Обложка Суровцев В.А. Ф. П. Рамсей и программа логицизма
Id: 270166

Ф. П. Рамсей и программа логицизма. Изд. 2

URSS. 2021. 232 с. ISBN 978-5-9710-8987-2.

Аннотация

В монографии рассматривается программа логицизма в основаниях математики. Анализируется, каким образом Ф.П. Рамсей предлагает модифицировать эту программу, чтобы освободить ее от нежелательных следствий в виде аксиом сводимости, бесконечности и мультипликативности. Исследуются взгляды Ф.П. Рамсея на философию математики и то, каким образом на эти взгляды повлияли идеи Г. Фреге, Б. Рассела и Л. Витгенштейна. Особое внимание уделено переориентации ...(Подробнее)взглядов Ф.П. Рамсея от логицизма к умеренному интуиционизму под влиянием работ Г. Вейля.

Для философов, логиков, специалистов в области оснований математики и всех интересующихся рассматриваемой проблематикой.


Содержание
Оглавление3
Введение5
Глава 1. Программа логицизма, теория Витгенштейна и задача Рамсея11
1.1. Интуиционизм, формализм, логицизм и специфика предложений математики11
1.2. Теория Л. Витгенштейна19
1.3. Задача Рамсея26
1.4. Логицизм Principia Mathematica29
1.4.1. Определение натурального числа у Г. Фреге29
1.4.2. Парадокс Рассела и простая теория типов36
1.4.3. Принцип порочного круга, определимые классы и разветвлённая теория типов38
1.4.4. Аксиома сводимости и классы49
1.4.5. Следствия для аксиом бесконечности и мультипликативности55
Глава 2. Аксиома сводимости, предикативные функции и теория типов Рамсея64
2.1. Эмпирический характер аксиомы сводимости64
2.2. Классификация парадоксов66
2.3. Модификация понятия предикативной функции69
2.4. Теория типов Рамсея86
2.5. Математический реализм Рамсея94
Глава 3. Тождество, определимые классы и экстенсиональные функции99
3.1. Концепция тождества в «Логико-философском трактате» Л. Витгенштейна99
3.2. Рамсей о концепции тождества Витгенштейна105
3.3. Определяющие функции и определимые классы в Principia Mathematica116
3.4. Различия в понимании тождества у Витгенштейна и Рамсея123
3.5. Рамсей об экстенсиональном характере математики133
3.6. Экстенсиональные функции Рамсея143
3.7. Витгенштейн об экстенсиональных функциях Рамсея149
Глава 4. Количество вещей в мире и трансцендентальный смысл аксиомы бесконечности165
4.1. Рассел о бесконечности165
4.2. Псевдопонятие «объект» в «Логико-философском трактате» Л. Витгенштейна176
4.3. Рамсей о трансцендентальном смысле аксиомы бесконечности183
4.4. Рамсей о количестве вещей в мире189
4.5. Экстенсиональные функции и аксиома бесконечности202
Глава 5. Ф. П. Рамсей и интуиционизм Г. Вейля209
Литература226

Введение
В предисловии к посмертно опубликованному сборнику работ Ф. П. Рамсея «Основания математики и другие логические исследования» [78] Дж. Э. Мур писал:

Он мыслил необычайно ясно. Никто с такой лёгкостью, как он, не мог избежать смешений в мысли, которым подвержены даже лучшие философы. Он мог уловить и проследить тончайшие различия. Более того, он обладал исключительной способностью выводить следствия из сложнейшего множества фактов. Он обладал способностью видеть то, что следует или может следовать из этих фактов, взятых вместе, когда другие вообще не видели никаких следствий. И вместе с тем, несмотря на его утончённость и изобретательность, которые часто вели многих других философов к отрицанию очевидных фактов, он производил впечатление человека, в самой совершенной степени обладающего здравым смыслом. Он, как казалось мне, обладал прекрасным чувством меры. Он видел, какие проблемы наиболее фундаментальны, и именно эти проблемы наиболее его интересовали, именно их он стремился решить. По этим причинам, вероятно, как и другие, я почти всегда чувствовал, в отношении любой темы, которую мы обсуждали, что он понимал её лучше, чем я. И там, где (как часто случалось) он не мог меня убедить, я в общем осознавал, что, вероятно, ошибаюсь я, а он прав, и моё с ним несогласие соответствует недостатку интеллектуальных сил с моей стороны [72. P. VII].

Эта блистательная характеристика ведущего кембриджского философа первой половины прошлого века, одного из родоначальников современной аналитической философии относится к человеку, прожившему всего 26 лет. Фрэнк Пламптон Рамсей (22 февраля 1903 – 19 января 1930) — выдающийся математик, экономист и философ.

В математике он известен, прежде всего, своей теоремой, которая, будучи сформулирована для частного случая проблемы разрешения, в конечном счёте, в 70-х годах прошлого века привела к появлению в рамках теории графов специфического раздела, называемого ныне «Теорией Рамсея». Что касается экономики, то любой современный учебник по математическим исследованиям в этой области отталкивается от результатов, полученных Ф. П. Рамсеем относительно экономического поведения и решений. Здесь мы не будем касаться этих достижений, оставляя их более компетентным в данных областях исследователям.

Нас интересуют, прежде всего, философские взгляды Рамсея. Отчасти это связано с тем, что, несмотря на их популярность, а имя Рамсея появляется во множестве исследований, посвящённых проблемам универсалий, соотношения суждений и фактов, причинности, вероятности, истины и убеждений, структуре научных теорий и многим другим, его взгляды ещё далеки от систематического исследования и изложения. В России специалистам по философии имя Рамсея, несмотря на появившийся недавно сборник переводов его работ на русский язык [16], остаётся почти неизвестным.

Кроме того, мы будем анализировать не все философские идеи Рамсея, но по преимуществу те его взгляды, которые касаются оснований математики и математической логики. Связано это с несколькими причинами. Во-первых, исследования в области оснований математики и математической логики, по словам Б. Рассела, всегда проходят несколько философски. Эта область исследований, с одной стороны, следует математической строгости в разработке и использовании формализмов, что роднит её с наиболее абстрактными разделами собственно математики, но, с другой стороны, попытка прояснения фундаментальных математических понятий заставляет обращаться к философскому пониманию того, на что ориентируется и что пытается сделать математик, когда использует понятия множества, числа, функции и т. д., поскольку их интерпретация во многом зависит от эпистемологических и онтологических предпочтений. Поэтому философские взгляды в данной наиболее абстрактной области способствуют пониманию идей, касающихся более «приземлённых» областей. Это относится и к Рамсею, поскольку многие его философские идеи зависят от того, как им интерпретируются и понимаются некоторые теории математической логики.

Во-вторых, первые опубликованные работы Рамсея касались именно оснований математики. Этими проблемами он интересовался на протяжении всей своей короткой жизни, и именно при их разработке можно проследить определённую эволюцию его философских взглядов. Изменение этих взглядов в большой степени зависит от изменения его интересов в области оснований математики, в частности, эволюция от логицизма в сторону умеренного интуиционизма.

В-третьих, в исследованиях по основаниям математики наиболее полно проявляется философский стиль Рамсея, впрочем, свойственный всей аналитической философии, где внимание к нюансам и их разработка ставятся во главу угла. Именно внимание к нюансам при анализе некоторых проблем оснований математики, скажем, таких как проблема тождества, отличие объективного значения функции от субъективных возможностей выражающего её логика, экстенсиональный характер математики, понятие математической тавтологии, позволяет сохранить свой эвристический потенциал для современной философии математики и использовать при решении ряда проблем.

В-четвёртых, некоторые достижения Рамсея — например, классификация парадоксов на теоретико-множественные и семантические, элиминация аксиомы сводимости и т. п. — вошли в арсенал современных исследований по основаниям математики. Редкое руководство по математической логике обходится без их упоминания. Однако следует учесть, что эти достижения Рамсея основаны на ряде философских предпосылок, в частности математическом реализме и экстенсиональной трактовке математики. Поэтому их некритическое принятие в области, которая находится на стыке математики и философии, может привести к неверной интерпретации результатов, казалось бы, полученных независимо.

В-пятых, первоначальные идеи Рамсея развивались в рамках программы логицизма, которая пыталась представить математику в качестве развитой логики. Эта программа не удовлетворяла многих исследователей из-за принимаемых в её рамках, но не сводимых к логике предпосылок. Рамсей попытался освободить эту программу от всего, что выходит за рамки логики. В этом его попытку можно считать крайне интересной для исследования кульминацией программы логицизма и, вместе с тем, некоторым завершающим её этапом. И наконец, не так давно были практически полностью опубликованы архивные материалы Рамсея [80; 81], в которых многие тексты посвящены философии математики. Эти тексты позволяют лучше понять, как складывались и эволюционировали его взгляды, что делает их предметом интересной историко-философской разработки.

В первом приближении, не обращаясь к деталям, позицию Рамсея, как она представлена в данной монографии, можно охарактеризовать следующим образом. Среди трёх направлений в основаниях математики, развиваемых в начале прошлого века, а именно, логицизма, интуиционизма и формализма, Ф. П. Рамсей поначалу выбирает первое. Он однозначно причисляет себя к сторонникам Г. Фреге, Б. Рассела и А. Н. Уайт¬хеда, считавших, что вся математика, т. е. её понятия и предложения, выводима из понятий и предложений логики. Выдвинутая им по ходу обоснования своей позиции критика интуиционизма и формализма имеет важное значение. Но он прекрасно осознаёт недостаточность решения, предложенного Уайтхедом и Расселом в Principia Mathematica, которая связана, прежде всего, с неопределённостью того, что считать предложениями логики. Некоторые из основоположений Б. Рассела и А. Н. Уайтхеда, принятые ими, чтобы избежать изначальной фрегеанской позиции, не свободной от противоречий, вызывают сомнение не только в своей логической природе (аксиома мультипликативности, аксиома бесконечности), поскольку они в отличие от чистой логики нечто утверждают о мире, но и в обоснованности вообще (аксиома сводимости). Именно эти сомнения зачастую вызывали неприятие позиции логицизма. Поэтому для реализации данной программы необходимо выяснить статус предложений логики, аналитичность которых всегда противопоставлялась предложениям, чья истинность или ложность зависит от структуры мира. Здесь Ф. П. Рамсей принимает точку зрения Л. Витгенштейна, который в «Логико-философском трактате» последовательно проводит мысль, что все предложения логики являются тавтологиями. Таким образом, чтобы обосновать точку зрения логицизма, необходимо обосновать, что вызывающие сомнение положения либо излишни, либо являются тавтологиями, если соответствующим способом модифицировать их понимание. Ф. П. Рамсей пытается реформировать логицизм, предлагая первую альтернативу для аксиомы сводимости, а вторую — для аксиом мультипликативности и бесконечности. Эту реформу Рамсей реализует в работе «Основания математики». Однако, несмотря на определённые достижения, Ф. П. Рамсей осознаёт их ограниченность, поскольку вторая альтернатива решалась лишь в тех формальных системах, которые связаны особыми условиями. Уже в следующей работе по основаниям математики «Математическая логика» Рамсей выказывает сомнения в логическом статусе аксиомы бесконечности и утверждает, что программа логицизма в полной мере не реализуема. В результате взгляды Рамсея эволюционирует в сторону умеренного интуиционизма и формализма. Это общие контуры, в рамках которых в монографии излагается материал. Этот материал потребовал попутного рассмотрения взглядов Фреге, Рассела, Витгенштейна (особенно глава 1), без чего идеи Рамсея для неподготовленного читателя были бы просто непонятны. Глава 2 в основном посвящена рассмотрению аксиомы сводимости. Здесь особое внимание уделено модификации Рамсеем понятия предикативной функции у Рассела, рассмотрена предложенная Рамсеем новая теория типов и проанализированы реалистические предпосылки, на которых основаны эти изменения. В главах 3 и 4 особое внимание уделяется экстенсиональной трактовке математики и понятию математической тавтологии, что позволяет Рамсею переинтерпретировать ряд положений Уайтхеда и Рассела на основании водимого им понятия экстенсиональной функции. Отметим, что при интерпретации этих взглядов Рамсея в значительной степени привлекались архивные материалы, которые лучше помогают понять генезис его взглядов, особенно это касается концепции тождества, количества вещей в мире и трансцендентального смысла аксиомы бесконечности. В главе 5 на основании архивных материалов рассмотрена эволюция взглядов Рамсея в сторону умеренного интуиционизма Г. Вейля.

В своих исследованиях Ф. П. Рамсей в основном использует символику, принятую Б. Расселом и А. Н. Уайтхедом в Principia Mathematica, хотя иногда в его работах встречается обычная математическая запись и некоторые специфические обозначения. Нами, за некоторым исключением, также используется эта символика. В первом издании работ Рамсея [78] его редактор Р. Брейтуэйт для удобства читателя привёл отдельные замечания относительно наиболее важных элементов этой символики. Следуя Брейтуэйту, для удобства читателей мы здесь также приводим эти замечания.


Об авторе
Суровцев Валерий Александрович
Доктор философских наук, профессор. Родился в 1964 г. Закончил философский факультет Томского государственного университета в 1990 г. В настоящее время — заведующий кафедрой истории философии и логики Национального исследовательского Томского государственного университета. Главный редактор журнала «Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология».

Автор более 150 работ в области аналитической философии языка, логики и ее философии, философии математики, философии права, истории аналитической философии; в том числе монографий: «Автономия логики: Источники, генезис и система философии раннего Витгенштейна», «Витгенштейн и Крипке: Следование правилу, скептический аргумент и точка зрения сообщества» (соавтор В. В. Ладов), «Ф. П. Рамсей и программа логицизма», «Аналитическая философия, юридический язык и философия права» (соавтор В. В. Оглезнев) и др. Переводчик с немецкого и английского на русский язык ряда ключевых работ ведущих философов-аналитиков: Г. Фреге, Б. Рассела, Дж. Мура, Л. Витгенштейна, Ф. Рамсея, Дж. Айера, У. Куайна, С. Крипке, Г. Харта и др. В своих работах развивает точку зрения, что аналитическую философию, несмотря на разнообразие онтологических и эпистемологических предпосылок, от которых отталкиваются ее представители, объединяет единый методологический мотив, связанный со строгостью формулировок и доказательностью аргументации.