| ОГЛАВЛЕНИЕ
|
| Предисловие к первому изданию.............. 7
|
| Глава 1. Вероятностное пространство ........ 9
|
| § 1. Предмет теории вероятностей......... 9
|
| § 2. События.................. 12
|
| § 3. Вероятностное пространство . ......... 16
|
| § 4. Конечное вероятностное пространство. Классическое определение вероятности
|
| § 5 Геометрические вероятности........... 23
|
| Задачи..................... 2
|
| Глава 2. Условные вероятности. Независимость .... 26
|
| § 6. Условные вероятности............. 26
|
| § 7. Формула полной вероятности.......... 28
|
| § 8. Формулы Байеса............... 29
|
| § 9. Независимость событий............ 30
|
| § 10. Независимость разбиений, алгебр и а-алгебр .... 33
|
| § 11. Независимые испытания............ 35
|
| Задачи..................... 39
|
| Глава 3. Случайные величины (конечная схема) .... 41
|
| § 12. Случайные величины. Индикаторы....... 41
|
| § 13. Математическое ожидание.......... . 45
|
| § 14. Многомерные законы распределения....... 50
|
| § 15. Независимость случайных величин........ 53
|
| § 16. Евклидово пространство случайных величин .... 55
|
| § 17. Условные математические ожидания....... 59
|
| § 18. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел .... 61
|
| Задачи..................... 64
|
| Глава 4. Предельные теоремы в схеме Бернулли ... 65
|
| § 19 Биномиальное распределение.......... 65
|
| § 20. Теорема Пуассона............. 66
|
| § 21 Локальная предельная теорема Муавра — Лапласа . . 70
|
| § 22. Интегральная предельная теорема Муавра — Лапласа 71
|
| § 23. Применения предельных теорем 73
|
| Задачи.....................76
|
| Глава 5. Цепи Маркова .............77
|
| § 24. Марковская зависимость испытаний.......77
|
| § 25. Переходные вероятности............78
|
| § 26. Теорема о предельных вероятностях........80
|
| Задачи.....................83
|
| Глава 6. Случайные величины (общий случай) ..... 84
|
| § 27. Случайные величины и их распределения..... 84
|
| § 28. Многомерные распределения.......... 92
|
| § 29, Независимость случайных величин........ 96
|
| Задачи..................... 98
|
| Глава 7. Математическое ожидание ......... 100
|
| § 30, Определение математического ожидания..... 100
|
| § 31. Формулы для вычисления математического ожидания 108
|
| Задачи..................... 115
|
| Глава 8. Производящие функции ..........117
|
| § 32. Целочисленные случайные величины и их производящие функции................ 117
|
| § 33. Факториальные моменты............ 118
|
| § 34. Мультипликативное свойство.......... 120
|
| § 35. Теорема непрерывности............ 123
|
| § 36. Ветвящиеся процессы............. 125
|
| Задачи..................... 127
|
| Глава 9. Характеристические функции ........ 129
|
| § 37. Определение и простейшие свойства характеристических функций................129
|
| § 38. Формулы обращения для характеристических функций 136
|
| § 39. Теорема о непрерывном соответствии между множеством характеристических функций и множеством функций распределения............140
|
| Задачи.....................145
|
| Глава 10. Центральная предельная теорема ......146
|
| § 40. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных независимых слагаемых.......146
|
| § 41. Теорема Ляпунова.............. 147
|
| § 42. Применения центральной предельной теоремы .... 150
|
| Задачи.....................153
|
| Глава 11. Многомерные характеристические функции . , .154
|
| § 43. Определение и простейшие свойства...... . 154
|
| § 44. Формула обращения............. 158
|
| § 45. Предельные теоремы для характеристических функций 159
|
| § 46. Многомерное нормальное распределение и связанные с ним распределения.............. 164
|
| Задачи..................... 173
|
| Глава 12. Усиленный закон больших чисел ........174
|
| § 47. Лемма Бореля — Кантелли. Закон «О или 1» Колмогорова...................174
|
| § 48 Различные виды сходимости случайных величин . . .177
|
| § 49. Усиленный закон больших чисел.........181
|
| Задачи.....................188
|
| Глава 13. Статистические данные .......... 189
|
| § 50. Основные задачи математической статистики .... 189
|
| § 51 Выборочный метод.............. 190
|
| Задачи..................... 194
|
| Глава 14. Статистические критерии ..........195
|
| § 52. Статистические гипотезы . ,..........195
|
| § 53. Уровень значимости и мощность критерия.....197
|
| § 54. Оптимальный критерий Неймана — Пирсона . . . .199
|
| § 55. Оптимальные критерии для проверки гипотез о параметрах нормального и биномиального распределений 201
|
| § 56. Критерии для проверки сложных гипотез . . . ... 2)1
|
| § 57. Непараметрические критерии..........206
|
| Задачи.....................211
|
| Глава 15. Оценки параметров ............213
|
| § 58. Статистические оценки и их свойства.......213
|
| § 59. Условные законы распределения.........216
|
| § 60, Достаточные статистики............220
|
| § 61. Эффективность оценок.............223
|
| § 62. Методы нахождения оценок.......... 228
|
| Задачи.....................232
|
| Глава 16. Доверительные интервалы . • . . ......234
|
| § 63. Определение доверительных интервалов......234
|
| § 64. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения .............. 236
|
| § 65. Доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бернулли • , , ,...........240
|
| Задачи.....................244
|
| Ответы к задачам..............245
|
| Таблицы нормального распределения...........251
|
| Литература.....................253
|
| Предметный указатель ................254
|
Первоначальный курс теории вероятностей и математической статистики должен удовлетворять двум условиям. С одной стороны, он должен помогать развитию теоретико-вероятностной интуиции, т. е. умения строить математические модели, правильно отражающие те или иные стороны реальных случайных явлений. При этом надо иметь в виду, что теория вероятностей и математическая статистика тесно связаны с различными приложениями, с некоторыми из которых выпускникам математических отделений университетов с большой вероятностью придется столкнуться в своей работе, С другой стороны, теория вероятностей должна развиваться как математическая наука, построенная на точных определениях и аксиомах. Однако многие существующие руководства по теории вероятностей придерживаются одной из двух крайностей. В одних курсах, нацеленных на приложения, нет четкого разделения реальных случайных явлений и их математических моделей. В частности, важное в теории вероятностей понятие независимости молчаливо смешивается с причинной независимостью реальных явлений. Другие курсы посвящены, главным образом, строгому изложению математических основ теории вероятностей, поэтому они либо очень велики по объему, либо в значительной степени опираются на такие понятия функционального анализа, как мера и интеграл Лебега, и поэтому не могут быть использованы при обучении студентов младших курсов.
Содержание данного учебника соответствует годовому курсу теории вероятностей и математической статистики, который автор читал в течение ряда лет на механико-математическом факультете Московского государственного университета студентам-математикам 4-го и 5-го семестров. Для преодоления указанных выше трудностей автор придерживается некоторого компромиссного направления. Первоначально многие теоретико-вероятностные понятия введены в простом случае конечного вероятностного пространства. Приведен ряд примеров, в которых указана связь вводимых математических понятий с теми или иными свойствами реальных явлений. Общий случай основан на способе изложения, который связан с введением интеграла Лебега без теории меры. На 4-м семестре, когда студенты еще не знакомы с соответствующими понятиями функционального анализа, аксиоматически вводится понятие вероятностной меры и на ее основе определяется математическое ожидание как интеграл Лебега. Теорема Каратеодори о продолжении меры формулируется без доказательства. Понятия условного распределения вероятностей и условного математического ожидания даны не в полном объеме, а лишь в простых случаях дискретных и абсолютно непрерывных распределений. В основном автор старался опираться лишь на знание студентами классического математического анализа.
Главы 1—5 связаны в основном с конечными вероятностными пространствами. В этих главах введены основные понятия вероятности, математического ожидания, независимости, случайной величины. Распространение этих понятий на общий случай дано в главах 6—12. Главы 13—16 посвящены некоторым задачам математической статистики. Каждая глава сопровождается небольшим количеством задач. Однако автор предполагает, что читатель использует какой-нибудь задачник (например, Севастьянов Б. А., Чистяков В. П., Зубков А. М. Сборник задач по теории вероятностей.— М.: Наука, 1980),
Б.А. Севастьянов
