Обложка Арнольд И.В. Теория чисел
Id: 269476
699 руб.

Теория чисел. Изд. стереотип.

URSS. 2021. 288 с. ISBN 978-5-9710-8580-5.
Типографская бумага

Аннотация

Вниманию читателей предлагается книга математика и методиста И.В.Арнольда, посвященная проблемам теории чисел. Среди них --- логическое обоснование и обобщение понятия числа в связи с общим аксиоматическим определением скалярного числового поля, теория делимости, простые числа, задачи аддитивной теории чисел, теория сравнений и т.д. В конце книги прилагается краткий исторический справочник, в котором освещены основные моменты развития... (Подробнее)


Оглавление

Оглавление

Предисловие5
Глава I. Рациональные числа7
§ 1. Основные законы действий над числами7
§ 2. Скалярные числовые поля и их свойства8
§ 3. Свойства обратных операций в числовом поле11
§ 4. Система рациональных чисел как минимальное скалярное числовое поле14
§ 5. Аксиоматика натурального ряда15
§ 6. Действия над натуральными числами17
§ 7. Обобщение понятия числа. Метод пар20
§ 8. Теория целых чисел как пар натуральных чисел22
§ 9. Теория рациональных чисел как пар целых чисел25
§ 10. Действительные числа28
Глава II. Теория делимости и алгорифм Евклида31
§11. Отношение делимости и его простейшие свойства31
§ 12. Общий наибольший делитель и наименьшее кратное двух чисел33
§ 13. Общий наибольший делитель и наименьшее кратное нескольких чисел36
§ 14. Теория делимости в поле рациональных чисел38
§ 15. Алгорифм Евклида41
§ 16. Элементарная теория непрерывных дробей46
§17. Неопределенные уравнения первой степени с двумя неизвестными52
Глава III. Простые числа60
§ 18. Разложение на первоначальные множители60
§ 19. Разложение больших чисел на множители62
§ 20. Теорема Вильсона62
§ 21. Критерии Эйлера64
§ 22. Следствия теоремы о разложении на первоначальные множители69
§ 23. Числовая функция Эйлера76
§ 24. Решето Эратосфеиа81
§. 25. Формула Лежандра83
§ 26. Вопрос о распределении простых чисел в натуральном ряду91
§ 27. О порядке величины π(х) при х→со104
Глава IV. Задачи аддитивной теории чисел117
§ 28. Разбиение чисел на слагаемые117
§ 29. Теорема Эйлера-Лежандра119
§ 30. Рекуррентные соотношения, вытекающие из теоремы Эйлера-Лежандра124
§ 31. Разложение натуральных чисел на сумму двух квадратов127
§ 32. Разложение натуральных чисел на сумму четырех квадратов130
§ ЗЗ. Проблема Вариига134
Глава V. Теория сравнений137
§ 34. Понятие о сравнении. Классы равноостаточных чисел по данному модулю137
§ 35. Основные свойства сравнений. Операции сложения и умножения по данному модулю. Признаки делимости чисел140
§ 36. Операция деления. Делители нуля. Приведенная система вычетов144
§ 37. Решение сравнений первой степени147
§ 38. Дроби по простому модулю151
§ 39. Теоремы Ферма и Эйлера. Приложения к решению сравнений первой степени155
§ 40. О числе решений сравнений высших степеней158
§ 41. Степенные вычеты160
§ 42. Первообразные корни простого модуля162
§ 43. Первообразные корни модуля ра165
§ 44. Теория индексов и ее приложения166
§ 45. Приложения теории степенных вычетов к выводу признаков делимости171
§ 46. Периодические дроби, получающиеся при обращении простых Дробей в десятичные173
§ 47. Сравнения по функциональному и двойному модулю182
Глава VI Рациональные приближения иррациональных чисел. Алгебраические и трансцендентные числа183
§ 48. Введение183
§ 49. Представление иррациональных чисел непрерывными дробями185
§ 50. Эквивалентные числа190
§ 51. Рациональные приближения действительных чисел и подходящие дроби193
§ 52. Уравнение Пелля201
§ 53. Разложение квадратических иррациональностей в непрерывную дробь203
§ 54. Решение уравнения Пелля208
§ 55. Рациональные приближения алгебраических чисел211
§ 56. Трансцендентность чисел e и π217
Глава VII. Неопределенные уравнения высших степеней225
§ 57. Положительные квадратичные формы225
§ 58. Неопределенные квадратичные формы234
§ 59. Задача Ферма240
Приложения248
Краткий асторико-биографический справочник248
Упражнения254
Числовые таблицы269

Предисловие
Предметом теории чисел является, как известно, изучение специфических свойств целых чисел. Сюда относятся: соотношения делимости, свойства простых чисел, решение неопределенных уравнений в целых числах и т. п. В настоящей книге, предназначенной в первую очередь для педвузов, в первой главе рассматриваются, в соответствии с программой, вопросы несколько иного порядка, относящиеся скорей к теоретической арифметике, а именно: логическое обоснование и обобщение понятия числа в связи с общим аксиоматическим определением скалярного (расположенного) числового поля. Во второй главе, в связи с той же целевой установкой, несколько подробнее, чем это было бы нужно для теории чисел в собственном смысле этого слова, рассматриваются свойства общего наибольшего делителя и наименьшего кратного двух и нескольких чисел и элементарные приемы решения неопределенных уравнений первой степени. Таким образом, при желании возможно быстрее перейти к третьей главе читатель может ограничиться из материала первых двух глав ознакомлением с § 11, 15, 16 и с основной частью § 17.

При составлении остальной части книги в выборе материала и способа изложения я руководствовался следующими соображениями. Содержание теории чисел как самостоятельной научной дисциплины отнюдь не исчерпывается теми вопросами, которые в большинстве курсов объединяются в систематическом порядке в связи с более или менее подробным изложением теории сравнений. По существу эта последняя является лишь подсобным аппаратом теории чисел в более широком смысле слова, и сухое изложение относящихся сюда положений вряд ли способно дать представление о действительном характере всей дисциплины в целом и пробудить живой интерес к ее задачам и методам. С другой стороны, для будущих преподавателей весьма существенно возможно более широкое ознакомление как с достигнутыми в настоящее время результатами, так и с примыкающими к ним отдельными частными вопросами, допускающими элементарную трактовку, а потому я и считал целесообразным принять следующий план изложения. Отводя сравнительно подчиненное место аппарату теории сравнений, я, уже начиная с третьей главы, стремился ознакомить читателя с возможно большим количеством конкретных теоретико-числовых фактов, допускающих элементарное изложение, а в тех случаях, когда провести доказательство полностью не представлялось возможным, пытался дать читателю представление о соответствующих результатах в обзорном порядке. При этом изложение ведется так, что выделение обязательного по программе минимального материала не должно представить никаких затруднений. Дополнительный же материал может быть выбираем со значительной степенью произвола, в зависимости от условий чтения курса или направления интересов читателя. Следует, однако, иметь в виду, что к концу книги (гл. VI и § 57, 58) характер излагаемых вопросов несколько усложняется и самостоятельное чтение может потребовать от читателя большей затраты усилий, нежели в начале.

Прилагаемый в конце краткий исторический справочник не претендует на полноту и однородность, а имеет в виду лишь осветить основные моменты развития теории чисел в рамках тех вопросов, которые были затронуты в книге.

Отдел упражнений содержит задачи разной степени трудности, требующие, однако, для решения применения лишь элементарных приемов.

Замечу в заключение, что соответствующие отделы этой книги полностью включают в себя содержание двух последних глав первого издания моей книги „Теоретическая арифметика", во втором издании которой эти главы опущены.

И. Арнольд,

Москва, февраль, 1939.


Об авторе
Арнольд Игорь Владимирович
Известный математик и методист. Доктор педагогических наук, профессор, член-корреспондент АПН РСФСР. Отец выдающегося математика В. И. Арнольда. Родился в Харькове, в семье экономиста и статистика В. Ф. Арнольда. В 1918–1921 гг. учился на математическом отделении Новороссийского университета. В 1922 г. начал преподавательскую деятельность в институтах Одессы. В 1924 г. переехал в Москву и поступил на математическое отделение Московского университета, которое окончил в 1929 г. В 1929–1932 гг. — аспирант Научно-исследовательского института при МГУ; участвовал в семинарах видных ученых — А. Я. Хинчина, С. А. Яновской, приезжавшей в Москву из Германии Эмми Нётер. С 1933 г. — ассистент, позднее доцент и, наконец, исполняющий обязанности профессора математики Физического института МГУ. В 1935 г. удостоен степени кандидата физико-математических наук; в 1941 г. защитил докторскую диссертацию по методике математики. В 1944 г. был избран по конкурсу заведующим кафедрой высшей математики Московского института стали; одновременно читал лекции на физическом факультете МГУ.

Основные научные интересы И. В. Арнольда относились к области методики преподавания математики в средней и высшей школе. Он обосновал цели преподавания арифметики в средней школе, предложил доступную учащимся методику преподавания отрицательных чисел, развил учение о показательной и логарифмической функциях, сформулировал принципы отбора и составления арифметических задач. Им были написаны учебники и учебные пособия по арифметике и алгебре, благодаря которым соответствующие курсы в педагогических институтах стали преподаваться на более высоком, чем прежде, научно-педагогическом уровне.