Обложка Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики
Id: 269315
569 руб.

Курс теории вероятностей и математической статистики. Изд. 4, стереотип.

URSS. 2021. 256 с. ISBN 978-5-9710-8547-8.
Типографская бумага

Аннотация

В основу книги положен годовой курс лекций, читавшихся автором в течение ряда лет на отделении математики механико-математического факультета МГУ. Основные понятия и факты теории вероятностей вводятся первоначально для конечной схемы. Математическое ожидание в общем случае определяется так же, как интеграл Лебега, однако у читателя не предполагается знание никаких предварительных сведений об интегрировании по Лебегу.

В книге содержатся... (Подробнее)


Оглавление
ОГЛАВЛЕНИЕ5
Предисловие к первому изданию7
Глава 1. Вероятностное пространство9
§ 1. Предмет теории вероятностей9
§ 2. События12
§ 3. Вероятностное пространство16
§ 4. Конечное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности19
§ 5 Геометрические вероятности23
Задачи24
Глава 2. Условные вероятности. Независимость26
§ 6. Условные вероятности26
§ 7 Формула полной вероятности28
§ 8. Формулы Байеса29
§ 9. Независимость событий30
§ 10. Независимость разбиений, алгебр и σ-алгебр33
§ 11. Независимые испытания35
Задачи39
Глава 3. Случайные величины (конечная схема)41
§ 12. Случайные величины. Индикаторы41
§ 13. Математическое ожидание45
§ 14. Многомерные законы распределения50
§ 15. Независимость случайных величин53
§ 16. Евклидово пространство случайных величин55
§ 17. Условные математические ожидания59
§ 18. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел61
Задачи64
Глава 4. Предельные теоремы в схеме Бернулли65
§ 19 Биномиальное распределение65
§ 20. Теорема Пуассона66
§ 21 Локальная предельная теорема Муавра — Лапласа70
§ 22. Интегральная предельная теорема Муавра — Лапласа71
§ 23. Применения предельных теорем73
Задачи76
Глава 5. Цепи Маркова77
§ 24. Марковская зависимость испытаний77
§ 25. Переходные вероятности78
§ 26. Теорема о предельных вероятностях80
Задачи83
Глава 6. Случайные величины (общий случай)84
§ 27. Случайные величины и их распределения84
§ 28. Многомерные распределения92
§ 29. Независимость случайных величин96
Задачи98
Глава 7. Математическое ожидание100
§ 30, Определение математического ожидания100
§ 31. Формулы для вычисления математического ожидания108
Задачи115
Глава 8. Производящие функции117
§ 32. Целочисленные случайные величины и их производящие функции117
§ 33. Факториальные моменты118
§ 34. Мультипликативное свойство120
§ 35. Теорема непрерывности123
§ 36. Ветвящиеся процессы125
Задачи127
Глава 9. Характеристические функции129
§ 37. Определение и простейшие свойства характеристических функций129
§ 38. Формулы обращения для характеристических функций136
§ 39. Теорема о непрерывном соответствии между множеством характеристических функций и множеством функций распределения140
Задачи145
Глава 10. Центральная предельная теорема146
§ 40. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных независимых слагаемых146
§ 41. Теорема Ляпунова147
§ 42. Применения центральной предельной теоремы150
Задачи153
Глава 11. Многомерные характеристические функции154
§ 43. Определение и простейшие свойства154
§ 44. Формула обращения158
§ 45. Предельные теоремы для характеристических функций159
§ 46. Многомерное нормальное распределение и связанные с ним распределения164
Задачи173
Глава 12. Усиленный закон больших чисел174
§ 47. Лемма Бореля — Кантелли. Закон «0 или 1» Колмогорова174
§ 48 Различные виды сходимости случайных величин177
§ 49. Усиленный закон больших чисел181
Задачи188
Глава 13. Статистические данные189
§ 50. Основные задачи математической статистики189
§ 51. Выборочный метод190
Задачи194
Глава 14. Статистические критерии195
§ 52. Статистические гипотезы195
§ 53. Уровень значимости и мощность критерия197
§ 54. Оптимальный критерий Неймана — Пирсона199
§ 55. Оптимальные критерии для проверки гипотез о параметрах нормального и биномиального распределений201
§ 56. Критерии для проверки сложных гипотез204
§ 57. Непараметрические критерии206
Задачи211
Глава 15. Оценки параметров213
§ 58. Статистические оценки и их свойства213
§ 59. Условные законы распределения216
§ 60, Достаточные статистики220
§ 61. Эффективность оценок223
§ 62. Методы нахождения оценок228
Задачи232
Глава 16. Доверительные интервалы234
§ 63. Определение доверительных интервалов234
§ 64. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения236
§ 65. Доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бернулли240
Задачи244
Ответы к задачам245
Таблицы нормального распределения251
Литература253
Предметный указатель254

Предисловие к первому изданию

Первоначальный курс теории вероятностей и математической статистики должен удовлетворять двум условиям. С одной стороны, он должен помогать развитию теоретико-вероятностной интуиции, т. е. умения строить математические модели, правильно отражающие те или иные стороны реальных случайных явлений. При этом надо иметь в виду, что теория вероятностей и математическая статистика тесно связаны с различными приложениями, с некоторыми из которых выпускникам математических отделений университетов с большой вероятностью придется столкнуться в своей работе, С другой стороны, теория вероятностей должна развиваться как математическая наука, построенная на точных определениях и аксиомах. Однако многие существующие руководства по теории вероятностей придерживаются одной из двух крайностей. В одних курсах, нацеленных на приложения, нет четкого разделения реальных случайных явлений и их математических моделей. В частности, важное в теории вероятностей понятие независимости молчаливо смешивается с причинной независимостью реальных явлений. Другие курсы посвящены, главным образом, строгому изложению математических основ теории вероятностей, поэтому они либо очень велики по объему, либо в значительной степени опираются на такие понятия функционального анализа, как мера и интеграл Лебега, и поэтому не могут быть использованы при обучении студентов младших курсов.

Содержание данного учебника соответствует годовому курсу теории вероятностей и математической статистики, который автор читал в течение ряда лет на механико-математическом факультете Московского государственного университета студентам-математикам 4-го и 5-го семестров. Для преодоления указанных выше трудностей автор придерживается некоторого компромиссного направления. Первоначально многие теоретико-вероятностные понятия введены в простом случае конечного вероятностного пространства. Приведен ряд примеров, в которых указана связь вводимых математических понятий с теми или иными свойствами реальных явлений. Общий случай основан на способе изложения, который связан с введением интеграла Лебега без теории меры. На 4-м семестре, когда студенты еще не знакомы с соответствующими понятиями функционального анализа, аксиоматически вводится понятие вероятностной меры и на ее основе определяется математическое ожидание как интеграл Лебега. Теорема Каратеодори о продолжении меры формулируется без доказательства. Понятия условного распределения вероятностей и условного математического ожидания даны не в полном объеме, а лишь в простых случаях дискретных и абсолютно непрерывных распределений. В основном автор старался опираться лишь на знание студентами классического математического анализа.

Главы 1—5 связаны в основном с конечными вероятностными пространствами. В этих главах введены основные понятия вероятности, математического ожидания, независимости, случайной величины. Распространение этих понятий на общий случай дано в главах 6—12. Главы 13—16 посвящены некоторым задачам математической статистики. Каждая глава сопровождается небольшим количеством задач. Однако автор предполагает, что читатель использует какой-нибудь задачник (например, Севастьянов Б. А., Чистяков В. П., Зубков А. М. Сборник задач по теории вероятностей.— М.: Наука, 1980),

Москва, май 1981 г.

Б.А. Севастьянов


Об авторе
Севастьянов Борис Александрович
Математик, доктор физико-математических наук, член-корреспондент АН СССР и РАН. В 1948 г. окончил механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова с отличием и был рекомендован в аспирантуру в Институт математики и механики МГУ. Студентом 4-го курса посещал семинар А. Н. Колмогорова, под руководством которого выполнил дипломную работу. С 1948 г. работал в МИАН имени В. А. Стеклова. С 1952 г. кандидат физико-математических наук, в 1968 г. защитил докторскую диссертацию. В 1969–1984 гг. — профессор кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ. С 1984 г. — член-корреспондент отделения математики (специальность «математика, в том числе прикладная математика») Академии наук СССР.

В область научных интересов Б. А. Севастьянова входили теория ветвящихся случайных процессов, случайные размещения, теория массового обслуживания, статистические критерии, дискретные задачи теории вероятностей. На мехмате МГУ он читал курсы «Теория вероятностей», «Дополнительные главы математической статистики», «Случайные величины и распределение вероятностей». Награжден орденами «Знак Почета» (1976), Трудового Красного Знамени (1982). Лауреат Государственной премии СССР (1990).


Страницы (пролистать)