| От редакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
|
| От автора: немножко истории, научных эмоций и интересов . . 12
|
| Лекция 1. Приглашение в макросистемный мир . . . . . . . . . . 14
|
| 1.1. Макросистема — что это? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
|
| 1.2. Краткое содержание курса и комментарии . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 1. Вариационный принцип . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 2. Параметрические свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 3. Вычислительные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 4. Принцип локальных равновесий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 5. Свойства энтропийного оператора и ДСЭО . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 6. Компьютерная томография . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 7. Пространственная демоэкономика . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 8. Рандомизированное машинное обучение . . . . . . . . . . . . . . 30
|
| Раздел I
|
| Стационарные состояния макросистем . . . . . . . . . . . . . . 33
|
| Лекция 2. Механизмы функционирования макросистемы и их характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
|
| 2.1. Феноменологическое определение макросистемы . . . . . . . . 34
|
| 1. Преобразование «вход-выход» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
|
| 2. Структурное представление и процессная диаграмма . . . . . . . 36
|
| 2.2. Стохастический механизм, состояния, микро- и макро-состояния . . . . . . 38
|
| 2.3. Вероятностные характеристики макро-состояний . . . . . . . . 40
|
| 1. Распределение вероятностей макро-состояний (ФРВ) . . . . . . . 40
|
| 2. Энтропия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 Содержание
|
| Лекция 3. Функции распределения вероятностей и энтропии макро-состояний . . . . . . . . . . . . . . . . 44
|
| 3.1. Ферми-макросистемы (F -макросистемы) . . . . . . . . . . . . . 44
|
| 1. Функция распределения вероятностей F -макросистемы . . . . . 44
|
| 2. Энтропия F -макросистемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
|
| 3.2. Эйнштейн-макросистемы (E-макросистемы) . . . . . . . . . . . 48
|
| 1. Функция распределения вероятностей E-макросистемы . . . . . 48
|
| 2. Энтропия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
|
| 3.3. Пара-макросистемы (P -макросистемы) . . . . . . . . . . . . . . . 52
|
| 1. Функция распределения вероятностей P -макросистемы . . . . . 52
|
| 2. Энтропия P -макросистемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
|
| 3.4. Больцман-макросистемы (B-макросистемы) . . . . . . . . . . . 56
|
| 1. Функция распределения вероятностей B-макросистемы . . . . . 56
|
| 2. Энтропия B-макросистемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
|
| 3.5. Морфологические свойства вероятностных характеристик . . 58
|
| 1. Гарантированная относительная флуктуация . . . . . . . . . . . . 58
|
| 2. Максимум и его «острота» для классов макросистем . . . . . . . . 60
|
| Лекция 4. Макросистемы с неоднородными элементами и состояниями (I) (NH-макросистемы) . . . . . . . . 68
|
| 4.1. Механизмы функционирования и их классификация . . . . . . 68
|
| 4.2. Схема формирования вероятностных характеристик
|
| NH-макросистем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
|
| 4.3. Производящие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
|
| 4.4. D e D s -макросистемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
|
| 1. Статистический вес макро-состояний . . . . . . . . . . . . . . . . 74
|
| 2. Функция распределения вероятностей (ФРВ) макро-состояний . 76
|
| 3. Энтропия макро-состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
|
| 4.5. I e D s — макросистема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
|
| 1. Статистический вес макро-состояний . . . . . . . . . . . . . . . . 80
|
| 2. Функция распределения вероятностей (ФРВ) макро-состояний . 82
|
| 3. Энтропия макро-состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
|
| Лекция 5. Макросистемы с неоднородными элементами и состояниями (II) (NH-макросистемы) . . . . . . . . 86
|
| 5.1. D e I s -макросистема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
|
| 1. Статистический вес макро-состояний . . . . . . . . . . . . . . . . 86
|
| 2. Функция распределения вероятностей (ФРВ) макро-состояний . 86
|
| 3. ФРВ F - и E-макро-состояний с неоднородными элементами . . 88
|
| 4. Энтропия макро-состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
|
| 5.2. I e I s -макросистема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
|
| 1. Статистический вес макро-состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
|
| 2. Функция распределения вероятностей (ФРВ) макро-состояний . 94
|
| 3. Энтропия макро-состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
|
| 4. I e I s − F -макросистема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
|
| 5.3. Пример: моделирование распределения пассажиров в трамвае . . . . . . 96
|
| 1. Механизмы формирования распределения пассажиров по вагонам . . . 96
|
| 2. Модель DD-макросистемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
|
| 3. Модель ID-макросистемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
|
| Лекция 6. Модели стационарных состояний . . . . . . . . . . . . . 102
|
| 6.1. Обобщенный вариационный принцип . . . . . . . . . . . . . . . . 102
|
| 6.2. Множества допустимых макро-состояний . . . . . . . . . . . . . 104
|
| 6.3. Классы МСС . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
|
| 6.4. Пограничные свойства МСС . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
|
| 1. Производная по направлению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
|
| 2. Пограничные свойства F -МСС . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
|
| 3. Пограничные свойства E-МСС . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
|
| 4. Пограничные свойства B-МСС . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
|
| 6.5. Редукция МСС . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
|
| 6.6. Экстремальные свойства МСС . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
|
| 1. Условия оптимальности МСС . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
|
| 2. Линейные функции потребления и полное расходование ресурсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
|
| 6.7. «Острота» условного максимума энтропии . . . . . . . . . . . . . 120
|
| 1. Ограничения на флуктуации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
|
| 2. Оценивание допустимых флуктуаций (I) . . . . . . . . . . . . . . . 122
|
| 3. Оценивание допустимых флуктуаций (II) . . . . . . . . . . . . . . 124
|
| Лекция 7. Параметрические свойства МСС . . . . . . . . . . . . . . 126
|
| 7.1. Параметризация МСС . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
|
| 7.2. Качественный анализ параметрических свойств . . . . . . . . . 128
|
| 1. МСС с полным использованием ресурсов . . . . . . . . . . . . . . 128
|
| 2. МСС с неполным использованием ресурсов . . . . . . . . . . . . . 128
|
| 7.3. Параметрические свойства B-МСС с полным использованием ресурсов . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
|
| 7.4. Параметрические свойства F -, P -, E-МСС с полным использованием ресурсов . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
|
| 7.5. Параметрические свойства B-МСС с неполным использованием ресурсов . . . . . . . . . . . . . . . . 142
|
| Лекция 8. Вычислительные методы мультипликативного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
|
| 8.1. Классификация вычислительных методов . . . . . . . . . . . . . 144
|
| 1. Структуры итерационных процедур . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
|
| 2. Мультипликативные операторы итерационной процедуры . . . . 146
|
| 8.2. Теоремы сходимости МА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
|
| 8.3. Теоремы о G-сходимости алгоритмов с аддитивной структурой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
|
| 8.4. Теоремы о G-сходимости МА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
|
| 1. Нелинейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
|
| 2. Выпуклое программирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
|
| Лекция 9. Исследование мультипликативных алгоритмов для МСС . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
|
| 9.1. МСС с линейным потреблением ресурсов . . . . . . . . . . . . . 164
|
| 1. МСС с полным потреблением ресурсов . . . . . . . . . . . . . . . . 164
|
| 2. Условия оптимальности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
|
| 3. Преобразование условий стационарности. Экспоненциальные множители Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . 168
|
| 4. Исследование сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
|
| 9.2. Мультипликативные алгоритмы с «активными» переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
|
| 1. МА с p-активными двойственными и прямыми переменными . 178
|
| 2. Сходимость МА с p-активными двойственными переменными . 180
|
| 9.3. МСС с линейным потреблением и неполным расходованием ресурсов . . . . . . . . . . . . . . . . 184
|
| 1. Условия оптимальности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
|
| 2. Исследование сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
|
| 9.4. МСС с линейным потреблением и смешанным расходованием ресурсов . . . . . . . . . . . . . . . 188
|
| 1. Условия оптимальности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
|
| 2. МА с (p + q)-активными переменными для B-MCC со смешанным потреблением ресурсов . .. . . . . . 190
|
| Раздел II
|
| Нестационарные состояния макросистем . . . . . . . . . . . . 193
|
| Лекция 10. Проблемы и принципы моделирования динамики макросистем . . . . . 194
|
| 10.1. Феноменология динамики макросистем . . . . . . . . . . . . . . 194
|
| 10.2. Имитационные методы исследования динамики макросистем. Молекулярная динамика . . .. . . . 196
|
| 10.3. Кинетические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
|
| 1. Уравнение Больцмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
|
| 2. Уравнение Леонтовича . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
|
| 3. Уравнение Хельбинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
|
| 4. Основное уравнение (master equation) . . . . . . . . . . . . . . . . 204
|
| Лекция 11. Принцип локальных равновесий для моделирования динамики макросистем . . . . 206
|
| 11.1. Время релаксации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
|
| 11.2. Эволюция распределения вероятностей макро-состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
|
| 11.3. Феноменология локальных равновесий . . . . . . . . . . . . . . . 210
|
| 11.4. Пространство состояний динамической модели макросистемы . . . . . . . . . . . . . . . . 212
|
| 11.5. Математическая модель медленных процессов . . . . . . . . . . 214
|
| 11.6. Феноменологическая модель распределительного процесса и ее характеристики . . . . . . . 216
|
| 11.7. Энтропийная модель локально-стационарных состояний распределительного процесса . . . . 218
|
| Лекция 12. Динамические системы с энтропийным оператором (ДСЭО) . . . . . . . . . . 220
|
| 12.1. Структуры ДСЭО . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
|
| 12.2. Классы энтропийных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
|
| 12.3. Константа Липшица EQ-энтропийных операторов . . . . . . . 224
|
| 1. Методика оценивания локальной константы Липшица (ЛКЛ) . . 226
|
| 2. Определения B − EQ-энтропийного оператора и его нормальной формы . . . . . . . . . . . . 228
|
| 3. Линейная мажоранта для B 0 − EQ-нормального энтропийного оператора . . . . . . . 230
|
| 4. Оценка ЛКЛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
|
| 5. Определения F − EQ-энтропийного оператора . . . . . . . . . . 234
|
| 6. ЛКЛ для F 0 − EQ-энтропийного оператора . . . . . . . . . . . . . 236
|
| 12.4. Качественный анализ автономных ДСЭО с B − EQ-энтропийным оператором . . . .. 238
|
| 1. Существование сингулярных точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
|
| 2. Векторный отрезок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
|
| 3. Локализация сингулярной точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
|
| 4. Устойчивость ДСЭО в «малом» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
|
| Раздел III
|
| Приложения теории макросистем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
|
| Лекция 13. Основные понятия и энтропийная модель компьютерной томографии (КТ) . . . . .250
|
| 13.1. Физические принципы 2D-монохромной КТ . . . . . . . . . . . 250
|
| 13.2. Энтропийная модель с линейными проекциями . . . . . . . . . 252
|
| 13.3. Статическая процедура восстановления изображений . . . . . 254
|
| 1. Структура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
|
| 2. Алгоритмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
|
| Лекция 14. Динамическая процедура восстановления изображений . . . . . . . . . . . . . . . 258
|
| 14.1. Структура динамической процедуры . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
|
| 14.2. Оператор обратной связи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
|
| 14.3. Классы динамических процедур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
|
| 14.4. Экспериментальное исследование процедур восстановления изображений по проекциям . . . . . . . . . . . 266
|
| Лекция 15. Основные определения и общие характеристики системы «население—экономика» . . . . . . . . . . . . 268
|
| 15.1. Определение демоэкономической системы (PE-система) . . . 268
|
| 15.2. Особенности PE-системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
|
| 15.3. Факторы неопределенности PE-системы . . . . . . . . . . . . . . 272
|
| 15.4. Макросистемная концепция демоэкономики . . . . . . . . . . . 274
|
| Лекция 16. Модельное представление макросистемной концепции . . . . . . . . . . . . . . . . 276
|
| 16.1. Структура модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
|
| 16.2. Односекторная модель и ее основные переменные . . . . . . . 278
|
| 16.3. Уравнения односекторной модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
|
| Лекция 17. Рынок труда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
|
| 17.1. Количественные индикаторы рынка труда . . . . . . . . . . . . . 290
|
| 1. Возрастная и когортная структуры занятости . . . . . . . . . . . . 290
|
| 2. Энтропия распределения занятых когорт . . . . . . . . . . . . . . 292
|
| 17.2. Структура и уравнения модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
|
| 1. Стандартизованные переменные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
|
| 2. Динамика КСЗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
|
| 3. Положительность и граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . 298
|
| 17.3. Модели конкуренции когорт . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
|
| Лекция 18. Рандомизированное машинное обучение (РМО) . 308
|
| 18.1. Подходы к машинному обучению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
|
| 18.2. Основные определения, данные и модель РМО . . . . . . . . . . 310
|
| 18.3. Рандомизированные параметризованные модели . . . . . . . . 314
|
| 1. Качественные свойства и структурные классы . . . . . . . . . . . 314
|
| 2. Математические модели. Линейные динамические РПМ . . . . . 316
|
| 3. Нелинейные динамические РПМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
|
| 4. Рандомизированные нейронные сети . . . . . . . . . . . . . . . . 320
|
| 18.4. Алгоритм рандомизированного оценивания функций ПРВ . . 322
|
| 1. Функционал энтропии как мера неопределенности . . . . . . . . 322
|
| 2. Математическая модель энтропийного оценивания . . . . . . . . 324
|
| 3. Условия оптимальности и энтропийно-оптимальные ПРВ . . . . 326
|
| 4. Уравнения для определения множителей Лагранжа . . . . . . . . 330
|
| 18.5. Процедура тестирования энтропийно-оптимальной РПМ . . . 332
|
| 18.6. Метод генерирования случайных векторов с заданными ПРВ . . . . . 334
|
| Вместо заключения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 |
В далеком 1970 году я защитил докторскую диссертацию и пребывал в ожидании решения ВАКа. Естественная расслабленность после столь ответственного события заполнялась вялыми поисками будущих занятий.
И тут мой учитель, академик Я. З. Цыпкин предложил мне посмотреть статью A. J. Wilson «A statistical theory of spatial distribution models» (Transportation Researches, 1967, p. 253–269), где идеи статистической физики и равновесной термодинамики развивались в направлении их использования для моделирования нефизических систем, в частности, распределения транспортных потоков. В основе предлагаемого подхода лежал классический вариационный принцип максимизации энтропии Больцмана.
Мне показалось это интересным, и я нырнул в этот, как оказалось, океан, и продолжаю в нем плавать до сих пор. Предлагаемый материал представляет собой последнюю версию лекций по теории макросистем, которые читались на кафедре «Системные исследования» МФТИ, начиная с 2003 г. Естественно, курс ежегодно модифицировался новыми результатами, в том числе исследований Института системного анализа РАН.
На его основе читались курсы на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета, в Национальном исследовательском Белгородском государственном университете, Российском экономическом университете им. Г. В. Плеханова, на факультете компьютерных наук Высшей школы экономики.
Хотя «Лекционные заметки» ориентированы на студенческую аудиторию, макросистемное «мировоззрение», его математическое моделирование и разнообразие прикладных задач может оказаться интересным и полезным для аспирантов, докторантов и научных работников.
Теперь несколько слов о формате предлагаемых заметок. Понимая, что никакие новые средства коммуникаций не смогут заменить прелести живого общения с лектором, я постарался сохранить некоторые мостики со слушателями.
Во-первых, эти старания воплотились в названии. Тот материал, который предлагается, — это не лекции, а заметки, которыми лектор пользуется во время лекции. Они нацелены на пробуждение интереса с надеждой, что он приведет к развитию предлагаемой версии теории.
И, во-вторых — в форме издания этих заметок, а именно, в использовании авторского (корявого) текста, изображенного на доске. Я надеюсь, что нас это сближает! За прошедшие 50 лет теория макросистем сформировалась в самостоятельную научную дисциплину и превратилась в математический инструментарий системных исследований. Этому способствовали многочисленные и разнообразные приложения теории в экономике, демографии, компьютерной томографии, машинном обучении и прогнозировании. Конечно, освоение теории и глубокое знакомство с приложениями невозможно без привлечения дополнительных знаний из литературных источников.
Поэтому в заметки включены списки как обязательных источников знаний, так и дополнительных в соответствующих разделах. Лекционные заметки в том виде, в котором они предлагаются читателям, есть в некотором смысле коллективный труд.
Во-первых автор в процессе чтения лекций совершенствовал изложение в результате собственного понимания глубинных особенностей теории макросистем.
Во-вторых, неоценимыми для меня были советы моего учителя академика РАН Я. З. Цыпкина и обсуждения с моими коллегами профессорами Б. Т. Поляком, Б. Л. Шмульяном, Г. С. Осиповым, Б. С. Дарховским. Философские аспекты теории макросистем, которая претендует на симуляцию трансформации от частного к целому, приобрели для автора мировоззренческое значение благодаря обсуждениям с академиками РАН Д. М. Гвишиани и С. В. Емельяновым.
И конечно, немалую роль в совершенствовании заметок сыграли мои студенты, интересующиеся фундаментальными знаниями. В заключение хотел бы выразить мою благодарность директору ФИЦ «Информатика и Управление» РАН академику РАН И. А. Соколову, который поддержал издание «Лекционных заметок».
Попков Юрий Соломонович