Обложка Макаров И.П. Дополнительные главы математического анализа: Теория функций действительного переменного. Элементы функционального анализа. Теория функций комплексного переменного
Id: 269296
689 руб.

Дополнительные главы математического анализа:
Теория функций действительного переменного. Элементы функционального анализа. Теория функций комплексного переменного Изд. 2

URSS. 2021. 312 с. ISBN 978-5-9710-8555-3.
Типографская бумага

Аннотация

В настоящей книге излагаются современная теория множеств и на ее основе теория функций действительного переменного, теория функций комплексного переменного и основы функционального анализа. В отдельных главах даются применения функционального анализа в вариационном исчислении и теории интегральных уравнений, применения теории функций комплексного переменного (в том числе в картографии, гидро- и аэромеханике). К каждой главе прилагаются... (Подробнее)


Оглавление
Предисловие к первому изданию3
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО4
Глава I. Общая теория множеств4
§ 1. Понятие множества4
§ 2. Конечные и бесконечные множества5
§ 3. Подмножества, включение6
§ 4. Теоретико-множественные операции6
§ 5. Эквивалентность множеств10
§ 6. Понятие мощности. Кардинальные числа11
§ 7. Сравнение мощностей12
§ 8. Существование сколь угодно высоких мощностей15
§ 9. Счетные множества16
Упражнения к главе 122
Глава II. Теория точечных множеств24
§ 1. Множества рациональных чисел24
§ 2. Множество действительных чисел25
§ 3. Множество мощности континуума28
§ 4. Множества пространства Еn32
§ 5. Предельные точки35
§ 6. Замкнутые и открытые множества40
§ 7. Строение линейных открытых и замкнутых множеств47
§ 8. Множество Кантора и его свойства52
§ 9. Мощность совершенного множества54
§ 10. Точки конденсации. Мощность несчетного замкнутого множества55
Упражнения к главе II58
Глава III. Функции61
§ 1. Общее понятие функции61
§ 2. Верхняя и нижняя грани функции. Колебание62
§ 3. Непрерывность66
§ 4. Основные свойства непрерывных функций70
§ 5. Точки разрыва74
§ 6. Точки разрыва монотонной функции79
§ 7. Функции с ограниченным изменением81
Упражнения к главе III88
Глава IV. Непрерывные кривые91
§ 1. Понятие непрерывной кривой91
§ 2. Кривые Жордана93
§ 3. Кривые Пеано93
§ 4. Кривые Кантора и Урысона94
§ 5. Спрямляемые кривые96
Упражнения к главе IV99
Глава V. Мера100
§ 1. Мера Жордана для линейных множеств100
§ 2. Мера Жордана для множества Еп. Квадрируемые и кубируемые множества106
§ 3. Мера Лебега для линейных множеств110
§ 4. Свойства множеств, измеримых по Лебегу116
§ 5. Измеримые функции122
Упражнения к главе V124
Глава VI. Интеграл125
§ 1. Интеграл Римана125
§ 2. Теорема Лебега131
§ 3. Интеграл Стилтьеса135
§ 4. Интеграл Лебега139
Упражнения к главе VI143
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА145
Глава VII. Метрические пространства146
§ 1. Основные понятия146
§ 2. Примеры метрических пространств148
§ 3. Полнота метрических пространств149
§ 4. Теорема о замкнутых шарах152
§ 5. Метод сжатых отображений153
§ 6. Применение метода сжатых отображений в теории дифферен¬циальных и интегральных уравнений155
§ 7. Применение метода сжатых отображений в алгебре156
§ 8. Применение метода сжатых отображений в математическом анализе157
Упражнения к главе VII159
Глава VIII. Сепарабельность и компактность159
§ 1. Сепарабельность пространств Еn, С и lр159
§ 2. Сепарабельность пространства Lp161
§ 3. Пространство т как пример несепарабельного пространства162
§ 4. Компактность множеств пространства En163
§ 5. Общий критерий компактности164
§ 6. Компактность множеств в пространстве С165
§ 7. Компактность множеств в пространстве lp168
§ 8. Компактность множеств в пространстве lp169
Глава IX. Непрерывные функционалы и операторы170
§ 1. Непрерывные функционалы171
§ 2. Общие свойства непрерывных функционалов172
§ 3. Равномерная непрерывность функционала173
§ 4. Непрерывные операторы175
§ 5. Свойства непрерывных операторов176
Упражнения к главе IX177
Глава X. Линейные функционалы, линейные операторы178
§ 1. Линейные пространства178
§ 2. Линейные функционалы180
§ 3. Свойства линейных функционалов182
§ 4. Слабая сходимость линейных функционалов184
§ 5. Линейные операторы187
§ 6. Свойства линейных операторов189
Упражнения к главе X191
Глава XI. Применения функционального анализа в вариационном исчислении191
§ 1. Дифференциал, вариация линейного функционала192
§ 2. Экстремум дифференцируемого функционала193
§ 3. Уравнение Эйлера194
§ 4. Решение задачи о брахистохроне196
§ 5. Задача о наименьшей поверхности вращения199
§ 6. О других применениях функционального анализа в вариационном исчислении200
Упражнения к главеXI201
Глава XII. Применения функционального анализа в теории интегральных уравнений202
§ 1. Вопрос о существовании решения интегрального уравнения202
§ 2. Вполне непрерывные операторы204
§ 3. Теорема В. В. Немыцкого204
§ 4. Линейные интегральные уравнения206
§ 5. Собственные значения, спектр207
§ 6. Метод последовательных приближений, построение резольвенты208
Упражнения к главе XII211
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО212
Глава XIII. Гармонические функции213
§ 1. Основные определения213
§ 2. Свойства гармонических функций и гармонических пар215
§ 3. Теорема Дзядыка217
§ 4. Понятие конформного отображения217
§ 5. Конформность отображения гармонической парой218
§ 6. Коэффициент растяжения220
Упражнения к главе XIII223
Глава XIV. Комплексные числа, последовательности, ряды224
§ 1. Комплексное число как оператор224
§ 2. Плоскость Гаусса226
§ 3. Тригонометрические и алгебраические формы комплексного числа227
§ 4. Действия над комплексными числами227
§ 5. Числовые последовательности и ряды230
§ 6. Признак Коши — Адамара232
§ 7. Степенные ряды233
Упражнения к главе XIV237
Глава XV. Функции комплексного переменного, аналитические функции238
§ 1. Непрерывность функции комплексного переменного239
§ 2. Дифференцируемость функции комплексного переменного241
§ 3. Определение и свойства аналитической функций242
§ 4. Конформность отображения аналитической функции243
Упражнения к главе XV244
Глава XVI. Элементарные аналитические функции, конформныеотображения244
§ 1. Линейная функция244
§ 2. Бесконечно удаленная точка245
§ 3. Функция f (z) = 1/z246
§ 4. Дробно-линейная функция247
§ 5. Степенная функция. Поверхность Римана248
§ 6. Показательная функция250
§ 7. Тригонометрические функции253
§ 8. Гиперболические функции256
§ 9. Логарифмическая функция262
Упражнения к главе XVI263
Глава XVII. Интеграл. Ряд Тейлора264
§ 1. Интеграл264
§ 2. Существование и вычисление интеграла. Свойства интеграла265
§ 3. Теорема Коши267
§ 4. Интегральная формула Коши271
§ 5. Разложение аналитической функции в степенной ряд274
§ 6. Ряд Тейлора276
§ 7. Теорема единственности для аналитических функций278
§ 8. Понятие об аналитическом продолжении280
§ 9. Определение класса аналитических функций282
Упражнения к главе XVII284
Глава XVIII. О применениях теории функций комплексного переменного285
§ 1. О применениях в математическом анализе285
§ 2. О применениях в алгебре287
§ 3. О применениях в картографии288
§ 4. О применениях в гидро- и аэромеханике290
§ 5. Функция Н. Е. Жуковского293
§ 6. Критерий Рауса — Гурвица294
Упражнения к главе XVIII300
Дополнительная литература301
Алфавитный указатель303
Указатель специальных знаков307

Об авторе
Макаров Иринарх Петрович
Известный советский математик, заслуженный деятель науки РСФСР. Родился в селе Константиновка Самарской губернии. Получил инженерное образование в Московском электромашиностроительном институте, одновременно работая на электрозаводе им. В. В. Куйбышева. Без отрыва от производства окончил аспирантуру Московского высшего инженерно-педагогического института (1930–1931). С 1938 г. работал в Рязанском педагогическом институте, где прошел путь от ассистента до профессора и заведующего кафедрой. В 1941 г. заочно окончил аспирантуру Московского университета. Во время Великой Отечественной войны преподавал в Московской артиллерийской спецшколе, а после войны был направлен в Германию как инспектор немецких университетов. Создал вычислительный центр при кафедре математического анализа Рязанского педагогического института и организовал Рязанское физико-математическое общество.

И. П. Макаров заложил основы теории устойчивости дифференциальных систем в абстрактных пространствах, принадлежащей в настоящее время к числу актуальных разделов математики и имеющей большое значение для технических дисциплин и естествознания. Им опубликовано свыше 50 научных работ, в числе которых труды по дифференциальным уравнениям, теории функций действительного переменного, истории и методике математики, учебные пособия для педагогических институтов «Теория функций действительного переменного», вышедшее в двух изданиях, и «Дополнительные главы математического анализа».


Страницы (пролистать)