| ОГЛАВЛЕНИЕ | 5
|
| Предисловие к первому изданию | 7
|
| Глава 1. Вероятностное пространство | 9
|
| § 1. Предмет теории вероятностей | 9
|
| § 2. События | 12
|
| § 3. Вероятностное пространство | 16
|
| § 4. Конечное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности | 19
|
| § 5 Геометрические вероятности | 23
|
| Задачи | 24
|
| Глава 2. Условные вероятности. Независимость | 26
|
| § 6. Условные вероятности | 26
|
| § 7 Формула полной вероятности | 28
|
| § 8. Формулы Байеса | 29
|
| § 9. Независимость событий | 30
|
| § 10. Независимость разбиений, алгебр и σ-алгебр | 33
|
| § 11. Независимые испытания | 35
|
| Задачи | 39
|
| Глава 3. Случайные величины (конечная схема) | 41
|
| § 12. Случайные величины. Индикаторы | 41
|
| § 13. Математическое ожидание | 45
|
| § 14. Многомерные законы распределения | 50
|
| § 15. Независимость случайных величин | 53
|
| § 16. Евклидово пространство случайных величин | 55
|
| § 17. Условные математические ожидания | 59
|
| § 18. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел | 61
|
| Задачи | 64
|
| Глава 4. Предельные теоремы в схеме Бернулли | 65
|
| § 19 Биномиальное распределение | 65
|
| § 20. Теорема Пуассона | 66
|
| § 21 Локальная предельная теорема Муавра — Лапласа | 70
|
| § 22. Интегральная предельная теорема Муавра — Лапласа | 71
|
| § 23. Применения предельных теорем | 73
|
| Задачи | 76
|
| Глава 5. Цепи Маркова | 77
|
| § 24. Марковская зависимость испытаний | 77
|
| § 25. Переходные вероятности | 78
|
| § 26. Теорема о предельных вероятностях | 80
|
| Задачи | 83
|
| Глава 6. Случайные величины (общий случай) | 84
|
| § 27. Случайные величины и их распределения | 84
|
| § 28. Многомерные распределения | 92
|
| § 29. Независимость случайных величин | 96
|
| Задачи | 98
|
| Глава 7. Математическое ожидание | 100
|
| § 30, Определение математического ожидания | 100
|
| § 31. Формулы для вычисления математического ожидания | 108
|
| Задачи | 115
|
| Глава 8. Производящие функции | 117
|
| § 32. Целочисленные случайные величины и их производящие функции | 117
|
| § 33. Факториальные моменты | 118
|
| § 34. Мультипликативное свойство | 120
|
| § 35. Теорема непрерывности | 123
|
| § 36. Ветвящиеся процессы | 125
|
| Задачи | 127
|
| Глава 9. Характеристические функции | 129
|
| § 37. Определение и простейшие свойства характеристических функций | 129
|
| § 38. Формулы обращения для характеристических функций | 136
|
| § 39. Теорема о непрерывном соответствии между множеством характеристических функций и множеством функций распределения | 140
|
| Задачи | 145
|
| Глава 10. Центральная предельная теорема | 146
|
| § 40. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных независимых слагаемых | 146
|
| § 41. Теорема Ляпунова | 147
|
| § 42. Применения центральной предельной теоремы | 150
|
| Задачи | 153
|
| Глава 11. Многомерные характеристические функции | 154
|
| § 43. Определение и простейшие свойства | 154
|
| § 44. Формула обращения | 158
|
| § 45. Предельные теоремы для характеристических функций | 159
|
| § 46. Многомерное нормальное распределение и связанные с ним распределения | 164
|
| Задачи | 173
|
| Глава 12. Усиленный закон больших чисел | 174
|
| § 47. Лемма Бореля — Кантелли. Закон «0 или 1» Колмогорова | 174
|
| § 48 Различные виды сходимости случайных величин | 177
|
| § 49. Усиленный закон больших чисел | 181
|
| Задачи | 188
|
| Глава 13. Статистические данные | 189
|
| § 50. Основные задачи математической статистики | 189
|
| § 51. Выборочный метод | 190
|
| Задачи | 194
|
| Глава 14. Статистические критерии | 195
|
| § 52. Статистические гипотезы | 195
|
| § 53. Уровень значимости и мощность критерия | 197
|
| § 54. Оптимальный критерий Неймана — Пирсона | 199
|
| § 55. Оптимальные критерии для проверки гипотез о параметрах нормального и биномиального распределений | 201
|
| § 56. Критерии для проверки сложных гипотез | 204
|
| § 57. Непараметрические критерии | 206
|
| Задачи | 211
|
| Глава 15. Оценки параметров | 213
|
| § 58. Статистические оценки и их свойства | 213
|
| § 59. Условные законы распределения | 216
|
| § 60, Достаточные статистики | 220
|
| § 61. Эффективность оценок | 223
|
| § 62. Методы нахождения оценок | 228
|
| Задачи | 232
|
| Глава 16. Доверительные интервалы | 234
|
| § 63. Определение доверительных интервалов | 234
|
| § 64. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения | 236
|
| § 65. Доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бернулли | 240
|
| Задачи | 244
|
| Ответы к задачам | 245
|
| Таблицы нормального распределения | 251
|
| Литература | 253
|
| Предметный указатель | 254
|
Первоначальный курс теории вероятностей и математической статистики должен удовлетворять двум условиям. С одной стороны, он должен помогать развитию теоретико-вероятностной интуиции, т. е. умения строить математические модели, правильно отражающие те или иные стороны реальных случайных явлений. При этом надо иметь в виду, что теория вероятностей и математическая статистика тесно связаны с различными приложениями, с некоторыми из которых выпускникам математических отделений университетов с большой вероятностью придется столкнуться в своей работе, С другой стороны, теория вероятностей должна развиваться как математическая наука, построенная на точных определениях и аксиомах. Однако многие существующие руководства по теории вероятностей придерживаются одной из двух крайностей. В одних курсах, нацеленных на приложения, нет четкого разделения реальных случайных явлений и их математических моделей. В частности, важное в теории вероятностей понятие независимости молчаливо смешивается с причинной независимостью реальных явлений. Другие курсы посвящены, главным образом, строгому изложению математических основ теории вероятностей, поэтому они либо очень велики по объему, либо в значительной степени опираются на такие понятия функционального анализа, как мера и интеграл Лебега, и поэтому не могут быть использованы при обучении студентов младших курсов.
Содержание данного учебника соответствует годовому курсу теории вероятностей и математической статистики, который автор читал в течение ряда лет на механико-математическом факультете Московского государственного университета студентам-математикам 4-го и 5-го семестров. Для преодоления указанных выше трудностей автор придерживается некоторого компромиссного направления. Первоначально многие теоретико-вероятностные понятия введены в простом случае конечного вероятностного пространства. Приведен ряд примеров, в которых указана связь вводимых математических понятий с теми или иными свойствами реальных явлений. Общий случай основан на способе изложения, который связан с введением интеграла Лебега без теории меры. На 4-м семестре, когда студенты еще не знакомы с соответствующими понятиями функционального анализа, аксиоматически вводится понятие вероятностной меры и на ее основе определяется математическое ожидание как интеграл Лебега. Теорема Каратеодори о продолжении меры формулируется без доказательства. Понятия условного распределения вероятностей и условного математического ожидания даны не в полном объеме, а лишь в простых случаях дискретных и абсолютно непрерывных распределений. В основном автор старался опираться лишь на знание студентами классического математического анализа.
Главы 1—5 связаны в основном с конечными вероятностными пространствами. В этих главах введены основные понятия вероятности, математического ожидания, независимости, случайной величины. Распространение этих понятий на общий случай дано в главах 6—12. Главы 13—16 посвящены некоторым задачам математической статистики. Каждая глава сопровождается небольшим количеством задач. Однако автор предполагает, что читатель использует какой-нибудь задачник (например, Севастьянов Б. А., Чистяков В. П., Зубков А. М. Сборник задач по теории вероятностей.— М.: Наука, 1980),
Б.А. Севастьянов
