Макаров И.П. Дополнительные главы математического анализа:
Теория функций действительного переменного. Элементы функционального анализа. Теория функций комплексного переменного. Изд. 2

2021. 312 с.

Типографская бумага

Мягкая обложка
Твердый переплет 2 варианта от 1215 р. ››
Онлайн-книга 379 р. ››

Аннотация

В настоящей книге излагаются современная теория множеств и на ее основе теория функций действительного переменного, теория функций комплексного переменного и основы функционального анализа. В отдельных главах даются применения функционального анализа в вариационном исчислении и теории интегральных уравнений, применения теории функций комплексного переменного (в том числе в картографии, гидро- и аэромеханике). К каждой главе прилагаются... (Подробнее)

Оглавление

Предисловие к первому изданию				3
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО				4
Глава I. Общая теория множеств				4
§ 1. Понятие множества				4
§ 2. Конечные и бесконечные множества				5
§ 3. Подмножества, включение				6
§ 4. Теоретико-множественные операции				6
§ 5. Эквивалентность множеств				10
§ 6. Понятие мощности. Кардинальные числа				11
§ 7. Сравнение мощностей				12
§ 8. Существование сколь угодно высоких мощностей				15
§ 9. Счетные множества				16
Упражнения к главе 1				22
Глава II. Теория точечных множеств				24
§ 1. Множества рациональных чисел				24
§ 2. Множество действительных чисел				25
§ 3. Множество мощности континуума				28
§ 4. Множества пространства Е_n				32
§ 5. Предельные точки				35
§ 6. Замкнутые и открытые множества				40
§ 7. Строение линейных открытых и замкнутых множеств				47
§ 8. Множество Кантора и его свойства				52
§ 9. Мощность совершенного множества				54
§ 10. Точки конденсации. Мощность несчетного замкнутого множества				55
Упражнения к главе II				58
Глава III. Функции				61
§ 1. Общее понятие функции				61
§ 2. Верхняя и нижняя грани функции. Колебание				62
§ 3. Непрерывность				66
§ 4. Основные свойства непрерывных функций				70
§ 5. Точки разрыва				74
§ 6. Точки разрыва монотонной функции				79
§ 7. Функции с ограниченным изменением				81
Упражнения к главе III				88
Глава IV. Непрерывные кривые				91
§ 1. Понятие непрерывной кривой				91
§ 2. Кривые Жордана				93
§ 3. Кривые Пеано				93
§ 4. Кривые Кантора и Урысона				94
§ 5. Спрямляемые кривые				96
Упражнения к главе IV				99
Глава V. Мера				100
§ 1. Мера Жордана для линейных множеств				100
§ 2. Мера Жордана для множества Еп. Квадрируемые и кубируемые множества				106
§ 3. Мера Лебега для линейных множеств				110
§ 4. Свойства множеств, измеримых по Лебегу				116
§ 5. Измеримые функции				122
Упражнения к главе V				124
Глава VI. Интеграл				125
§ 1. Интеграл Римана				125
§ 2. Теорема Лебега				131
§ 3. Интеграл Стилтьеса				135
§ 4. Интеграл Лебега				139
Упражнения к главе VI				143
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА				145
Глава VII. Метрические пространства				146
§ 1. Основные понятия				146
§ 2. Примеры метрических пространств				148
§ 3. Полнота метрических пространств				149
§ 4. Теорема о замкнутых шарах				152
§ 5. Метод сжатых отображений				153
§ 6. Применение метода сжатых отображений в теории дифферен¬циальных и интегральных уравнений				155
§ 7. Применение метода сжатых отображений в алгебре				156
§ 8. Применение метода сжатых отображений в математическом анализе				157
Упражнения к главе VII				159
Глава VIII. Сепарабельность и компактность				159
§ 1. Сепарабельность пространств Е_n, С и l_р				159
§ 2. Сепарабельность пространства L_p				161
§ 3. Пространство т как пример несепарабельного пространства				162
§ 4. Компактность множеств пространства En				163
§ 5. Общий критерий компактности				164
§ 6. Компактность множеств в пространстве С				165
§ 7. Компактность множеств в пространстве l_p				168
§ 8. Компактность множеств в пространстве l_p				169
Глава IX. Непрерывные функционалы и операторы				170
§ 1. Непрерывные функционалы				171
§ 2. Общие свойства непрерывных функционалов				172
§ 3. Равномерная непрерывность функционала				173
§ 4. Непрерывные операторы				175
§ 5. Свойства непрерывных операторов				176
Упражнения к главе IX				177
Глава X. Линейные функционалы, линейные операторы				178
§ 1. Линейные пространства				178
§ 2. Линейные функционалы				180
§ 3. Свойства линейных функционалов				182
§ 4. Слабая сходимость линейных функционалов				184
§ 5. Линейные операторы				187
§ 6. Свойства линейных операторов				189
Упражнения к главе X				191
Глава XI. Применения функционального анализа в вариационном исчислении				191
§ 1. Дифференциал, вариация линейного функционала				192
§ 2. Экстремум дифференцируемого функционала				193
§ 3. Уравнение Эйлера				194
§ 4. Решение задачи о брахистохроне				196
§ 5. Задача о наименьшей поверхности вращения				199
§ 6. О других применениях функционального анализа в вариационном исчислении				200
Упражнения к главеXI				201
Глава XII. Применения функционального анализа в теории интегральных уравнений				202
§ 1. Вопрос о существовании решения интегрального уравнения				202
§ 2. Вполне непрерывные операторы				204
§ 3. Теорема В. В. Немыцкого				204
§ 4. Линейные интегральные уравнения				206
§ 5. Собственные значения, спектр				207
§ 6. Метод последовательных приближений, построение резольвенты				208
Упражнения к главе XII				211
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО				212
Глава XIII. Гармонические функции				213
§ 1. Основные определения				213
§ 2. Свойства гармонических функций и гармонических пар				215
§ 3. Теорема Дзядыка				217
§ 4. Понятие конформного отображения				217
§ 5. Конформность отображения гармонической парой				218
§ 6. Коэффициент растяжения				220
Упражнения к главе XIII				223
Глава XIV. Комплексные числа, последовательности, ряды				224
§ 1. Комплексное число как оператор				224
§ 2. Плоскость Гаусса				226
§ 3. Тригонометрические и алгебраические формы комплексного числа				227
§ 4. Действия над комплексными числами				227
§ 5. Числовые последовательности и ряды				230
§ 6. Признак Коши — Адамара				232
§ 7. Степенные ряды				233
Упражнения к главе XIV				237
Глава XV. Функции комплексного переменного, аналитические функции				238
§ 1. Непрерывность функции комплексного переменного				239
§ 2. Дифференцируемость функции комплексного переменного				241
§ 3. Определение и свойства аналитической функций				242
§ 4. Конформность отображения аналитической функции				243
Упражнения к главе XV				244
Глава XVI. Элементарные аналитические функции, конформныеотображения				244
§ 1. Линейная функция				244
§ 2. Бесконечно удаленная точка				245
§ 3. Функция f (z) = 1/z				246
§ 4. Дробно-линейная функция				247
§ 5. Степенная функция. Поверхность Римана				248
§ 6. Показательная функция				250
§ 7. Тригонометрические функции				253
§ 8. Гиперболические функции				256
§ 9. Логарифмическая функция				262
Упражнения к главе XVI				263
Глава XVII. Интеграл. Ряд Тейлора				264
§ 1. Интеграл				264
§ 2. Существование и вычисление интеграла. Свойства интеграла				265
§ 3. Теорема Коши				267
§ 4. Интегральная формула Коши				271
§ 5. Разложение аналитической функции в степенной ряд				274
§ 6. Ряд Тейлора				276
§ 7. Теорема единственности для аналитических функций				278
§ 8. Понятие об аналитическом продолжении				280
§ 9. Определение класса аналитических функций				282
Упражнения к главе XVII				284
Глава XVIII. О применениях теории функций комплексного переменного				285
§ 1. О применениях в математическом анализе				285
§ 2. О применениях в алгебре				287
§ 3. О применениях в картографии				288
§ 4. О применениях в гидро- и аэромеханике				290
§ 5. Функция Н. Е. Жуковского				293
§ 6. Критерий Рауса — Гурвица				294
Упражнения к главе XVIII				300
Дополнительная литература				301
Алфавитный указатель				303
Указатель специальных знаков				307

Об авторе

Макаров Иринарх Петрович

Известный советский математик, заслуженный деятель науки РСФСР. Родился в селе Константиновка Самарской губернии. Получил инженерное образование в Московском электромашиностроительном институте, одновременно работая на электрозаводе им. В. В. Куйбышева. Без отрыва от производства окончил аспирантуру Московского высшего инженерно-педагогического института (1930–1931). С 1938 г. работал в Рязанском педагогическом институте, где прошел путь от ассистента до профессора и заведующего кафедрой. В 1941 г. заочно окончил аспирантуру Московского университета. Во время Великой Отечественной войны преподавал в Московской артиллерийской спецшколе, а после войны был направлен в Германию как инспектор немецких университетов. Создал вычислительный центр при кафедре математического анализа Рязанского педагогического института и организовал Рязанское физико-математическое общество.

И. П. Макаров заложил основы теории устойчивости дифференциальных систем в абстрактных пространствах, принадлежащей в настоящее время к числу актуальных разделов математики и имеющей большое значение для технических дисциплин и естествознания. Им опубликовано свыше 50 научных работ, в числе которых труды по дифференциальным уравнениям, теории функций действительного переменного, истории и методике математики, учебные пособия для педагогических институтов «Теория функций действительного переменного», вышедшее в двух изданиях, и «Дополнительные главы математического анализа».