании прямоугольных сеток, метода конечных объемов и метода конечных элементов при триангуляции расчетной области.

Обсуждение основных вопросов начинается с третьей главы. В ней рассматриваются двухслойные схемы для эволюционных уравнений первого порядка. Формулируются в виде операторных неравенств условия устойчивости но начальным данным и правой части для операторно-разностной схемы, записанной в единой (канонической) форме. Аналогичные неравенства для билинейных форм получены при исследовании схем конечных элементов. Выделены двухслойные схемы с весами для эволюционных уравнений первого порядка.

Неулучшаемые условия устойчивости удается получить при рассмотрении операторно-разностной схемы в гильбертовых пространствах. Достаточные условия устойчивости при рассмотрении нестационарных задач в банаховых пространствах получены в четвертой главе. Рассмотрение ведется с привлечением понятие логарифмической нормы соответствующих операторов. Получены условия устойчивости схем с весами для разностного решения краевой задачи для одномерного параболического уравнения. Подробно обсуждаются проблемы построения устойчивых схем для нестационарных задач конвекциидиффузии.

В пятой главе проводится исследование устойчивости трехслойных операторно-разностных схем, которые используются для эволюционных уравнений первого и второго порядка. Оценки устойчивости по начальным данным и правой части получены в различных нормах.

Они конкретизируются для трехслойных схем с весами. Более подробное рассмотрение проблем устойчивости трехслойных схем проведено для нестационарного уравнения адвекции.

Стандартные безусловно устойчивые двух- и трехслойные схемы имеют первый или второй порядок аппроксимации по времени.

В шестой главе отмечаются возможности повышения точности приближенного решения, связанные с использованием Паде-аппроксимаций. Вводится понятие SM-устойчивости операторно-разностных схем, которое связывается с поведением отдельных гармоник приближенного решения. В частности, предложены схемы, которые точны12 Предисловие для слагаемого решения с главной модой спектрального представления решения нестационарной задачи.

Упрощение перехода на новый слой по времени может быть обеспечено на основе аддитивного представления оператора задачи и решения более простых задач. Основные классы таких аддитивных операторно-разностных схем рассмотрены в седьмой главе. Наиболее просто строятся факторизованные схемы расщепления при двухкомпонентном расщеплении, которые можно рассматривать как операторные аналоги классических схем переменных направлений. В более общем случае многокомпонентного расщепления строятся устойчивые схемы суммарной аппроксимации. Регуляризованные схемы расщепления базируются на возмущении операторных слагаемых задачи.

Теория устойчивости аддитивных операторно-разностных схем применяется для построения безусловно устойчивых явных схем для параболических и гиперболических уравнений второго порядка.

Некоторые дополнительные вопросы теории и практики решения краевых задач для нестационарных уравнений с частными производными обсуждаются в восьмой главе. Строятся явно-неявные схемы для эволюционного уравнения первого порядка, когда часть оператора задачи берется с нижнего слоя по времени, а другая — с верхнего. Неоднородные аппроксимации по времени применяются для задач, в которых протекающие процессы характеризуются различными масштабами времени. Вычислительная реализация неявных схем часто связывается с использованием итерационных методов, тем самым приближенное решение находится с некоторой погрешностью. Выделены схемы, для которых эти погрешности не нарушают устойчивость решения. Предлагаются алгоритмы выбора шага по времени при использовании двухслойных схем. Строятся новые аддитивные операторно-разностные схемы, которые связываются не с расщеплением оператора задачи, а с расщеплением самого решения.

Проблемы аппроксимации по времени при приближенном решении краевых задач для систем нестационарных уравнений обсуждаются в девятой главе. Отмечены некоторые классы нестационарных задач, которые приводят к системам уравнений. Эффективные вычислительные алгоритмы строятся на основе расщепления исходной задачи на ряд простых подзадач за счет использования тех или иных неоднородных аппроксимаций по времени. Рассмотрены некоторые типы явно-неявных схем, которые применяются для векторных эволюционных уравнений. Схемы расщепления базируются на выделении диагональной части операторов и/или их треугольном расщеплении.

Многие прикладные задачи связываются с системами эволюционных уравнений первого порядка, в которые входят сопряженные друг другу операторы. Отдельно рассматриваются операторные дифференциально-алгебраические системы, когда часть уравнений системы связывается с квазистационарными процессами.

Каждая глава дополняется небольшим библиографическим комментарием. Приведенный список работ никак не претендует на полноту, на какое-либо решение вопросов научного приоритета. Мы указали только те работы, которые прямо использовались при написании текста книги и в которых можно найти ссылки на больший круг оригинальных исследований. Главы заканчиваются формулированием небольшого набора задач. Они дополняют основное содержание книги и могут быть использованы читателем при самостоятельной проработке материала.

Москва, ноябрь 2020 г. П. Н. Вабищевич


Об авторе
Вабищевич Петр Николаевич
Доктор физико-математических наук, профессор. Специалист в области вычислительной математики и математического моделирования. Работает в Институте проблем безопасного развития атомной энергетики РАН (г. Москва) и Северо-Восточном федеральном университете им. М. К. Аммосова (г. Якутск). П. Н. Вабищевичем разработаны новые эффективные вычислительные алгоритмы для численного решения многомерных задач математической физики, внесен большой вклад в разработку методов численного решения обратных задач математической физики. Созданные им методы применяются при решении прикладных проблем механики сплошной среды, тепло- и массопереноса. П. Н. Вабищевич — автор более 300 научных работ, в том числе нескольких монографий и учебных пособий, обладатель более 10 патентов РФ.